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视频课题：北师大版初中数学九年级上册《一元二次方程的根的判别式》重庆市优课
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一元二次方程的根的判别式
涵
一、教材分析
本节内容是在一元二次方程的公式法的基础上进行教学的，是对公式法的完善与发展.利用根的判别式可以不解方程而直接判断一元二次方程的根的情况.由于前面已经学习了求根公式，所以教材开门见山，首先直接对求根公式进行讨论，给出根的判别式的意义，进而得出一元二次方程根的判别方法，最后，通过例题及练习，对一元二次方程根的判别方法进行了巩固.一元二次方程根的判别式对于二次函数、一元二次不等式等后继知识的学习具有十分重要的意义. 二、学情分析
学生在上一节课推导求根公式以及用公式法解一元二次方程的过程中，对一元二次方程根的不同情况已经有了初步认识，对分类讨论的思想方法也不陌生，这为本节内容的教学提供了有利条件.教学中可以先让学生解几个根的情况不同的方程，以获得更充分的感性认识，然后结合求根公式及b2-4ac的符号情况进行讨论，从而得出结论.教师应充分调动学生的参与积极性，尽量通过他们自己的探究与思考得出结论，并注意适时引导. 三、教学目标（课标要求）
1.了解一元二次方程根的判别式的意义，理解为什么能根据它判断方程根的情况；能用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况.
2.经历一元二次方程根的判别式的意义及作用的探究过程，体会分类讨论和转化的思想方法，感受数学思想的严密性与方法的灵活性.
3.通过对根的判别式的意义及作用的探究，培养对科学的探索精神和严谨的治学态度. 四、目标叙写
1.通过探究1，经历一元二次方程根的判别式的意义及作用的探究过程，了解一元二次方程的根的判别式的定义，为什么能根据它来判断方程根的情况；
2.通过练习1，能熟练运用根的判别式判别一元二次方程是否有实数根和两个实数根是否相等；
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3.通过例1和变式1，经历观察-对比-发现，了解能够在已知一元二次方程根的情况下，运用判别式来求出含参方程中的参数范围；
4.通过例2和变式2，变式3，能够熟练运用判别式来求出含参方程中的参数范围，体会分类讨论和转化的数学思想方法，感受数学思想的严密性与方法的灵活性. 五、学习重难点
重点：用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况；
难点：运用一元二次方程根的判别式来确定含参方程内的参数范围. 六、学习方法 自主、合作、探究 七、教学辅助 PPT、多媒体展示台
八、教学过程
环节一感受新知：问题元素-侧重数学思考
1.什么是一元二次方程？一元二次方程的一般形式是什么？ 2.请利用配方法求出方程)(002acbxax的根. 3.发现问题
上面求方程)(002acbxax的根的时候，你有什么发现？ 4.提出问题
教师引导学生思考上述方程根的情况不同的原因，尝试提出下列问题： 一般的，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，何时没有实数根?何时有根?何时有两个相等的实数根?何时有两个不相等的实数根?
设计意图：
复习引入，通过学生对一元二次方程的基本概念和一般形式，以及用配方法解一般形式等问题的回顾，促使学生进行学科思考，对求解过程中的情况和问题进行充分表达，从而引出本节课的课题.
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环节二探究新知：探究元素-侧重方法结论
由上面的一元二次方程的解的公式可见，一元二次方程ax2
+bx+c=0(a≠0)
的根的情况由b2-4ac来决定.因此，我们把b2
-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式.通常用符号“Δ”（希腊字母）来表示，读做“得尔塔”，即Δ=b2-4ac.
一个一元二次方程有没有实数根，有什么样的实数根都是由b2-4ac决定的，接下来我们就来看看Δ如何决定一元二次方程的根的情况. 探究1：根的判别式怎样决定一元二次方程根的情况. 活动：不解方程，分析下列方程的解的情况.
①0122xx（从Δ的值，与0比较大小，以及根的情况等方面分析）（板书） ②0122xx ③0322xx
思考：你能说出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况具体有哪几种，又是如何判别的吗？
学生思考，师生共同得出：
结论1: 一般的，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
当Δ＞0时，有两个不相等的实数根； 当Δ＝0时，有两个相等的实数根； 当Δ＜0时，没有实数根. 设计意图：
经过这三个方程让学生明白，要想知道方程有没有实数根，有什么样的实数根不需要去把根算出来，我们只需要利用根的判别式来判断就行了. 判断步骤：一化（将一元二次方程化为一般形式）；
二算（确定a、b、c的值，算出Δ的值）； 三判断（根据结论1判断方程根的情况）.
练习1：试判断下列方程根的情况：
010032xx， 010032xx,
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010032xx ， 010032xx.
观察并比较，由上面的方程根的情况可以得到些什么结论呢?(学生讨论) 思考：你能说出当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)一定有两个不相等的实数根时，二次项系数a和常数项系数c一定有什么关系吗？ 学生思考，师生共同得出：
结论2: 一般的，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根时ca、异号（或者0ac）. 设计意图：
1. 让学生进一步熟悉判别式的计算，能够快速准确的判断一元二次方程根的情况.
