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视频课题：数学人教A版高中必修1.2 函数模型及其应用《几类不同函数的增长模型》四川省绵阳
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数学人教A版高中必修1.2 函数模型及其应用《几类不同函数的增长模型》四川省绵阳
《几类不同增长的函数模型》
教学设计及反思
目 录
目 录... 1
一、教学内容与内容解析... 2
二、教学目标... 2
三、教学重难点... 3
四、教学问题分析... 3
五、教学支持条件... 3
六、教学过程设计... 4
（一）创设情境，引入课题... 4
（二）组织引导，合作探究... 4
1.提出问题... 4
2.分析问题... 4
3.组织探究，感性体验... 5
4.成果交流，阶段小结... 7
5.深入探究，理性分析... 11
（三）总结反思，归纳提升... 15
（四）布置作业，课外延伸... 16
七、教学体会与反思... 16
一、教学内容与内容解析
几类不同增长的函数模型是必修1第三章“函数的应用”的重要内容.它比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异,并结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
对不同函数模型在增长差异上的研究，教材围绕函数模型的应用这一核心，结合具体实例展开讨论，让学生在应用函数模型的过程中，体验到指数函数、对数函数、一次函数等函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点。
教材运用自选投资方案和制定奖励方案这两个问题，引出函数模型增长情况比较的问题，接着运用信息技术从数值和图象两个角度比较了指数函数、对数函数、幂函数的增长情况的差异，说明不同函数类型增长的含义。
学生在本节内容学习之前,已经有了指数函数、对数函数以及幂函数的相关知识,在这里进一步研究几类不同增长的函数模型的增长差异有着承上启下的作用.让学生在应用函数模型的过程中,体验到指数函数、对数函数、幂函数等函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点与差异,同时将感受到的这种差异应用在后续的函数模型实例中。
二、教学目标
（1）借助计算机制作数据表格和函数图像，对几种常见的函数类型的增长情况进行比较，在实际应用的背景中理解直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的差异。
（2）通过恰当地运用函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），表达实际问题中的函数关系的操作，认识函数问题的研究方法：观察--归纳--猜想--证明。
（3）通过对投资方案的选择及奖励模型的选择，学会利用数据表格和函数图象分析问题和解决问题；引导学生充分体验将实际问题“数学化”解决的过程， 从而理解“数学建模”的思想方法解决问题的有效性。
三、教学重难点
教学重点：将实际问题转化为数学模型，在比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型增长差异的过程中，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型函数增长的含义。
教学难点：如何结合实际问题让学生体会不同函数模型的增长差异，以及如何利用这种增长差异来解决一些实际问题。
四、教学问题分析
问题1: 本课中,学生对指数爆炸的认识缺乏一定的基础,本课先让学生自己画表，有个初步感受，在教师用EXCEL软件分析表格的过程中发现要分析增加量,通过数据对指数爆炸有了一种感性认识,教师再结合几何画板中对图象分析,从感性认识上升到理性认识。
问题2: 在公司奖励模型问题的解决过程中,教材中对判断 是否满足约束条件 ，采用了“构造函数的思想方法”,其实学生还是有困难，因为这个函数的单调性现在是没法判断，所以教师宜采用几何画板呈现图象分析单调性。学生还认为可以观察 和 的图象，但这一点也是让老师呈现图象，利用数形结合,学生能很直观地感受 在图像 的上方，这种方式也可以。
五、教学支持条件
要让学生较为全面地体会函数模型的思想，特别是本节例题中用函数模型研究实际问题有许多数据、图象等方面处理上的困难，教学中需要用函数表格、图象来帮助学生理解分析问题,所以ppt和几何画板是重要的支持条件。
教学时充分注意这一条件，不仅可以加强几何直观，节省大量时间用于学生思考，而且可以对实际问题中的数据不加“修饰”地进行分析。让学生可以在不同的范围观察到指数函数、对数函数和一次函数的增长差异，进而结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
六、教学过程设计
（一）创设情境，引入课题
故事：一个叫杰米的百万富翁，一天他碰到了一件奇怪的事．一个叫韦伯的人对他说，我想和你订个合同，在整整一个月中，我每天给你10万元，而你第一天只需给我一分钱，以后每天给我的钱是前一天的两倍……
【设计意图】 形成问题情境，引出各种不同类型的函数增长模型，进而揭示课题：几类不同增长的函数模型。产生应用函数的需要，也激发学生的学习愿望。
（二）组织引导，合作探究
1.提出问题
例1 假如你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的 回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番；
请问：你会选择哪种投资方式？
2.分析问题
【
问题1】选择最佳投资方案的原则是什么？
从解决问题的角度看：
（1）比较三种方案的每日回报；
（2）比较三种方案在若干天内的累计回报；
【
问题2】本题中涉及哪些数量关系? 如何利用函数描述这些数量关系?
