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视频标签：方程的根,函数的零点
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视频课题：人教A版必修一3.1.1方程的根与函数的零点-新
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人教A版必修一3.1.1方程的根与函数的零点-新疆
方程的根与函数的零点教学设计
课题 方程的根与函数的零点 课型 概念课
教学 目标 1）知识方法目标
能够结合二次函数的图象判断一元二次函数跟的存在性及根的个数；理解函数的零点与方程根的联系； 2）能力目标
教学 重点 难点
1） 重点：
零点的定义及等价关系 2）难点：
函数零点存在的条件
教法与学法
引导与探究
教学过程
备注
1. 课题引入 （创设情景）
一、方程的根与函数图象的关系 问题1：下列二次函数的图象与x轴交点和相应方程的根有何关系？ (1) x2-2x-3=0与y=x2
-2x-3 (2) x2-2x+1=0与y=x2
-2x+1
(3) x2-2x+3=0与y=x2
-2x+3
引申:二次函数y=ax2
+bx+c (a≠0)的图象与x轴交点和相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有何关系? 判别式△ =b2－4ac △＞0 △=0 △＜0
方程ax2 +bx+c=0 (a≠0)的根 两个不相等的实数根x1 、x2
有两个相等的实数根x1 = x2
没有实数根
函数y= ax2 +bx +c(a≠0)
图象与x轴交点的横坐标就是相应方程的根 x
y
x1 x2 0
x
y
0 x
x
y
的图象
函数的图象与 x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
2.问题探究 1）难点突破
2）探究方式
3）探究步骤
4）高潮设计
能否把二次函数和一元二次方程的关系推广到一般函数与方程的关系上？
推广：函数y=f(x)的图象与x轴交点和相应的方程f(x)=0的根有何关系呢？
结论：函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标 就是方程f(x)=0的实数根。
二、零点的定义
对于函数y=f(x) ，把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
思考：零点是不是点？
零点指的是一个实数，它就是方程f(x)=0的实数根。
思考：方程f(x)=0的根；函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标；函数y=f(x)的零点三者有何关系呢？ 等价关系：
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
练习1、利用函数图象判断下列方程有没有实数根， 有几个实数根。
(1)-x2+3x+5=0 (2)x2
=4x-4
分析：
（2）方法1：利用函数f(x)=x2-4x+4的图象
方法2：利用函数f(x)=x2和函数g(x)=4x-4的图象，原方程的根就是函数f(x)=x2和函数g(x)=4x-4的图象交点的横坐标。
练习2、求函数y=x2
+4x-5的零点。
分析：即求方程x2+4x-5=0的实数根 或者函数y=x2+4x-5与x轴交点的横坐标。
变式：求函数y=x3
+4x-1的零点的个数。 这个函数的零点不能用公式法求出，图象也不是我们所熟悉的，那我们要如何入手？下面就介绍一个判断零点存在性的方法。
三、零点的存在性定理
首先，先观察下二次函数f(x)=x2
-2x-3图象 1. 发现在区间(-2，1)上有零点 f(-2)= ，f(1) = ，
f(-2) f(1) 0(填“>”或“<”) 2. 发现在区间(2，4)上有零点 f(2)= ，f(4) = ，
f(2) f(4) 0(填“>”或“<”)
得出：f(a)f(b)<0，那么在(a,b)内有零点
问题2：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内一定有零点吗？
（让学生任意画几个函数图象，观察图象）
发现如果函数图象不连续，就不成立 从而得出：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点。
即存在c∈(a,b)，使得f(c) =0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
至此，判断零点的方法有如下几种： (1)定义法：解方程 f(x)=0，得出函数的零点。 (2)图象法：画出y= f(x)的图象，其图象与x轴交点的横坐标。
(3)定理法：函数零点存在性定理。
练习3、f(x)=x3
+x-1在下列哪个区间上有零点( )
A.(-2,-1) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
练习4、若函数y=x2
-2x-3在区间[a,b]上的图象是
连续不断的曲线，且函数y=x2
-2x-3在(a,b)内有
零点，则f(a)·f(b)的值( )
A、大于0 B、小于0 C、无法判断 D、等于0 结论：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线： f(a)·f(b)<0 函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点； 四、例题分析
例1 求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。
解法一：定理的运用，寻找函数值符号变化的规律，确定零点存在的区间
解法二：定义的运用，求方程的根。 令f(x)=0，则有ln26xx，
若再令lngxx，26hxx，则上述
等式就可以转化为求这两个函数的交点的横坐标。
注意：反之不成立
将研究方程
f(x)=0的根的问
题转化为研究函数y=g(x)和函数
y=h(x)图象交点
的问题
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