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视频标签：点的轨迹圆
所属栏目：高中数学优质课视频
视频课题：高中数学人教A版必修二探究《点的轨迹圆》
教学设计、课堂实录及教案：高中数学人教A版必修二探究点的轨迹圆
探究点的轨迹：圆 教学设计 海南师范大学附属中学 许越
一、教学背景
本课内容位于必修二第四章第139页，是一则关于信息技术应用的探究思考。解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现数形结合的重要数学思想。《普通高中数学课程标准（实验）》指出：在平面解析几何初步的教学中，教师应帮助学生经历如下过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。
从内容上看，内容强调利用信息技术探究关于动点轨迹的问题，与前面第124页的阅读材料《吴文俊与机器证明法》相对应，承接后续选修2-1中的《探究点的轨迹：椭圆》问题，且讲授时间位于学期末，很适合作为学生的自主探究材料。
求曲线方程的方法是多样的，本课旨在引导学生感受由曲线求方程的思想方法，进而抽象出一类数学题的解题模型。在几何画板演示中，强调引导学生在动态的观察中找到引起动点变动的原因，抓住问题的本质。
二、教学目标
知识与技能：理解坐标法，并能运用其求动点的轨迹方程；掌握方程化简的运算技巧。 过程与方法：通过几何画板展示，让学生感受数形结合思想、方程思想；感受数学建模。 情感态度价值观：了解大数学家吴文俊先生的生平，感受传统数学文化的思想，激发学习热情。
三、教学重难点
教学重点：坐标法求轨迹问题；正确书写方程并进行化简。 教学难点：利用几何画板模拟，引导学生抽象出数学模型。
四、教学过程 教师活动 教学过程
学生活动 一、 复习引入
PPT展示
问1：根据上节课的学习，我们认识了代入法求轨迹方程，回忆下，问题的解决需要分为几个步骤？
问2：今天我们要研究的主题是探究点的轨迹，主要探究的轨迹模型是圆。那么首先我们要先理解曲线与方程之间的关系。 （抽问学生并加以讨论获得结论）
一般的，在直角坐标系中，若某曲线C上的点与一个二元方程
(,)0fxy的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上
则称这个方程为曲线的方程，称曲线为方程的曲线.
师：在高中阶段，我们研究的曲线方程主要是二元方程，我们将之表示为(,)0fxy。而我们要求轨迹方程，实质上便是寻找这种
抽问学生上节课所学内容。
二、 探究新知 三、 习题演练 观察学生的解题情况，将出色的解题步骤拿上台进行展示。 四、 拓展升华
使得等式成立的变量间的对应关系。以上，便是我们对求轨迹方程的理解。
师：首先，让我们来进行一个探究。
问题：已知点(2,0)P，(8,0)Q，点M与点P的距离是它与点Q的距离的1
5
，请探究点M的轨迹，并给出轨迹的方程.
（几何画板演示）猜想：点M的轨迹是一个圆.
（引导学生思考，并在黑板上板书过程，强调规范。）
类题演练：课本p124 B组第3题
已知点M与两个定点(0,0)O，(3,0)A的距离的比为
1
2
，求点M的轨迹方程.
问3：如何利用坐标法求点的轨迹方程？ （抽问学生，必要时进行板书）
师：通过方程研究曲线的性质是解析几何的主要内容，其中坐标法是一种重要方法。与欧几里得几何体系不同，中国传统数学在研究空间几何形式时更着重于可以通过数量来表达的属性。数学家吴文俊先生以古代数学家刘徽的研究为基础，寻找到了空间几何的机器证明法，我们称之为“吴方法”。
让我们遗憾的是，吴先生在这个月与世长辞，但他的思想与风骨，在中国科学院数学机械化重点实验室得到了传承。
师：观察我们之前处理的两道题，我们不难发现，题中有着许多共同点。于是我们便开始思考，能不能从中总结出一些类题通法？
观察题目，我们不难发现，题中都有三个点，其中两个定点，一个动点，且动点到两个定点之间的距离之比为定值。观察结果，我们发现，动点的轨迹为圆，且圆心位于两点所称的连线上。 问4：基于以上特征，你能否提出一个猜想？能否证明你的猜想？
模型表述：已知曲线C是与两个定点(0,0)O，(,0)(0)Aaa距离的比为(0)kk的
点的轨迹，求曲线C的方程，并判断曲线C的形状.
师：任取曲线上一点(,)Mxy，可知||||(0)OMkAMk 若1k，||||OMAM，可知点M为线段OA的垂直平分线；
讨论并进行演算，进行关键步骤的化简。
在草稿纸上解题。
讨论出具体步骤。
学生讨论并加以总结。
五、 本课小结
若1k，加以化简得22222
2
22011akakxyxkk 配方后可知，曲线C为圆心22
(,0)1
akk，半径为22||1ak
k的圆. 问5：通过这节课的学习，我们有怎样的收获？
学生讨论并加以总结。
五、教学反思
1.容量较大，只有少部分学生能完成最后的数学模型证明，但其余学生在课后都能凭自己的努力完成证明；
2.囿于时间与设备要求，利用几何画板探究的过程仅由老师进行，课堂上学生缺少动手机会，只能课下加以实践；
3.在课前安排了思考环节，引导学生阅读材料，但没让学生进行更深层次的探索。若给学生制定任务，如了解古代某些数学家的思想，在课堂上学生展示，效果更好。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