解决方案：
让学生自行研究，再展示自己的结果。
预案一：每天回报数与投资天数之间的关系。
设第x天所得回报是y元,则：
方案一可用函数y=40(x∈N*)进行描述;
方案二可以用函数y=10x(x∈N*)进行描述;
方案三可以用函数 进行描述。
预案二：总回报数与天数的关系。
设总回报数为y元，投资天数为x， ，
则方案一：y=40x(x∈N*)；
方案二： ；
方案三： 。
对方案二，因为高一学生知识的匮乏，
所以提醒学生研究累积回报量也从先研究日回报着手，我们仅从日回报的角度引导学生根据数量关系，分析相应的函数模型。
【设计意图】 引发学生思考，经历由实际问题建立函数基本模型的过程。
3.组织探究，感性体验
1.教师提出问题
【问题3】你会选择哪种投资方案？请用数学语言呈现你的理由。
2.学生分组操作，比较不同增长
从解决问题的方式上：
（1）完成三种方案的日回报表（表1）并从日回报量量的角度，谈谈选择何种方案的理由。
（2）完成三种方案的累计回报表（表2），并从累积回报量的角度，谈谈选择何种方案的理由。
日回报表（表1）
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x/天 |
方案一 |
方案二 |
方案三 |
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每天回报数y/元 |
每天回报数y/元 |
每天回报数y/元 |
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1 |
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2 |
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3 |
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4 |
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5 |
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6 |
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7 |
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8 |
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9 |
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10 |
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… |
… |
… |
… |
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30 |
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结论：
累计回报表（表2）
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一 |
二 |
三 |
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1 |
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2 |
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3 |
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4 |
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5 |
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6 |
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7 |
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8 |
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9 |
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10 |
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11 |
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12 |
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13 |
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结论：
【设计意图】 保证学生合作探究、动手实践，能借助计算器，利用数据表格、对三种模型进行比较、分析，初步感受直线上升和指数爆炸的意义，初步体验研究函数增长差异的方法。
4.成果交流，阶段小结
a.学生交流
解决方案：
分组交流，组内补充。让学生交流小组探究的成果（表格、结论）。
b.师生互动
解决方案：
-
通过展示EXCEL数据表格，分别展示日回报和累积回报量与投资天数的关系，并引导学生关注增长量，感受增长差异．（部分表格如下）
|
日回报表 |
|
X（天） |
y1=40 |
y2=10x |
y3=0.4*2^(x-1) |
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1 |
40 |
10 |
0.4 |
|
2 |
40 |
20 |
0.8 |
|
3 |
40 |
30 |
1.6 |
|
4 |
40 |
40 |
3.2 |
|
5 |
40 |
50 |
6.4 |
|
6 |
40 |
60 |
12.8 |
|
7 |
40 |
70 |
25.6 |
|
8 |
40 |
80 |
51.2 |
|
9 |
40 |
90 |
102.4 |
|
10 |
40 |
100 |
204.8 |
|
11 |
40 |
110 |
409.6 |
|
12 |
40 |
120 |
819.2 |
|
… |
… |
… |
… |
|
40 |
40 |
400 |
2.19902E+11 |
从这三种方案每天所得回报看，师生共同得到以下结论：
第1~4天，方案一最多；
第5~8天，方案二最多；
第9天以后，方案三比其他两个方案所得回报多得多。
到第30天，所得回报已超过2亿元。
再展示累计回报表：
|
x/天 |
方案一 |
方案二 |
方案三 |
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y/元 |
增加量/元 |
y/元 |
增加量/元 |
y/元 |
增加量/元 |
