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视频标签：点到直线的距离
所属栏目：高中数学优质课视频
视频课题：高中数学人教A版必修二3.3.3点到直线的距离-北京
教学设计、课堂实录及教案：高中数学人教A版必修二3.3.3 点到直线的距离-北京市密云县第二中学
建构主义学习理论认为：个体的学习不是在一片空白或完全相同的背景下进行的，他的已有知识经验、信念、个性、情感等都不同程度的参与其中。所以，教学应当重视学生已有的经验，把这些经验作为新知识的生长点，引导学生从原有经验中“生长”出新的知识经验。教学不是简单的知识传递，而是知识的处理和转换。同时《数学课程标准》明确指出：“倡导积极主动，勇于探索的学习方式。”
基于此，本节课的教学从学生初中课本中的一个例子出发，引导学生发现解决同一问题的不同途径和方法。通过对几个具体的特殊的情况的分析和解决，从而得出推广到一般情况下的结论，体现了由特殊到一般的解决问题的方法。对于解决问题两种方法的思考来源，追问学生依据是什么，让学生体会新、旧知识之间的处理和转换，符合学生的认知特点。学生活动的设计，围绕以学生为中心，突出学生的主体作用。
教学背景分析
《直线与方程》是平面解析几何的第一章，是研究解析几何的起始章节。在方法上介绍了坐标法，它是解析几何中最基本的研究方法。《点到直线的距离》这一节，是联结《两点间的距离》和《两条平行直线间的距离》的桥梁。它既是两点间距离的应用，又是两条平行直线间距离公式的来源，还可以求三角形的高，求圆心到直线的距离，求抛物线的方程等等。无论是从知识结构还是教材的编排上看，它都是本章的核心内容。
学生刚刚接触解析几何，对坐标法的理解和掌握都不是很到位，因此本节课的教学继续强化学生对坐标法的理解和应用。学生已经掌握了直线的倾斜角和方程、直线的方程、两点间的距离等相关知识，在此基础上继续进行对点到直线的距离的探索。通过本节课的教学，能让学生在探索过程中深刻的体会到新、旧知识之间的联系，领悟到蕴涵于公式推导中的重要的数学
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思想和方法，学会利用数形结合思想，化归思想，由浅入深，由特殊到一般的研究数学问题的方法，培养学生的发散思维。
本节课我采用启发式教学、计算机辅助教学等教学方式。
启发式教学重视全面发挥学生的主观能动性，启发学生通过自己积极主动的思维去获取知识，发展思维能力，培养智力。启发式教学主要是善于问答，从引入的问题开始，通过一个个精心设计，逐步递进的问题，引发学生思考，引导学生探索公式推导的思路并完成公式的推导，培养学生思维的灵活性，严密性，渗透数学思想。计算机辅助教学，使学生直观感知点到直线的距离，并由特殊情况推广到一般情况，从而突破难点。谈话法是对部分学生进行前测，找到他们在恒等变形中存在的问题，针对这一问题，我在直线是特殊的位置时，即平行（或垂直于）坐标轴时，向学生渗透了yx,轴互换位置的想法，提高了学生对推导公式的操作性。
建构主义的学生观认为教学应当重视学生已有的经验，把这些经验作为新知识的增长点，引导学生从原有经验中“生长出”新的知识经验。因此，在推导点到直线的距离公式的第一种方法中，将点到直线距离转化为两点间距离，体现了“化归”的数学思想方法。第二种方法运用了推导两点间距离公式中构造直角三角形的方法，培养学生学以致用的能力。
教学目标
教学的目的是促进学生的发展，一是掌握数学基本知识、基本技能、基本思想、基本方法，二是培养数学能力，三是培养个性品质，得到全面发展，因此我将教学目标定为：
1.推导点到直线的距离公式，掌握点到直线的距离公式，会利用公式求点到直线的距离； 2.学生通过自主探究，个别展示，互助交流，共同寻求点到直线的距离公式的推导方法，在探究过程中，学生体会数形结合，化归与转化的数学思想方法，以及由特殊到一般的研究方法。
3.学生能够用联系的观点看问题，在探究问题的过程中形成锲而不舍的钻研精神，并体验成功的喜悦。
重、难点
