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视频标签：正多边形和圆
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视频课题：人教版九年级上册数学第24章《24.3正多边形和圆》重庆
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人教版九年级上册数学第24章《24.3正多边形和圆》重庆
教学目标
1、通过等分圆周的方法,探索正多边形和圆的关系
2、了解正多边形的相关概念
3、通过动手操作,体会正多边形的对称性,明确正n边形有n个内角、n个中心角、n条边、n条半径、n条边心距及它们之间的相互联系,从而进行正多边形的相关计算
4、感受解决生活中的实际问题可建立数学模型,体现数学建模思想和数形结合思想
2学情分析
我所任教的是本校九年级小班数学教学工作。小班的学生思维能力、学习能力较强,他们更希望自己动手,发现新知识、探索新知识,有较强的表现欲;但受年龄等因素的影响,注意力不持久,对枯燥的数学问题缺乏兴趣,缺乏追求成功的韧性,这需要教师创设生动的问题情境,激起学生的探究欲望,在遇到困难时,引导学生团结协作,充分发挥集体智慧。辅之以现代教学手段的音、画效果,激发学习积极性。及时发现学生在学习中的不同进步,正确评价,充分发挥评价的激励性,帮助他们建立自信,提高学习的兴趣。
3重点难点
正n边形的相关计算是本节课的重难点,与角有关的计算比较容易推导和理解,与边有关的计算是难点,往往要找中心角的一半,部分学生在实际解题过程中往往忽略通过角得到各边之间的关系,所以需要加强练习,并让学生有所感悟边角之间的联系,教学过程中要加以引导,及时巩固和运用。
4教学过程
4.1《正多边形和圆》课堂实录 情景引入 学生分享： 师：“老师让你们课前准备的正三角形和正多边形都准备了吗？” 生：“准备了！” 师：“那你能和我们分享一下是怎么做的吗？” 生1：“我做的是正三角形，我先做了一条线段的中垂线，然后再取中垂线上的一点连接两个端点就得到了。 师：“这一定是正三角形吗？还需要满足什么吗？你只能得到等腰三角形吧？” 生1：“哦，还要取一个角为60°” 生2：“我直接做了一个角为60°的等腰三角形。” 生3：“我做的是三个角都是60°的三角形。” 生4：“我做的是正方形，用一张长方形纸对折，再减去多余部分。” 生5：“我取了四个角都是直角并保证四条边相等。” 教师分享： 师：“老师也做了，请看——” （播放视频）“通过刚才的作图可以看出，就是把圆周分别三等分、四等分、六等分，那你知道怎么做正五边形吗？对了，就是把圆周五等分，那怎样才能把圆周五等分呢？等分圆周可以得到正多边形，是不是表明正多边形和圆有关呢？我们一同走进今天的学习：正多边形和圆 探索新知 理论依据 师：“看来正多边形和圆关系真是密切。只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，而这个圆就是这个正多边形的外接圆。”（课件演示） 师：“那这是为什么呢？理论依据在哪？我们以正五边形为例，小组交流：为什么把一个圆分成相等的5段弧，依次连接各分点就可以得到正五边形？ 抽生上台讲解，师利用交互白板板书：弧等→弦等，即正多边形的边等 3倍弧等→圆周角等，即正多边形的角等 正多边形的定义 师：“那你知道正多边形的定义了吗？” 由生自己总结得出：各边相等,各角也相等的多边形是正多边形. 师：“矩形是正多边形吗？（生：不是）为什么不是？（生：边不相等），那菱形呢？（生：也不是，角不相等） 师给出正n边形定义：“如果一个正多边形有n 条边，那么这个正多边形叫做正n 边形。 生勾画教材P105定义 自主学习各部分名称P105 请生上台介绍，师补充：“半径”不变，其他名称都是“一字之差”，“圆心”→“中心”；“圆心角”→“中心角”；“弦心距”→“边心距”；“弦”→“边” 探究正多边形的对称性 师：请同学们拿出每组的正n边形观察，它是轴对称图形吗？如果是，动手折出它的对称轴，你能折出几条？小组能得出什么结论？ 学生活动 师：“折正三角形的同学，大声地告诉老师，你折了几条？” 