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视频课题：高一数学新教材第三章第三节2.3《方程的根与函数的零点》云南省优课
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高一数学新教材第三章第三节2.3《方程的根与函数的零点》云南省优课
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课题：方程的根与函数的零点 3号选手
一、 教学内容分析
本节课选自《普通高中课程标准实验教课书数学I必修本（A版）》第86-88页的第三章第一课时3.1.1方程的根与函数的的零点。
函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。在现实生活注重理论与实践相结合的今天，函数与方程都有着十分重要的应用，再加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一，因此函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位。
就本章而言，本节通过对二次函数图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展。之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中（3.1.2）加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解（3.2）更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．渗透“方程与函数” 思想，起到承上启下的作用。
总之，本节课渗透着重要的数学思想 “特殊到一般的归纳思想” “方程与函数”和“数形结合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好基础，因此教好本节是至关重要的。
二、学情分析
学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的。再者一元二次方程是初中的重要内容，学生应该有较好的基础对于它根的个数以及存在性学生比较熟悉，学生理解起来没有多大问题。这也为我们归纳函数的零点与方程的根联系提供了知识基础。但是学生对其他一般性函数的图象与性质认识不深，对于高次方程还不熟悉，我们缺乏更多类型的例子，让学生从特殊到一般归纳出函数与方程的内在联系，因此理解函数的零点、函数的零点与方程根的联系应该是学生学习的难点。加之函数零点的存在性的判定方法的表示抽象难懂。因此在教学中应加强师生互动，尽多的给学生动手的机会，让学生在实践中体验二者的联系，并充分提供不同类型的二次函数和相应的一元二次方程让学生研讨，从而直观地归纳、总结、分析出二者的联系。
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三、教学目标 1.知识与技能
(1) 结合二次函数的图像，掌握零点的概念，会求简单函数的零点； (2) 理解方程的根和函数零点的关系； (3) 理解函数零点存在的判定条件；
2.过程与方法
(1)通过化归与转化思想的引导，培养从已有认知结构出发，寻求解决棘手问题方法的习惯；
(2) 通过数形结合思想的渗透，培养主动应用数学思想的意识；
(3) 通过习题与探究知识的相关性设置，引导深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；
(4)通过对函数与方程思想的不断剖析，促进对知识灵活应用的能力。
3.情感态度与价值观
(1)体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；
(2) 培养锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯；
(3) 以学生为主体，营造学习氛围，产生热爱学习数学的积极心理。
四、教学重点、难点和关键
重点：(1)函数零点与方程根之间的关系； (2)零点存在性定理的使用； 难点：(1)理解函数的零点就是方程的根； (2)理解函数零点存在的判定条件。
关键:方程的根、函数的零点以及函数图像与x轴交点横坐标之间的联系；
五、教学的方法和手段
(1) 启发式教学：启发引导学生思考、分析、实验、探索、归纳；
(2) 探究式教学：采用“设问——探索——归纳——定论”层层递进的方式来突破本课的重难点；
(3) 体现“从特殊到一般” 、“方程与函数”和“数形结合” 的思想方法； (4)运用focusky以及几何画板等软件进行多媒体课件演示法。
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六、学法：
(1) 观察学习法：观察熟悉的一元二次方程与相应的二次函数图像得出零点定义，以及观察函数图像来得出函数零点的存在的判定条件。
(2) 探究归纳法：从具体的例子中归纳一般的，共性的性质定理。 (3) 自主性学习法：通过实验画出函数图象、观察图象自得其性质. (4)反馈练习法：检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其差距
七、教学过程设计
教学流程：以旧带新，引出课题 → 探究1→归纳推广，技能演练 →探究2 →探索研究，归纳结论→课堂小结，布置作业。
【环节一：以旧带新，引出课题】设置问题情境，指明本课节目标
教师活动：用屏幕显示
第三章 函数的应用
3.1.1方程的根与函数的零点
教师活动：这节课我们来学习3.1.1方程的根与函数的零点。 方程是代数里的重要组成部分，
咱们在初中已经学过解方程的例子，比如一元一次方程、一元二次方程等，下面请同学们思考一下这样两个人问题： 用屏幕显示：问题1：方程2
230xx--=有实数解吗？
问题2：方程062ln=-+xx有实数解吗？
学生活动：回答，思考解法。
教师活动：第一个方程有实数解吗？为什么？那第二个方程有解吗？可以用判别式去判定它是有
还是没有实数根吗？也就是说，判别式这个工具的作用是有限的，只能解决一元二次方程根的问题，而不能解决一般性问题，那同学们接着思考一下，咱们一元二次方程根的问题除了用判别式，还可以用什么?
学生活动：思考作答:图像。
教师活动：那方程与函数图像这种联系，能否作为一般的工具去判别方程的根呢？
这就是本节课咱们学习的内容。
板书标题：3.1.1方程的根与函数的零点
用黑板显示：解读教学目标： 1、掌握函数零点的概念；
2、了解函数零点与方程的根的联系； 3、理解并会用零点存在性定理.