从学生已有的知识和经验看，可以把点到直线的距离问题转化为点到点的距离问题，从而完成任务，此种方法虽然思路清晰，但是计算量大，所以公式的推导是难点。公式的推导过程渗透了多种数学思想（数形结合，等价转化等），所以公式的推导也是重点，基于在解析几何中点到直线的距离公式的频繁应用，因此也将点到直线的距离公式的简单应用作为重点。
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合 作 交 流
（1） 当直线垂直于x轴时：
),(00yxP，axl: axd0
（2） 当直线垂直于y轴时：
),(00yxP，byl: byd0
观察两个式子，当直线垂直于x轴时，得到了点到直线的距离axd0，当直线垂直于y轴时，就可
以看成是x轴，y轴互换位置，只要把式子中的x换成y，相应的a换成b即可。
问题4：当直线既不垂直于x轴也不垂直于y轴时，如何求点P到直线l的距离？给出一组具体点的坐标和直线的方程，求此时点到直线的距离。
法1: 利用两点间距离公式
如图，由042yx可得直线l的斜率为2，则
直线PQ的斜率为21
，由直线方程的点斜式，可得直线
PQ的方程为：221xy，联立方程
221
42xyxy，得点Q的坐标为)512
,54(，由两点间距离公式可得
5
5
7)1512()254(22
PQ. 方法1利用了两点间距离公式，将点到直线的距离转化
学生回答点到直线的距
离的表示。
学生展示方
法1
教师点评后，学生思考其中所蕴含的数学思想方法。
使学生体会由特殊到一般的
思想，由具体到抽象的解决问题的方法，将x轴，y轴互换位置的思想也为后面推导点到直线的距离公式提供一种思路，可以减少学生的计算量，为公式的获取节省时间。
通过巡视，选取具有代表性的解法，前面展示的同学与未展示的同学可以产生共鸣。可以吸引
学生的注意力，找到自己与展示同学方法的异同。
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为以前学习过的两点间的距离，思路比较清晰，学生 能够体会坐标法的思想，但是计算上略显繁琐。
学生总结用两点间距离公式求点到直线的距离的步骤：
方法2：等面积法
如图，过P点分别作x轴和y轴的平行线，交直线l与
R和S，则直线PR的方程为1y,R的坐标为)1,23
(，
直线PS的方程为2x，S的坐标为)8,2(，于是
,27PR,7PS,25
7RS由三角形面积公式可
得，PSPRRSd,所以5
57d
学生总结利
用两点间距离公式求点到直线的距
离的步骤。
学生展示方法2
通过学生之间的纠错，点评，能够发现自己的问题，解题步骤的总结，也为解决同一类提供了解决
的方法和途径。使学生掌握解决同一类问题的规范的解题步骤。
充分发挥学生学习的主动性，通过多种解法，解决问题，在上课的过程中，学生可能还会有其他的解法，在分析思路以及方法的可行性后，教师要给予肯定。解题步骤的总结
确定直线l的斜率k
求与l垂直直线的斜率
求过点P垂直于l的直线'
l的方程
求l与'
l的交点Q
求点P与点Q间的距离 得到点P到l的
距离
方法2利用三角形面积相等，在计算上要优于方法1。先求与坐标轴平行的线段的长度，再求与坐标轴不
平行的线段的长度。把斜线段的长度问题转化为两条 图9
平行于坐标轴的线段的长度问题，体现了降维的思想。 学生总结用等面积法求点到直线的距离的步骤：
问题5：推广到一般的直线，又该如何求点到直线的距离？
方法：等面积法
过点P分别作x轴和y轴的平行线，交直线l于R和S，则直线PR的方程为0yy，R的坐标为
教师点评后，学生思
考其中所蕴含的数学思
想方法。
学生总结利用等面积法求点到直线的距离的步骤。
将具体的情况推广到一般情况，学生思考如何用点的坐标和直线方程中的系数来表示点到直
线的距离。
也为后面推导点到直线的距离公式提供思路，规范解题步骤。
方法2是教材中介绍的方法，将点到直线的距离转化为直角三角形斜边上的高，这种方法也是学生需要自己动手完成的，此方法的思路与上节课学习的两点间距离公式的推导方法相似，都是构造直角三角形，体现了知识之间的相互联系，以及学生学以致用的能力，同
时也考察了学生一定的计算能力。
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