生：“三条。” 师：“正方形呢？（四条）六边形呢？（六条）八边形（八条）” 生齐答：“正n边形都是轴对称图形，有n条对称轴。” 师：“把你手中的正n边形旋转180°，你又有何发现？” 生动手操作后汇报：“有些能和原图重合，有些不能。” 师：“那哪些能，哪些不能，你们能总结一下吗？” 生在追问下，思考得出：“奇数边的不能和原图重合，偶数边的可以和原图重合。” 师：“旋转180°后和原图能重合的叫什么图形？” 生：“中心对称图形。” 师板书：n为偶数的正n边形既是轴对称图形又是中心对称图形 n为奇数的正n边形仅是轴对称图形 与角有关的计算 （一）推导 师：“观察每个正n边形角的个数，你能推出每个内角、每个外角的度数吗？说给组内成员听一听。” 生交流后抽生汇报：“利用多边形的内角和除以个数就可以知道每个内角的度数，因为正n边形每个内角相等。” 师板书： 每个内角= 师：“那每个外角呢？” 生1：“用180°—每个内角” 师：“还有其他简便点的吗？，既然求每个内角用到了多边形的内角和，那求每个外角就可以用……” 生齐答：“外角和” 生2：“每个外角= 请生用笔作出正n边形的中心（即对称轴的交点）并作出所有半径，有何发现？ 抽生演示，得出：正n边形被n条半径分成了n个全等的等腰三角形 师：“正n边形有n条半径，那有多少个中心角呢？每个中心角多少度？” 生齐答：“n个中心角， 师：“所以以后你想要作正几边形就可以把360°几等分；并且我们还知道了，中心角=外角= （二）运用： （1）正八边形的每个内角是______度. （2）一个中心角等于36°的正多边形的边数为__________； 一个外角等于30°的正多边形的边数为__________． （3）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠CFD的度数是（ ） A. 60 B. 45° C. 30° D. 22.5° 6、与边有关的计算 （一）推导 师：“刚才是角的关系，接下来我们来看边的关系。 图中有圆的什么定理？” 生：“垂径定理” 师：“即CM=1／2 CD,我们的计算往往是在（生答：直角）三角形中进行，所以我们连接OC，作出半径，就构造了直角三角形，得出数量关 系（生答：OM2+CM2=OC2）设正多边形的边长为a,半径为r,边心距为d，则有 生答： 师：“那你知道∠COM=？ 生：“30°” 师：“为什么呢？” 生：“因为图中的中心角60°，等腰三角形三线合一，所以∠ COM等于60°的一半。” 师：“那其他的正n边形这样的角等于多少度呢？有一般性吗？请叙述理由” 生：“中心角360／n,那这个角就是它的一半，180／n” 师：“有了这个角，如果还是30°、45°、60°的特殊度数的角，在直角三角形中的计算就更加方便。那如果用a表示正n边形的边长， d表示边心距，如何表示正n边形的周长和面积呢？小组交流” 生汇报：①正n边形有n条边，每条边相等，都为a，所以周长C=na ②（师提示三角形是我们的基本图形）先求一个三角形的面积，正n边形里有n个全等的三角形，所以 （二）运用 （1）例题学习：例. 有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1）. 师：“运用数学知识解决实际问题，我们往往先建立数学模型，这就是数学建模思想，那数学模型在哪呢？” 生：“正六边形” 师利用HitePanel Pro软件里的学科工具迅速拖出正六边形，请生回 答如何解决问题，说出思路。 生1：“连接OB，作OM⊥BC于M，得到∠ BOM=30°，OB=4，则BM=2，BC=4，即边长为4，所以周长为4╳6=24m” 生2：“连接OB、OC可以得到△OBC为正三角形，所以边长等于半径4，就得出周长四六24m” 师：“对了，这也就解释了为什么在视频中老师取一段等于半径的长度就可以作出正六边形。那面积呢？” 