重点：函数零点的概念和函数零点与方程的根之间的联系． 难点：探究发现函数零点的存在性.
【环节二：巧设疑云，轻松渗透】，渗透数学思想
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知识探究（一）：方程的根与函数的零点
教师活动：问题3：求方程2
230xx--=的实数根？并画出函数322--=xxy的图象。
学生活动：请一位同学上黑板计算并作图，其他同学在导学案上作图并观察图像，思考作答。 教师活动：我们来认真地对比一下。 用屏幕显示：方程2
230xx--=的实数根
Û使函数0322
=--=xxy的实数解Û函
数
322
--=xxy的图象与x轴的交点的横坐标。
学生活动：得到特殊情况下方程的实数根应该是函数图象与x轴交点的横坐标的结论。 教师活动：问题4：上述关系对一般的一元二次方程
)0(02
>=++acbxax的根和它相应的二次
函数)0(2>++=acbxaxy图像与x轴的横坐标也成立吗？
播放微视频：在微视频中讲解问题4，调动积极性并提高课堂效率 学生活动：观看微视频，思考掌握
教师活动：我们就把使方程成立的实数x称做函数的零点．
【环节三：归纳推广，技能演练】引入零点定义，确认等价关系
教师活动：这是我们本节课的第一个知识点。
板书：一、函数零点的定义：对于函数y=f(x),使方程f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
活动：用屏幕显示，请独立完成例题并思考总结
例1. 函数y =（x-1)(x+2)(x-3)的零点是（ ） （A）(1,0)(-2,0)(3,0)； （B）1,-2,3； （C）(0,1)(0,-2)(0,3)； （D）-2,3． 学生活动：选（B），得出结论：零点不是点，是数，是交点的横坐标 板书：零点不是点，是数，是图像与X轴交点的横坐标。
活动：用屏幕显示，按小组形式讨论并将正确答案写在小黑板上
例2.下列函数的零点分别是多少？
（1）83-=xy （2）y=（x-1)(x-2)(x-3)(x-4) （3）322+-=xxy
学生活动：将学生分成8组，以小组形式进行讨论并把答案写在小黑板上，做好就举起黑板展示 教师活动：将展示的结果进行评析，评析之后在屏幕上用几何画板把这三个函数的图像进行展示，检验结论的正确性。
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活动：对比定义，进一步思考得出结论。
教师活动：结合函数零点的定义和我们刚才的探究过程，你认为方程的根与函数的零点究竟是什
么关系？
学生活动：思考作答。
教师活动：这是我们本节课的第二个知识点。 用屏幕显示：方程 f(x)=0 有实数根
x
0
Û函数y=f(x)的图象与x轴有交点为)0,(0
x。Û函数y=f(x)有零点x0
。
板书：二、方程的根与函数零点的等价关系
方程 f(x)=0 有实数根
x0
Û函数y=f(x)的图象与x轴有交点为)0,(0
x。
Û函数y=f(x)有零点x0
。
教师活动：对于函数y=f(x)有零点，从“数”的角度理解，就是方程f(x)=0有实根，从“形”
的角度理解，就是图象与x轴有交点。从我们刚才的探究过程中，我们知道，方程f(x)=0有实根和图象与x轴有交点也是等价的关系。所以函数零点实际上是方程f(x)=0有实根和图象与x轴有交点的一个统一体。
【环节四：探究新知，思形想数】探究图象本质，数形转化解疑
知识探究（二）：函数零点存在性定理
教师活动：用屏幕显示
问题1：现在有两组镜头（如图所示），哪一组镜头能说明人的行程一定曾渡过河?
第Ⅰ组 河 流 河 流
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第Ⅱ组
学生活动：通过观察图像，快速得出第一组 教师活动：用屏幕显示
问题2：第Ⅰ组情况，将河流抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。请大家用连续
不断的曲线画出行人的可能路径。
学生活动：独立思考并在导学案上画出行人的可能路径 教师活动：借助手机软件将学生所画各种路径展示在屏幕上 学生活动：认真观察展示路径并思考
教师活动：用屏幕显示
问题3：若把所画连续不断的曲线表示为函数f（x），设A点的横坐标为a，B点的横坐标
为b，问：函数在区间（a，b）内一定存在零点吗？
学生活动：通过观察和思考得出：不一定
教师活动：我们看到，当函数图象穿过x轴时，图象就与x轴产生了交点，图象穿过x轴这是一
种几何现象，那么如何用代数形式来描述呢？用屏幕显示路径的函数图象，多次播放路径曲线穿过x轴的画面。
学生活动：通过观察图象，得出函数零点的左右两侧函数值异号的结论.