2. 通过这些方程的观察对比发现一元二次方程中的ca、异号（或者0ac）方程就一定有两个不相等的实数根（即0）. 环节三应用新知：应用元素-侧重如何思考
例1.已知关于x的方程022axx没有实数根，求a的取值范围.
变式1：已知关于x的方程022axx有两个不相等的实数根，求a的取值范围.
（板书）
设计意图：
例1是常数项含参方程，直接根据方程根的情况，结合判别式就可以求出参数的取值范围.
变式1相对于例1 没有改变方程，而是把根的情况进行了改变，由此让学生更深刻的体会根的情况不一样，判别式与零的大小情况也不一样.进一步明确根的判别式是对一元二次方程来定义的.让学生体会分类讨论思想在解题中的重要性.
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例2.关于x的方程0132122xaxa）（）（有实数根，求a的取值范围.
变式2：试判断关于x的方程01322)(axax）（的根的情况.
变式3：已知关于x的方程01322
)(axaax）（，则a取何值时: (1) 方程有两个不相等的实数根? (2) 方程有两个实数根? (3) 方程没有实数根? (4) 方程有实数根?
设计意图：
例2是二次项系数和一次项系数都含参的方程，本题暗含直接根据二次项系数来判断方程是否为一元二次方程，再来根据根的情况，结合判别式就可以求出参数的取值范围，难度较小.
变式2相对于例2 提高了难度，含参项没有变，只是常数项中的参数次数变了，判别式的值变成了一个二次三项式，难点变成了判断一个二次三项式的值，先配方再比较判别式的值与0的大小.
变式3中所有项都变成了含参项，所以首先应该判断方程是否为一元二次方程，再进行分类讨论.让学生进一步体会分类讨论思想在解题中的重要性，感受数学思想的严密性与方法的灵活性.
环节四梳理总结：整理元素-侧重目标错点
有学生从知识、方法、解题策略等角度自主梳理本课收获，谈困惑； 教师引导学生梳理本节课核心知识和方法.
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设计意图：
梳理是对一堂课的回顾和反思，借助这一环节，能够引导学生完善知识体系，对探究问题的思想方法有更深刻的认同.
文化链接：
秦九韶的高次方程
公元1819年7月1日，英国人霍纳在皇家学会宣读了一篇数学论文，提出了一种解任意高次方程的巧妙方法，一时引起了英国数学界的轰动．由于这一方法有其独到之处，而且对数学科学有很大的推动作用，因而这一方法被命名为“霍纳方法”．
但是没过多久，意大利数学界就提出了异议，因为他们发现自己的同胞鲁菲尼已在15年前就得出了同样的方法，只是没有及时地报导罢了．因此，意大利数学界要求将这一数学方法命名为“鲁菲尼方法”．于是英、意双方开始了喋喋不休的争论．正巧，有个阿拉伯人前往欧洲，听到了双方的争论后，不置可否地大笑起来．争论双方问他，为何这般嘲笑，这位阿拉伯人从背包中掏出一本书，递与争论双方，说到：“你们都不要争了，依我看来，这个方法应该称作“秦九韶方法”．他们这才知道，早在570年前，有个叫秦九韶的中国人就发明了这种方法．双方觉得他们的这场争论已显得毫无意义了．
秦九韶，生于1202年，南宋普州安岳(今四川安岳)人，他自幼随做官的父亲周游过许多地方．20岁的时候，秦九韶随父亲来到南宋的都城——临安(今杭州)．
秦九韶被父亲送到掌官天文历法的太史院学习．在这里，他了解了制定历法的一些基本算法和理论依据，这对于他后来写作著名的《数书九章》大有益处．
后来他回到四川老家，在一个县城里当县尉，这时，北方的元兵大举进犯，战乱频繁，他在这种动乱的环境中度过了他的壮年．后来他在《数书九章》中写了“天时”和“军旅”等问题，想必与这段生活有关．
过了几年，秦九韶的母亲去世了，他按照封建社会的传统，回家为母亲守孝三年．正是在这段时间里，秦九韶完成了他的辉煌的数学著作——《数书九章》．
《数书九章》共分九大类，每类各有九题，全书共有81道数学题目，内容包括天时、军旅、赋役、钱谷、市易等类问题，在这81道题目中，有的题目比较复杂，但题后大多附有算式和解法．正是在这些解法中包含着许多杰出的数学创造，高次方程的解法就是其中最重要的一项．
高次方程就是未知数的最高次幂在3次以上的方程．对于一元二次方程，我们可以用求根公式来解，三、四次方程的求根公式很复杂，至于五次以上的方程，那就没有求根公式了．
那么用什么方法来解决呢?秦九韶创造的这种解法是一种近似的解法，但是它能够把结果算到任意精确的程度，只要你按照一些简单的程序，反复地进行四则运算即可．
除了高次方程的解法之外，这本书的另一项伟大成就是关于同余式方面的工作．什么叫
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同余式呢?