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1 |
40 |
|
10 |
|
0.4 |
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2 |
40 |
0 |
20 |
10 |
0.8 |
0.4 |
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3 |
40 |
0 |
30 |
10 |
1.6 |
0.8 |
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4 |
40 |
0 |
40 |
10 |
3.2 |
1.6 |
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5 |
40 |
0 |
50 |
10 |
6.4 |
3.2 |
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6 |
40 |
0 |
60 |
10 |
12.8 |
6.4 |
|
7 |
40 |
0 |
70 |
10 |
25.6 |
12.8 |
|
8 |
40 |
0 |
80 |
10 |
51.2 |
25.6 |
|
9 |
40 |
0 |
90 |
10 |
102.4 |
51.2 |
|
10 |
40 |
0 |
100 |
10 |
204.8 |
102.4 |
|
11 |
40 |
0 |
110 |
10 |
409.6 |
204.8 |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
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30 |
40 |
0 |
300 |
10 |
214748364.8 |
107374182 |
从累计的回报数看，师生共同得到以下结论：
投资1~6天，应选择第一种投资方案；
投资7天，应选择第一或二种投资方案；
投资8~10天，应选择第二种投资方案；
投资11天（含11天）以上，应选择第三种投资方案。
【问题4】通过前面两个表可以发现，方案三从某天开始，数据非常大，关键在于这三个函数增长速度不一样，通过哪个量来判断这三个函数的增长速度？
引导学生通过增加量（增长量）来判断，也就是从第二天起，每一天与前一天的变化量。然后教师再展示每一种方案的增加量：
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x/天 |
方案一 |
方案二 |
方案三 |
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y/元 |
增加量/元 |
y/元 |
增加量/元 |
y/元 |
增加量/元 |
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1 |
40 |
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10 |
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0.4 |
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2 |
40 |
0 |
20 |
10 |
0.8 |
0.4 |
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3 |
40 |
0 |
30 |
10 |
1.6 |
0.8 |
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4 |
40 |
0 |
40 |
10 |
3.2 |
1.6 |
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5 |
40 |
0 |
50 |
10 |
6.4 |
3.2 |
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6 |
40 |
0 |
60 |
10 |
12.8 |
6.4 |
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7 |
40 |
0 |
70 |
10 |
25.6 |
12.8 |
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8 |
40 |
0 |
80 |
10 |
51.2 |
25.6 |
|
9 |
40 |
0 |
90 |
10 |
102.4 |
51.2 |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
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30 |
40 |
0 |
300 |
10 |
214748364.8 |
107374182 |
结论：
可以看到，方案一、方案二增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的。
-
通过教师多媒体(几何画板)动态演示，把增长量用数据来刻画，让学生进一步理解增长差异。
【问题5】你对指数型函数的增长有怎样的认识？
通过表格数据对三个函数的增长情况有了一个理性的认识了，再从图象的角度来直观感受以下（如下图）：
结论：
在不同的函数模型下，虽然都有增长，但增长态势各具特点．它们的增长不在同一个“档次”上，当自变量变得很大时，指数型函数比一次函数增长的速度要快得多。
c.归纳小结
【问题6】 由上面问题分析，几种常见函数的增长情况？
【问题7】解决实际问题的一般步骤是什么？
解决方案：
（1）通过教师的小结，增强学生对增长差异的认识。
结论：
常数函数（没有增长），一次函数（直线上升），指数型函数（指数爆炸）
（2）上述问题的解决，是通过考虑其中的数量关系，把它抽象概括成一个函数问题，用解析式、数据表格、图象这三种函数的表达形式来研究的，通过函数问题的解进而得到问题的解。
结论：
【设计意图】分享学生成果，达到生生互动、师生互动；借助多媒体展示帮，助学生理解不同增长的函数模型的增长差异，并且初步体验数学建模的基本思想，认识函数问题的研究方法。
5.深入探究，理性分析
例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：
， ， ，
其中哪个模型能符合公司的要求？
a.引导分析题意
解决方案：
让学生自行阅读，带着如下关键问题进行思考讨论：
【问题8】你能立刻做出选择吗？选择的依据是什么？
【问题9】公司的要求到底意味着怎样的数学关系？如何用数学式子体现？
【问题10】我们提供的三个增长型函数哪一个符合限制条件？
学生发言，教师补充并总结本题的关键点：
结论：在 上检验三个模型是否符合上述的两个要求。
【设计意图】 解决实际问题的第一步就是审题,并将之数学化.在此更进一步培养学生解决实际问题的能力。
b.解决问题
【问题11】我们可以如何验证 ?
