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视频标签：一次函数与方程,不等式
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视频课题：初中数学人教版八年级下册第十九章19.2.3一次函数与方程、不等式-钦州
教学设计、课堂实录及教案：初中数学人教版八年级下册第十九章19.2.3一次函数与方程、不等式-钦州
一次函数与方程、不等式教学设计
一、内容和内容解析 1. 内容
一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系. 2. 内容解析
函数、方程、不等式是初中数学的核心内容，都是解决现实问题的重要数学模型，它们之间联系紧密，其中函数是联系方程、不等式的纽带. 用函数的观点来看一元一次方程，则可以把解一元一次方程看成为已知一次函数的函数值求对应的自变量的值；用函数观点来看一元一次不等式，则解一元一次不等式就是求一次函数函数值在某个范围内的自变量的取值范围. 因此通过函数图像可以直观地找到方程的解和不等式的解集. 研究函数、方程、不等式之间的联系可以深化相关知识的理解，优化知识结构.
因此，本节课的重点是：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系.
二、目标和目标解析 1. 目标
（1）认识一次函数与一元一次方程的联系，会用函数观点解释方程及其解的意义；
（2）认识一次函数与一元一次不等式的联系．会用函数观点解释不等式及其解集的意义；
（3）经历用函数图象表示方程的解、不等式解集的过程，进一步体会“以形表示数，以数解释形”的数形结合思想．
2. 目标解析
达成目标（1）的标志：学生知道解一元一次方程可以看成是已知一次函数的函数值求对应的自变量的值，并能在函数图像上找到一元一次方程的解.
达成目标（2）的标志：学生知道解一元一次不等式就是求一次函数函数值在某个范围内的自变量的取值范围，并能在函数图像上找到一元一次不等式的解集.
达成目标（3）的标志：理解函数图像上点的坐标与方程的解、不等式的解集的关系.
三、教学问题诊断分析
学生已经学习了一元一次方程、一元一次不等式、一次函数的相关内容，知道它们都是刻画现实问题中数量关系的重要模型，并掌握了一元一次方程、一元一次不等式的解法，能够根据函数解析式画出函数图像. 但是对于这三个知识点，学生是独立掌握的，不知道它们之间存在哪些联系，如果用函数的观点看一元一次方程和不等式又会得到哪些新的结论. 这些问题都是学生没有接触过的，所以比较陌生而且很抽象，学生理解起来有一定的难度. 要理解好这三个内容之间的联系，函数图像上点的意义起到很关键的作用. 函数图像上点的纵坐标表示函数值，横坐标表示相应自变量的值，因此解一元一次方程实际上是已知一次函数图像上点的纵坐标求与其对应的横坐标；求不等式的解集看作是图像上纵坐标的值在一定范围内的点对应的横坐标的值的集合.
所以，本节课的难点是：把一次函数图像上点的坐标与方程的解、不等式的解集建立联系.
问题2: 当s=180时，t等于多少？ 师生活动：学生回答，教师板书.
设计意图：通过解答这个问题，让学生知道求当s=180时，t等于多少，就是解方程：90t=180. 进而初步感受一次函数与方程的联系，为学习新知识做好铺垫.
3. 探索新知一
探究一次函数与一元一次方程的关系
问题3 观察下面三个方程：（1）2x+1=3 (2) 2x+1=0 (3) 2x+1=-1并思考： （1）这三个方程在结构上有哪些共同点和不同点？ 师生活动：学生通过观察方程回答左边相同，右边数值不同. （2）它们与哪个一次函数有联系？ 师生活动：学生集体回答y=2x+1
（3）当y=2x+1的函数值等于3时, x为何值？
师生活动：学生在练习本上解答，一生上黑板板演过程. 教师点评，并和学生一起归纳解2x+1=3相当于求y等于3时，x的值.
教师追问：类比解2x+1=3相当于求y等于3时，x的值，说出解2x+1=0相当于 ？解2x+1=-1相当于 ？
师生活动：学生回答类比解2x+1=3相当于求y等于3时，x的值，解2x+1=0相当于 求y等于0时，x的值 ；解2x+1=-1相当于 求y等于-1时，x的值 .
设计意图：通过具体的例子自然过渡到一般情况，帮助学生理解一次函数与一元一次方程的关系，降低学习的难度.