我们还是从“韩信点兵”的故事说起：传说汉代开国功臣韩信有一次到练兵场，只见军士们龙腾虎跃，你来我往，好不热闹．韩信问带兵的军官．“你们这里共有多少士兵?”军官说：“人太多太乱，数不准确．”韩信说：“你把令旗给我，我来给你点数．”军官一听，慌忙将令旗奉上，只见韩信挥起令旗，命令道：“排一长队．”韩信见军士们已排好长队，便交待道：“先从1到3报数，再从1到5报数，最后从1到7报数．报完后，把剩余的人数告诉我，我便知总的军士人数．”
于是，军士们便认真地报起数来，第一报数后余2，第2报数后余3；第3报数后余2．韩信掐指一算，共计233人．
其实，“韩信点兵”问题又叫“孙子问题”，最早出现在公元4世纪的数学著作《孙子算经》中，原来的问题是这样表述的：“有物不知其数，三个一数余2，五个一数余3，七个一数余2，问该物总数几何?”
这个问题按照现在的人可以列出方程来：设总数为N，x为3人一数的次数，y为5人一数的次数，z为7人一数的次数．则
N＝3x＋2，N＝5y＋3，N＝7z＋2．
三个方程式，但却有四个未知数，这就叫不定方程．解不定方程在现代数论中有一个著名的定理：剩余定理．
但这个问题出现在公元4世纪的中国算书中，他们虽然给出算法，但却没有明确地表述和证明这个定理．
到公元13世纪，大数学家秦九韶集前人之大成，在同余式的研究上获得了超越前人的 成果．
秦九韶在写作《数书九章》时，把当年在太史院学到的天文学知识与《孙子算经》的数学问题结合起来，发展了同余式的理论和算法，从而圆满地解决了韩信点兵之类的问题．
秦九韶还有许多数学创造，他是世界上最早提出十进小数概念和表示法的人．他还独立地推导出了已知三边求三角形面积的公式：
S＝])2
([412
22222cbaba（a、b、c为三角形三边）
秦九韶在多元一次方程组和几何测量方面也有创新．他是世界上最伟大的数学家之一，《数
书九章》标志着中国的古代数学达到了一个新的高峰．
环节五达标检测：评价元素-侧重达标人数 1. 不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1)xx7522 (2)0314xx (3)
yy4209042..
2.对于方程mxmxm1122142)()( (1)方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围; (2)方程有两个相等的实数根，求m的取值范围;
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(3)方程没有实数根，求m的取值范围.
设计意图：
巩固在例题中所收获的知识及方法：1题和探究新知里的题对应，2题和应用新知里的题对应，可借此评价学生一节课的听课效率和过关情况.
环节六拓展应用
1.关于x的一元二次方程012132mxmmx,其根的判别式的值为1，求
m的值及该方程的根.
2.求证：关于x的方程0122kkxx没有实数根.
3.关于x的方程mxmxx2222有两个相等的实数根，求m的值，并求出方程的解.
设计意图：
课后作业布置：评价元素-侧重巩固提高 教材43页习题2.5
九、评价与反思
本节课的教学坚持从学生实际出发，以学生为主体，注重对新理念的贯彻和教学方法的使用；在突破难点时，多种方法并用，注意培养自学能力；坚持当堂训练，例题、练习的设计针对性强，重点突出，对方法的总结言简意赅；学生能够积极、主动的参与，充分经历了知识的形成、发展与应用的过程，在这个过程中掌握了知识，形成了技能，发展了思维；教学效果较好.
通过本节课教学，主要是让学生理解一元二次方程根的判别式，并能用判别
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式判别根的情况.本着“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生的主观能动性，本节课主要采用了学生自学教师引导、讲练结合的教学方法，按照“实践——认识——实践”的认知规律设计，以增加学生参与教学过程的机会和体验获取知识过程的时间，从而有效地调动了学生学习数学的积极性.
学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对Δ=b2-的作用已经有所
了解，在此基础上来进一步研究Δ=b2-4ac作用，它是前面知识的深化与总结.从思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触,所以课堂上通过让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力.
课堂上先让学生通过自学阅读课本内容解决相关的老师提出的问题，从而了解到了本节课的学习目标，通过模仿课本例题的解题格式进一步理解了根的判别式的意义，从而调动了学生学习的积极性，又很自然地进入本课所研究的重点内容.在整个课堂学习中，学生口、脑、手并用，小组讨论交流，整体合作，解决问题，既提高了学生的自学能力，又提高了学生分析问题、解决问题的能力.同时，学生通过自己自学、讨论、合作解决问题，体会到探索的乐趣和成功的欢乐，进一步培养了学生热爱数学的思想.整节课的实施过程很顺利，部分学生对本课的知识掌握程度不错，能很好地达到本课的教学目的.
在教学过程中，每节课总会有这有那的一些不尽人意的地方，本课也是一样，在分层教学方面体现少，“让每位学生都有收获”达不到，所以在教学设计方面还有待改进.在往后的教学中，课堂练习要设计不同层次的题目，让优生做有难度的题目，让他们多多思考，提高思含量.对于学习有困难的学生，降低学习要求，努力达到基本要求.
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