教师活动：好！我们明确一下这个结论，函数y=f(x)具备什么条件时，能在区间（a,b）上存在
零点？
学生活动：得出f(a)·f(b)<0的结论。
教师活动：若f(a)·f(b)<0,函数y＝f(x)在区间(a,b)上就存在零点吗？
教师活动：用屏幕显示
问题4：如果函数的图像不是连续不断的，函数的零点一定存在吗？
河 流
河 流
A．
B．
y x o
a b O x y
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学生活动：可从屏幕上的图象中受到启发，得出只有在[a,b]上连续不断的函数，在满足
f(a)·f(b)<0的条件时，才会存在零点的结论。
【环节五：探索研究，归纳结论】初识定理表象，深入理解实质
教师活动：其实同学们无形之中已经说出了我们数学中的一个重要定理，那就是零点存在性定理。
这是我们本节课的第三个知识点。
教师活动：用屏幕显示
函数零点存在性定理：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点．
即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根． 教师活动：这个定理比较长，老师在黑板上板书，让大家更好地体会定理的内容。
板书：三、零点存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点．
即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根． 学生活动：读出定理。
教师活动：标出关键点：连续不断，异号 学生活动：在导学案上标记出关键点
教师活动：大家注意到了么，定理中，开始时是在闭区间[a,b]上连续，结果推出时却是在开区
间（a,b）上存在零点。你怎样理解这种差异？
学生活动：思考作答。
教师活动：虽然我们已经得到了零点存在性定理，但同学们真的那么坦然么？结合定理的叙述形
式，你对定理的内容可有疑问？
教师活动：用屏幕显示
例3 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例
（1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间
(a,b)内有且仅有一个零点.（ ）
（2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在区间
(a,b)内没有零点.（ ）
（3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且在区间(a,b)内存在零
点，则有f(a)·f(b)<0.（ ）
教师活动：那我们就来解决一下这些问题。
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学生活动：通过屏幕上的结论判断出正误，并得出结论。
1.若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则只能确定f(x)在区间(a,b)内有零点，有几个不一定。
2.若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在区间(a,b)内也可能有零点。
3.在零点存在性定理的条件下，如果函数再具有单调性,函数y＝f(x)在区间(a,b)上可存在唯一零点。
【环节六：应用所学，答疑解惑】把握理论实质，解决初始问题
教师活动：用屏幕显示
例4. 已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：
x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) 23 9 –7 11 –5 –12
–26
那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（ ）个 A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
学生活动：通过对零点存在性的探究和理解，给出正确答案C。 教师活动：请一位同学回答并讲解原因
学生活动：学生说出答案并且通过异号讲解原因
教师活动：用屏幕显示
例5：求函数62ln-+=xxy的零点个数.
学生活动：通过看表思考问题 教师活动：请两位同学回答这个问题
学生活动：学生回答由于f(2)<0,f(3)>0，异号，所以这个函数在区间(2,3)内有零点
教师活动：非常好，哪有几个零点呢？ 学生活动：一个或者多个
教师活动：通过零点存在性定理，咱们可以判断一个函数在某个区间上有无零点，但具体有几个不确定，这就是下一节咱们得接着学习的内容，现在咱们通过几何画板来把这个函数的图像画出来大家来观察有几个零点？
教师活动：操作几何画板画出62ln-+=xxy的图像
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学生活动：通过几何画板的函数图像得出零点个数
【环节七：课堂小结，布置作业】总结基础知识，提升解题意识
教师活动：本节课的知识点已经在黑板上呈现出来了，但最重要的，也是贯穿本节课始终，起到
灵魂作用的却是三大数学思想，即化归与转化的数学思想,数形结合的数学思想,函数与方程的数学思想.数学思想才是数学的灵魂所在，也是数学的魅力所在，对我们解决问题起着绝对的指导作用。愿我们每个同学在今后的学习中体味、感悟、应用、升华！
八、板书设计
3.1.1方程的根与函数的零点
一、函数零点的定义：对于函数y=f(x),使方程f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点．（零点不是点，是数，是图像与X轴交点的横坐标。）
二、方程的根与函数零点的等价关系 方程 f(x)=0 有实数根x0
Û函数y=f(x)的图象与x轴有交点为)0,(0
x。Û函数
y=f(x)有零点x0。
三、零点存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点． 即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根． 屏幕
教学目标：
1、掌握函数零点的概念；
2、了解函数零点与方程的根的联系；
3、理解并会用零点存在性定理.
重点：函数零点的概念和函数零点与方程的根之间的联系．
难点：探究发现函数零点的存在性.
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九、教学反思
本设计遵循了由浅入深、循序渐进的原则，分三步来展开这部分的内容。第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形。第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质研究方程的解，体现函数与方程的关系。第三步，在函数模型的应用过程中，通过建立函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系逐步建立起函数与方程的联系。本节只是函数与方程的关系建立的第一步，教学中忌面面具到，延展太深。 恰当使用信息技术：本节的教学中应当充分使用信息技术。实际上，一些内容因为涉及大数字运算、大量的数据处理、超越方程求解以及复杂的函数作图，因此如果没有信息技术的支持，教学是不容易展开的。因此，教学中会加强信息技术的使用力度，合理使用多媒体和计算器。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
