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视频标签：切线的判定和性质
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视频课题：人教版九年级上册24.2《切线的判定和性质》天津市新华中学
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人教版九年级上册24.2《切线的判定和性质》天津市新华中学
24.2.2 直线和圆的位置关系（第2课时）
（又名：切线的判定与性质）
一、内容和内容解析
1. 内容
切线的判定定理与性质定理。
2. 内容解析
在学习了直线与圆的三种位置关系之后，我们将重点研究直线和圆相切的情况。这节内容是切线的图形特征和数量特征的进一步延续，是数学课程标准中“图形与几何”的重要组成部分。判断直线和圆相切的方法有三种：第一种是根据圆和直线的交点个数判断（和圆只有一个公共点的直线是圆的切线）；第二种是根据圆心到直线的距离与半径的大小判断（和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线）；第三种就是根据切线的判定定理判断，即经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。此时，应注意定理中的两个条件“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两者缺一不可。其实，切线的判定定理是从第二种方法直接得来的，只不过是为了便于应用，才改写成这样的形式。
切线的性质定理是判定定理的逆定理。对于切线的性质定理，可以从“二个点”和“一个垂直关系”这三者之间的关系去发现。二个点——圆心（点）和切点，一个垂直——过切点的半径与切线互相垂直。如果一条直线满足这三个条件中的任意两个，那么它必定满足第三个条件。于是便可以得到性质（1）切线垂直于过切点的半径；（2）经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；（3）经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：切线的判定定理与性质定理。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线。
（2）理解并掌握切线的判定定理与性质定理，会利用判定定理与性质定理解决简单问题。
2.目标解析
达成目标（1）的标志是：学生能自主完成过圆上一点画出这个圆的切线，进而理解“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”。反过来，也能认识到“圆的切线垂直于过切点的半径”。
达成目标（2）的标志是：学生能够分清判定定理和性质定理的题设和结论，并能解决简单问题，明确运用定理时常用的添加辅助线的方法。
三、教学问题诊断分析
学生在学习完直线和圆的位置关系后，能够说出如果d=ró直线和圆相切，但是如果直接得出切线的判定定理对多数学生而言是个挑战，困难在于如何用简练而准确的语言叙述判定定理，此时可以先从教材中的“思考”入手，逐步引导学生自己说出定理内容，教师适时给予补充和纠正，还可以让学生自己动手画图，感受定理中两个条件缺一不可。另外，判定定理和性质定理中的题设和结论较为隐蔽，教师也要适时做以引导。
在利用判定定理和性质定理解题时，常常需要添加辅助线，学生也常常对此感到困惑。因此，教师可以举出实例，帮助学生总结证明一条直线是圆的切线有两种辅助线的作法：（1）有公共点时，连半径，证垂直；（2）无公共点时，作垂直，证半径。在运用性质定理解题时，可以连半径，得垂直。
基于以上分析，本节课的教学难点是：引导学生得出切线的判定定理，掌握添加辅助线的方法。
四、教学过程设计
1. 复习直线和圆的三种位置关系
问题1: 图1、图2、图3中的直线l和⊙O是什么关系？如何判断这三种位置关系？
师生活动：学生回顾上节课所学，教师提问：
-
图1、图2、图3中的直线l和⊙O是什么关系？（相离、相切、相交）
-
如何判断这三种位置关系？（可以从公共点的个数和圆心到直线的距离d和半径r的关系两个方面去判断。）
设计意图：复习旧知，为接下来学习切线的判定定理和性质定理做准备。
2. 探索切线的判定定理
问题2: 根据之前学过的知识，如何画出圆的一条切线？
师生活动：学生动手操作，可能无从下手，教师要进行引导，可以添加一条半径，降低难度。（学生回答：如果添加一条半径，可以画一条直线与这条半径垂直。）
教师追问：如果只满足“垂直于半径”这一个条件可以吗？（学生回答：还要过半径外端。）
教师追问：如果只有“过半径外端”呢？（学生回答：还要垂直于半径。）
师生活动：如果只满足“垂直于半径”这个条件，演示图1中的动画。如果只满足“过半径外端”，演示图2中的动画。在这个过程中，可能有些同学画的直线经过半径的外端但不一定与半径垂直，或者虽然垂直半径但不一定经过半径的外端。这些问题教师都需及时关注并给予指导纠正。
图1 图2
设计意图：学生通过动手画图，感受直线变成切线，两个条件缺一不可。
问题3: 由前面学习的两个条件，你能不能总结出切线的判定定理？
师生活动：学生根据两个条件，即“经过半径的外端”且“垂直于半径”总结出切线的判定定理，即经过半径的外端并且垂直半径的直线是圆的切线。
教师追问：判定定理中的题设和结论分别是什么？（学生回答：题设是一条直线经过半径的外端并且垂直于半径，结论是这条直线是圆的切线。）
教师追问：分清了题设和结论，能不能把判定定理用几何语言表示出来？（学生回答：∵ OA是半径，OA⊥
l于A
∴
l是⊙O的切线）
设计意图：通过一系列的问题串，使学生自主说出切线的判定定理。分清定理的题设和结论，写出定理的几何表示也是应用定理解决问题的关键。
问题4: 判断直线与圆相切，你有多少种方法？
师生活动：学生回答，三种方法。分别是（1）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.（2）与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.（3）经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
教师补充，需要和学生说明的是，判定定理是为了便于应用直线和圆相切的定义而改写的一种形式。
设计意图：联系新知与旧知，总结概括出判断直线与圆相切的三种方法，为解决实际问题提供思路。
3. 运用判定定理解决实际问题
例1:如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB.求证：AT是
⊙O的切线.
