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视频标签：圆的面积
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视频课题：西师版小学数学六年级上册“圆的面积”重庆市优课
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“圆的面积”教学设计
教学内容： 教学目标：
1.经历操作、观察、讨论和归纳等数学活动的过程，探索并掌握圆的面积公式，能正确计算圆的面积，并能应用公式解决相关的简单的实际问题，构建数学模型。
2.进一步体会“转化：化曲为直”的数学思想方法，感悟极限思想的价值，培养运用已有知识解决新问题的能力，发展空间观念。
3.进一步体验数学与生活的联系，感受用数学的方式解决实际问题的过程，提高学习数学的兴趣。
教学重点和难点：圆面积的计算公式推导 教学准备：圆形纸片、剪多媒体课件等 教学过程：
一、提供观察情境，为建立空间观念作铺垫
师：（出示动画：一只被绳子拴着的羊在草地上转一圈，如图1)用数学的眼光观察这个画面，求羊活动的范围有多大，就是求圆的什么？
生：圆的面积
师：如果这只羊想要扩大它的活动范围，你能帮它想个办法吗？ 生：可以把绳子拉长。
师：（课件演示拉长绳子，羊运动一周成一个新的圆，如图2)圆 的面积变大了，说明圆的面积和什么有关？
生：圆的面积和半径有关。
师：那圆的面积和半径之间会有怎样的关系呢？让我们带着这个问题开始今天
的探究之旅。
设计意图：创设羊吃草的情境，揭示圆形区域的大小就是圆的面积，同时还孕育圆的面积取决于绳子的长短，从而使学生自己抽象出“圆面积的大小是由圆的半径决定的”。
二、创设操作情境，建构空间观念
1.回顾相关知识，唤起经验，铺垫探究新知之基。 师：大家回顾一下，我们学过哪些平面图形的面积？
生：我们学过长方形、正方形、三角形、梯形、平行四边形的面积。 师：让我们一起来回顾一下是怎样推导出这些图形面积计算公式的。 长方形的面积计算公式是用数方格的方法推导出来的，平行四边形是转化成长方形推导出它的面积计算公式的。用的是割补法
三角形和梯形是用两个完全一样的图形拼成一个平行四边形，简称倍拼法，走的也是转化之路。
设计意图：用方格度量图形的面积，是基于面积的意义，但用来测量平行四边形等图形的面积时已感受到不精确、不方便，因而凸显用转化的方法更为简捷。而圆面积计算公式的推导是小学教材中实现“化曲为直”的唯一题材，在有限的教学时间里如何实现“化曲为直”才是我们应放大的视角。
2. 呈现学习困境，引发矛盾，积蓄思维突破能量。
师:那你们打算用什么转化方法把圆转化成我们学过的平面图形？ 生：我觉得应该用转化法，因为如果用数方格的方法，方格会多出来，而且还有一些方格直接露在外面，数出来的面积也不准确。
师:如果用倍拼法行吗？（课件依次出示两个圆、三个圆、4个圆进行倍拼） 师：再来看看割补法能行吗？这里有两个同学，他们把圆平均分成了4份，然后拼成了如下两个图形：你觉得哪种拼法面积没有改变？（课件呈现）
生:左面的正方形不行，这个图形变大了。
师：看来转化时不能增加图形的面积，也不能减少图形的面积。观察右边这个图形，它有点像我们学过的什么图形？看有什么不足？
生:平行四边形。底边不平，弧线太弯了。
师：如果分割的份数多一些，拼出的图形底边会不会变得平直一些？请打开信封袋，让我们拿出纸剪拼一下，看看是不是你们想象的那样。（同桌合作把圆片分成8等份和16等份，并进行剪拼。）
反馈学生的拼法。
师：孩子们，让我们一起来观察拼出的图形，(学生分成8等份、16等份后拼成的图形)你发现了什么？
生：我觉得它们越来越像平行四边形.
3.感悟数学思想，分割转化，实现极限思想飞跃。
师：事实真的如此吗？借助电脑帮忙。（几何画板演示分成32等份、64等份)
师:观察图形的变化，你发现了什么？
生：随着剪的次数增加，剪出的每一份底边变得越来越平直，拼成的图形越来越像平行四边形了。
(电脑用几何画板演示继续分割）
师：还想分割下去吗?我们请电脑帮忙，观察把圆分成128等份后，拼出的图形与分成8等份拼成的图形会有什么不同？ (几何画板演示把圆分成128等份) 生：我觉得有点像长方形。
师：刚才我们说拼出的图形越来越像平行四边形，现在我们发现再往下分的话，拼出的图形越来越像—— 生：长方形。
师：那怎样让它更像长方形呢? 生：继续往下分。
师：好，咱们继续往下分。让我们闭上眼睛想象一下，如果无限分割这个圆片，最后会拼出一个怎样的图形呢?