【问题12】如何验证 ？
【设计意图】 引导学生如何利用题目条件,从数和形两方面解决数学问题,既巩固应用前面学到的数学方法,又为下面问题的解决提供方向。
解决方案：
（1）教师通过多媒体演示，通过观察函数的图象，让学生得到初步的结论。
结合限制条件，初步作出选择：
（2）通过计算，进一步确认，验证所得结论；
此处让学生操作，并展示自己的证明，学生补充。
结论：
a.对于模型y=0.25x,它在区间[10,1000]上递增,当x=20时，y=5，因此，当x∈(20,1000)时,y>5,因此该模型不符合要求。
b.对于模型 ,由函数图象,并利用计算器,可知在区间(805,806)内有一个点满足 ,由于它在[10,1000]上递增,因此当 时,y>5,因此该模型也不符合要求。
c.对于模型 ,它在区间[10,1000]上递增,而且当x=1000时,
,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求。
（3）只有 符合第一个要求，接下来验证 。
教师适时提问，学生思考并个别回答。
预案1
把左右两边看成两个函数，观察函数 与 的图象,只要在 上 恒在 的图象的上方即可。
但是学生画不出它们的图象。
教师在引导学生只需将 代入计算,是符合条件的；再结合刚开始教师画的图象发现直线的增长比对数函数快,对数函数增长较为平缓也可以。
预案2
通过移项，构造一个函数 ,只需研究 ，但单调性没法解决。
教师根据以上学生回答展示两个方法。
构造函数法：
令
由图得
在 上单调递减。
所以 ,即 对 恒成立。
数形结合法：
令 ,
当 时 ,
结合图象得 对 恒成立。
【设计意图】 在 的验证过程中,始终不脱离本课主题,回归到函数的“增长特征”上去,并充分体现数形结合、构造函数的思想方法。
（4）对数型函数模型增长趋势的认识
教师展示图象：
让学生体会对数增长模型的增长特征：
对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律。
【设计意图】让学生在观察和探究的过程中，学会理性分析，体会对数增长模型的特点。
（三）总结反思，归纳提升
【问题１3】 通过本节课的学习,你有哪些收获？请你从知识、方法和思想对本节课作一总结。
解决方案：
让学生思考交流，谈谈自己的收获。教师再从知识、方法和思想、注意事项、和核心素养方面总结，如下：
【设计意图】理解几类不同增长的函数模型的增长差异，提炼数学思想方法，认识数学的应用价值。
（四）布置作业，课外延伸
1.教科书P98,练习１,２。
2.收集一些社会生活中递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长速度进行比较，了解函数模型的广泛应用。
【设计意图】让学生巩固函数增长特征这一知识点.进一步体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述；培养学生对数学学科的深刻认识，体会数学的应用价值。
七、教学体会与反思
（1）数学问题解决教学应该从创设问题情景开始，本设计的情境创设比较成功.本例通过一则故事引入，直奔本课的研究主题，直击“增长”.实际教学中大多以真实的或虚拟的“生活化”材料为载体创设教学情境，以迎合“能让学生体会到数学源于生活，增长学生的应用意识”，注重“数学教育应该与现实生活密切联系”这一现代教学理念.本课的教学内容是通过两个实际问题解决，让学生体会几类不同类型的函数增长的差异。
（2）问题的解决围绕着“读懂问题—转化成数学问题—解决数学问题—还原说明-阶段小结”进行教学，教学中充分发挥了学生的主体作用。
（3）在例题教学中既要有动手操作的实践活动，又有要动脑思考和数学思维活动.例1的教学过程中，抓隹关键词“回报”，从不同的角度看待回报，让学生辨别“每天回报量”、“累计回报量”；从函数表达的三种不同形式入手，建立函数模型，让学生经历从解析式到表格的全过程.在这个过程中，让学生感受到图表的直观，解析式的抽象.在求累计回报量时，由于学生不会求等比数列的和，选取对函数模型列表计算作出判断和选择，处理有详有略，让学生体会到了常数函数、一次函数与指数型函数的增长差异.在教学中，教师可事前设计好两张表格(日回报表和累计回报表),在课堂上由学生分组合作完成,再让学生分析表格,可以培养学生分析问题、解决问题的能力。
（4）在教学中要设置一些高效的问题，对学生的思维点进行点拨。例如，在例2的教学中，在引导分析题意环节，设置如下的问题：
问题1：你能立刻做出选择吗？选择的依据是什么？
问题2：公司的要求到底意味着怎样的数学关系？如何用数学式 子体现？
问题3：我们提供的三个增长型函数哪一个符合限制条件？
从而让学生充分理解题意，知道本题要干什么。
又在判断是否满足“约束条件” 时，可以给学生留充足的时间，让他们思考讨论，以及在解决过程出现的问题。学生能很直观地想到 在 的图象的上方，但是又做不出来图。对“构造函数法”学生也还是能想到，可是它的单调性又没法判断。教师在教学中能有效解决这些问题，对学生的积极性也能调动。
（5）更加重视信息技术对课堂教学的作用.例如,教师在EXCEL中对累计回报表和日回报表的一个分析，及对两个案例图象分析过程,利用几何画板动点演曲线的增长快慢和 的变化情况，使教学过程更加生动，从而调动学生的学习积极性,更直观地体会到几个函数模型的增长差异。
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