师生活动：教师引导从求证出发，要想证明直线是圆的切线需要满足两个条件，题目已知过半径外端，只需证明AT与半径垂直即可。
设计意图：通过例1，巩固判定定理中的两个重要条件。
例2:如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线。
变式: 如图,OA=OB＝5，AB=8, ⊙O的直径为6. 求证:直线AB是⊙O的切线.
师生活动：通过教师引导，学生独立完成例2和变式，体会两种证法的不同之处。帮助学生总结不同题目条件下所添加辅助线的不同方法。即“有公共点时，连半径，证垂直”，“无公共点时，作垂直，证半径”。
设计意图：教师给出两个相似的图形，对比得出不同条件下添加辅助线的不同方法。再次强化判定定理中的两个必要条件，缺一不可。
3. 探索切线的性质定理
问题5: 能不能写出判定定理的逆命题？
师生活动：学生回答，如果一条直线是圆的切线，那么这条直线垂直于半径。
教师追问：垂直于任何一条半径吗？（学生回答：垂直于过切点的半径。）
教师帮助总结性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
教师追问：如何证明这个结论？
教师引导学生发现要证明的情况只是垂直一种，如果不能从已知出发得到结论，可以考虑用反证法。如果学生不能顺利说出证明过程，教师可以进行引导：假设OA与直线
l不垂直，过点O作OM⊥
l，根据垂线段最短的性质，又OM<OA，这说明圆心O到直线
l的距离小于半径OA，于是直线
l就与圆相交，而这与直线
l是⊙O的切线矛盾。因此，OA与直线
l垂直。从而得到切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
教师追问：定理的题设和结论是什么？（学生回答：题设是一条直线是圆的切线，结论是这条直线垂直于过切点的半径）
设计意图：利用反证法引导学生得出切线的性质定理，并体会反证法的作用，但对于这个证明只需让学生知道即可，部分学有余力的同学可以要求口头表述。
4. 运用定理解决实际问题
例3: 如图，AB是⊙O的直径，直线
l1，
l2是⊙O的切线，A、B是
切点，
l1，
l2有怎样的位置关系？证明你的结论。
师生活动：教师引导，题目条件中有
l1，
l2是⊙O的切线，直接通过性质定理得出
l1⊥AB，
l2⊥AB。
教师追问：如何得出
l1，
l2的位置关系？（学生回答：
l1//
l2。）
教师追问：你的根据是什么？（学生回答：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。）
设计意图：通过例3，巩固切线的性质定理。
例4：已知：△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D. 求证： AC 是⊙O 的切线．
师生活动：教师提问：
-
证明切线有几种方法？最易于操作的是哪种？（切线的判定定理）
-
用切线的判定定理需要满足几个条件？（两个）这两个条件已知中有吗？（没有）
题目中既没有半径又没有垂直，就需要由O点作AC的垂线段OE，证明OE是⊙O的半径，这样两个条件均满足，即可证明AC是⊙O的切线。
-
充分挖掘已知条件，尤其是已知中的AB与⊙O相切，你能得到什么结论？（连接OD，OD是半径且OD⊥AB）
要想证明OE是半径，只需证明OE=OD即可。老师点拨后，学生先分组讨论，然后独立完成解题过程，在解题时遇到的困难教师给予指导。最后通过展台，由一位学生展示解题过程。学生讲解后，教师进行升华总结，得到两条经验：如果直线与圆的公共点没有确定，需要过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径。这样的添辅助线的方法叫做“作垂直，证半径”。如果已知直线是圆的切线，只要连接半径，得出直线垂直于半径即可，即“连半径，得垂直”。
设计意图：这道题结合了切线的性质定理和判定定理，是一道比较综合的题目。并且通过运用性质定理解决问题，得到“连半径，得垂直”的辅助线添加方法。
5. 小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
-
切线的判定定理和性质定理是什么？它们有怎样的联系？
-
在应用性质定理解题时，需要反馈什么结论？在应用判定定理解题时，需要如何添加辅助线？
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心——切线的判定定理和性质定理，明确两定理的题设和结论，并应用定理解决简单问题。
6. 布置作业
教材102页10、12题。
五、目标检测设计
1.如图，AB是⊙O直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于D，∠C=20
。，求∠CDA的度数
设计意图：考查学生对切线性质定理的掌握。
2. 在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于D,以D为圆心,DB长为半径作⊙D.试说明:AC是⊙D的切线.
设计意图：考查学生对切线判定定理的掌握。
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