(几何画板电脑演示把圆分成256等份，512等份，……验证学生的想象) 师：孩子们．我们把圆通过无限分割，居然转化成了一个长方形，实现了“化曲为直”。这个思想，在数学发展史上是有开创性意义的。观察一下，转化后的长方形和原来的圆的面积相等吗?长方形的长相当于圆的什么？长方形的宽相当于圆的什么？同桌交流，把讨论的结果记录在研究单上。
小组交流：
生：我们通过观察发现长方形的面积等于圆的面积，长方形的长等于圆周长的一半，长方形的宽等于圆的半径。
师：那现在能推导出圆的面积公式了吗？试着在你的作业纸上写一写。 生：长方形的长相当于圆周长的一半，用C÷2=πr表示，宽相当于半径，用r表示。长方形的面积=长×宽，圆的面积=πr×r=πr2
师：(边讲边板书)长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于半径，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=πr×r=πr2。现在要求圆的面积是不是很简单了？
师：那现在要测算一个圆的面积，只要测量圆的什么就可以了？ 生：半径
师：看着这个公式：S=πr2，π表示什么？r是什么？r2表示什么意思？ 随着学生的回答，课件出示下图：
师：根据公式S=πr2，谁能说说圆的面积到底是他半径平方（图中正方形面积）的多少倍？
师：如果知道正方形的面积是4平方厘米，那么圆的面积是多少平方厘米？如果正方形的面积是5平方厘米，那圆的面积是多少平方厘米？
设计意图：发挥几何画板参数随机变化的强大功能，演示由圆逐次多分的变
化，让学生真切地感受到无限分割后，小扇形的弧线最终变成一条“线段”。从而联想到圆经过无限分割，化曲为直，转化为长方形，从而发展空间观念。 三、回归生活情境，强化空间观念
计算羊吃到的草地最大面积。(反馈略) 以下各题印在作业纸上。
1.小明所在的学习小组把一个圆形纸片剪成64等份，然后拼成了一个近似
长方形。他们测得长方形的宽是3厘米。你能帮他们求出圆的面积是多少平方厘米吗？
2.小明所在的学习小组把一个圆形纸片剪成64等份，然后拼成了一个平行
四边形。他们测得平行四边形的底边长18.84厘米。你能帮他们求出圆的面积是多少平方厘米吗？
3.根据下面图形中提供的条件求圆的面积
① ② ③
四、引入历史情境，提升空间观念
师：回顾一下，这节课你有哪些收获? 生：我学会了圆的面积计算公式。
生：我知道了圆的面积是半径平方的π倍。
生：我懂得了圆经过无限分割，最后实现化曲为直，转化为长方形。 师：(小结)是呀，重要的不只是会算圆的面积．更重要的是通过无限分割，实现化曲为直。这一思想是17世纪德国数学家开普勒开创的，下面我们一起来听一听他当初的想法。（播放微课）
开普勒是17世纪誉满欧洲的数学家。在他之前，数学家们都是通过从圆内接正多边形人手，让边数成倍增加．用圆内接正多边形的面积去逼近圆面积，(如图8)不仅计算复杂，而且所得结果都是近似值。
开普勒受切西瓜的启发，把圆分割成很多个小扇形，每个小扇形都可以看成等腰三角形。每个三角形的顶点都是圆心，当分的份数越多，这些小三角形的高都就越接近于圆的半径，所有底边连起来的长度之和就等于圆的周长。当把这些小三角形拼成拼起来就得到一个长方形(如下图所示)，长方形的面积就是圆的面积。从而得出了圆面积计算公式。其实，在我国古代数学名著《九章算术》里就有圆面积计算方法的记载：“半周半径相乘得积步”，意思是说，圆周长的一半乘半径得圆的面积。这种方法与开普勒的算法完全一致，而且比开普勒的发现早了六百多年。
设计意图：开普勒的故事丰富了问题解决的方法，拓展了学生思维，使学生
进一步认识到，通过无限分割，实现化曲为直，是数学发展史上具有伟大意义的创举，是人类对固有认识的一次超越。
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