生3：“要求面积就要先求边心距OM=2√3，先求一个三角形的面积，再乘以6” 生4：“也可用周长乘以边心距，再乘以1／2” （2）课堂练习 ①已知正六边形的边心距为√3 ，则它的周长是_____. ②如图，要拧开一个边长a=12mm 的六角形螺帽，扳手张 开的开口 d至少为___________mm ③如图，正六边形ABCDEF在平面直角坐标系中，以中心为原 点，顶点A，D在x轴上，且OA＝4，则点A的坐标为__________ ， 点E的坐标为____________ ④边长为6的正三角形的半径是________. 抽生答，其中①④数形结合，②建立数学模型，④利用HitePanel Pro软件迅速作出正三角形讲解 课堂总结 生总结 生1：“知道了正n边形的对称性，奇数边的只是轴对称图形。” 生2：“学会了正n边形每个内角，外角，中心角，周长，面积的计算。” 生3：“我觉得计算中往往要算中心角的一半。” 生4：“我了解了数学建模思想。” 教师总结 这节课我们通过等分圆周的方法，探索了正多边形和圆的关系，了解了正多边形的有关概念；通过动手操作，体会了正n边形的对称性，明确了正n边形有n个内角、n个中心角，n条边，n条半径，n条边心距以及它们之间的相互联系，从而进行正n边形的相关计算；感受了解决生活中的实际问题可建立数学模型，体现了数学建模思想和数形结合思想；我们甚至还通过视频学到了利用直尺和圆规作出一些特殊的正多边形的方法。
4.1.1教学活动
活动1【讲授】教学过程
一、情景引入
学生分享:
“那你能和我们分享一下是怎么做的吗?”
1:“我做的是正三角形,我先做了一条线段的中垂线,然后再取中垂线上的一点连接两个端点就得到了。
“这一定是正三角形吗?还需要满足什么吗?你只能得到等腰三角形吧?”
1:“哦,还要取一个角为60°”
2:“我直接做了一个角为60°的等腰三角形。”
3:“我做的是三个角都是60°的三角形。”
4:“我做的是正方形,用一张长方形纸对折,再减去多余部分。”
5:“我取了四个角都是直角并保证四条边相等。”
教师分享:
“老师也做了,请看——”
“通过刚才的作图可以看出,就是把圆周分别三等分、四等分、六等分,那你知道怎么做正五边形吗?对了,就是把圆周五等分,那怎样才能把圆周五等分呢?等分圆周可以得到正多边形,是不是表明正多边形和圆有关呢?我们一同走进今天的学习:正多边形和圆
探索新知
理论依据
“看来正多边形和圆关系真是密切。只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,而这个圆就是这个正多边形的外接圆。”(课件演示)
“那这是为什么呢?理论依据在哪?我们以正五边形为例,小组交流:为什么把一个圆分成相等的5段弧,依次连接各分点就可以得到正五边形?
→弦等,即正多边形的边等
3倍弧等→圆周角等,即正多边形的角等
正多边形的定义
师:“那你知道正多边形的定义了吗?”
由生自己总结得出:各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.
“矩形是正多边形吗?(生:不是)为什么不是?(生:边不相等),那菱形呢?(生:也不是,角不相等)
师给出正n边形定义:“如果一个正多边形有n 条边,那么这个正多边形叫做正n 边形。
生勾画教材P105定义
自主学习各部分名称P105
“半径”不变,其他名称都是“一字之差”,“圆心”→“中心”;“圆心角”→“中心角”;“弦心距”→“边心距”;“弦”→“边”
探究正多边形的对称性
n边形观察,它是轴对称图形吗?如果是,动手折出它的对称轴,你能折出几条?小组能得出什么结论?
“折正三角形的同学,大声地告诉老师,你折了几条?”
“三条。”
“正方形呢?(四条)六边形呢?(六条)八边形(八条)”
“正n边形都是轴对称图形,有n条对称轴。”
“把你手中的正n边形旋转180°,你又有何发现?”
“有些能和原图重合,有些不能。”
“那哪些能,哪些不能,你们能总结一下吗?”
“奇数边的不能和原图重合,偶数边的可以和原图重合。”
“旋转180°后和原图能重合的叫什么图形?”
“中心对称图形。”
n为偶数的正n边形既是轴对称图形又是中心对称图形
n为奇数的正n边形仅是轴对称图形
与角有关的计算
“观察每个正n边形角的个数,你能推出每个内角、每个外角的度数吗?说给组内成员听一听。”
“利用多边形的内角和除以个数就可以知道每个内角的度数,因为正n边形每个内角相等。”
每个内角=
“那每个外角呢?”