问题4 把结论推广到一般的情况：解一元一次方程 ax + b = 0(a，b为常数，a≠0)可以转化为求函数中的什么问题？
师生活动：学生分组讨论，教师引导得出结论解一元一次方程 ax + b = 0(a，b为常数，a≠0)可以转化求一次函数y = ax + b(a≠0)的函数值为0时，自变量x的值.
设计意图：通过分组讨论，让学生自然接受结论，加深知识的理解. 问题5 画出函数y=2x+1的图象，你能在图中找到2x+1=3的解吗？为什么？ 师生活动：学生画出函数图像，并思考如何在函数图像上找到方程2x+1=3的解. 分组讨论之后，让一名学生上黑板讲解，教师做最后点评，并一起总结在函数图像上找方程的解的方法：利用图象法解方程2x+1=m就是在直线y=2x+1上找到纵坐标为m的点，观察其横坐标的值.
4. 课堂练习
（1）根据图象直接说出一元一次方程 x+3 = 0 的解.
（2）设m，n为常数且m≠0，直线y=mx+n（如图所示），则方程mx+n=- 0.5的解是 .
设计意图：在学习了利用图象法找一元一次方程的解后及时安排相应的练习，让学生更好地理解和掌握所学的内容.
5. 总结归纳
问题6 综上所学，请总结一次函数与一元一次方程的关系？
师生活动：学生分组讨论，整理所学的内容，师生引导后与学生一起总结它们之间的关系：从“数”上看：解一元一次方程 ax + b = 0(a，b为常数，a≠0)
第1题
第2题
相当于当函数y =ax+b的函数值y为0时，求自变量x的值. 从“形”上看：解一元一次方程ax+b=0(a，b为常数，a≠0)可转化为确定直线y=ax+b与x轴交点的横坐标.
设计意图：通过讨论，学会归纳知识；通过归纳知识，让学生理清知识间的联系，更好地消化新知识.
6. 探索新知二
类比思考：一次函数与一元一次不等式的关系
问题7 观察下面三个不等式（1）2x+1＞3（2）2x+1＜0（3）2x+1＜-1并回答下列问题：
（1）与这些不等式对应的一次函数是 ； （2）当y=2x+1的函数值大于3时,求x的取值范围？
（3）解不等式2x+1＞3，就是当一次函数的函数值 时，求自变量x的取值范围；解不等式2x+1＜0，就是当一次函数的函数值 时，求自变量x的取值范围；解不等式2x+1＜-1，就是当一次函数的函数值 时，求自变量x的取值范围；
师生活动：学生回答第一个问题后，独立完成第二、第三个问题，然后分小组讨论；教师讲评.
设计意图：类比一次函数与一元一次方程的关系，学生很容易找到答案，此环节的设计一是让学生在具体例子上感受一次函数与一元一次不等式的关系；二是让学生学会用类比的方法用已知的知识探索未知的东西.
问题8 进一步总结，解一元一次不等式2x+ 1 <m（2x + 1 >m）相当于在一次函数 的函数 时，求 的取值范围.
师生活动：学生总结，教师点评.
设计意图：结论一般化，感受具体到一般的过程.
问题9 综上所学，请总结一次函数与一元一次不等式的关系.
师生活动：学生分组讨论，整理所学的内容，师生引导一起总结出它们的关系：解一元一次不等式ax + b >0或ax + b <0（a ≠0 ）相当于求一次函数y = ax + b（a ≠0 ）的函数值大于0或小于0时，自变量x的取值范围.
问题10 分组讨论如何利用一次函数的图象找到对应的一元一次不等式的解集？
师生活动：学生分组画出一次函数的图象并类比在图象上找一元一次方程解的方法找一元一次不等式的解集，教师适当指导.
设计意图：让学生学会合作学习、掌握类比的学习方法，通过自己思考的过程加深对知识的理解.
师生活动：小组合作后师生共同总结：利用一次函数图象找一元一次不等式ax + b >0或ax + b<0（a、b 是常数，a ≠0 ）的解集就是确定直线y=ax+b在x轴上方（或下方）的部分的点的横坐标的值的范围.
7. 巩固训练
（1）直线y=2x+b与x轴的交点坐标是（2，0）， 则关于x的方程2x+b=0的解是 ；
（2）如图，一次函数 y=kx+b的图象与y轴交 于（0,1），当y>1时，x的取值范围是 ；
（3）如图，一次函数 y=kx+b的图象经过点A， 关于x的不等式kx+b<3的解集是 ；
变式一：如图，一次函数 y=kx+b的图象经过点A，关于x的不等式 kx+b≥3的解集是 ；
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