1:“用180°—每个内角”
“还有其他简便点的吗?,既然求每个内角用到了多边形的内角和,那求每个外角就可以用……”
“外角和”
2:“每个外角=
请生用笔作出正n边形的中心(即对称轴的交点)并作出所有半径,有何发现?
抽生演示,得出:正n边形被n条半径分成了n个全等的等腰三角形
“正n边形有n条半径,那有多少个中心角呢?每个中心角多少度?”
“n个中心角,
“所以以后你想要作正几边形就可以把360°几等分;并且我们还知道了,中心角=外角=
(二)运用:
(1)正八边形的每个内角是______度.
(2)一个中心角等于36°的正多边形的边数为__________;
一个外角等于30°的正多边形的边数为__________.
(3)如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,则∠CFD的度数是( )
A. 60 B. 45° C. 30° D. 22.5°
6、与边有关的计算
(一)推导
师:“刚才是角的关系,接下来我们来看边的关系。
图中有圆的什么定理?”
生:“垂径定理”
师:“即 我们的计算往往是在(生答:直角)三角形中进行,所以我们连接OC,作出半径,就构造了直角三角形,得出数量关
系(生答:OM2+CM2=OC2)设正多边形的边长为a,半径为r,边心距为d,则有
生答:
师:“那你知道∠COM=?
生:“30°”
师:“为什么呢?”
生:“因为图中的中心角60°,等腰三角形三线合一,所以∠ COM等于60°的一半。”
师:“那其他的正n边形这样的角等于多少度呢?有一般性吗?请叙述理由”
生:“中心角 ,那这个角就是它的一半, ”
师:“有了这个角,如果还是30°、45°、60°的特殊度数的角,在直角三角形中的计算就更加方便。那如果用a表示正n边形的边长, d表示边心距,如何表示正n边形的周长和面积呢?小组交流”
生汇报:①正n边形有n条边,每条边相等,都为a,所以周长C=na
②(师提示三角形是我们的基本图形)先求一个三角形的面积,正n边形里有n个全等的三角形,所以
(二)运用
(1)例题学习:例. 有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1).
师:“运用数学知识解决实际问题,我们往往先建立数学模型,这就是数学建模思想,那数学模型在哪呢?”
生:“正六边形”
师利用HitePanel Pro软件里的学科工具迅速拖出正六边形,请生回 答如何解决问题,说出思路。
生1:“连接OB,作OM⊥BC于M,得到∠ BOM=30°,OB=4,则BM=2,BC=4,即边长为4,所以周长为4╳6=24m”
生2:“连接OB、OC可以得到△OBC为正三角形,所以边长等于半径4,就得出周长四六24m”
师:“对了,这也就解释了为什么在视频中老师取一段等于半径的长度就可以作出正六边形。那面积呢?”
生3:“要求面积就要先求边心距OM= ,先求一个三角形的面积,再乘以6”
生4:“也可用周长乘以边心距,再乘以 ”
(2)课堂练习
①已知正六边形的边心距为 ,则它的周长是_____.
②如图,要拧开一个边长a=12mm 的六角形螺帽,扳手张
开的开口 d至少为___________mm
③如图,正六边形ABCDEF在平面直角坐标系中,以中心为原
点,顶点A,D在x轴上,且OA=4,则点A的坐标为__________ ,
点E的坐标为____________
④边长为6的正三角形的半径是________.
抽生答,其中①④数形结合,②建立数学模型,④利用HitePanel
Pro软件迅速作出正三角形讲解
课堂总结
生总结
1:“知道了正n边形的对称性,奇数边的只是轴对称图形。”
2:“学会了正n边形每个内角,外角,中心角,周长,面积的计算。”
3:“我觉得计算中往往要算中心角的一半。”
4:“我了解了数学建模思想。”
教师总结
n边形的对称性,明确了正n边形有n个内角、n个中心角,n条边,n条半径,n条边心距以及它们之间的相互联系,从而进行正n边形的相关计算;感受了解决生活中的实际问题可建立数学模型,体现了数学建模思想和数形结合思想;我们甚至还通过视频学到了利用直尺和圆规作出一些特殊的正多边形的方法。
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