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视频标签：二元一次,不定方程
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视频课题：人教A版高中数学选修4-6第三讲《3.1二元一次不定方程》甘肃省 - 白银
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3.1 二元一次不定方程教学设计
授课类型：新授课 课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪 一、教材分析
选修4-6（人教A版）初等数论初步包括四方面内容：整数的整除、同余与同余方程、一次不定方程、数论在密码中的应用。这四讲内容有相对的独立性，也有内在的联系，知识结构框图如下：
第一讲 整除的性质
第二讲 同余与同余方程
第三讲 一次不定方程
第四讲 数论在密码中的应用 本节课位于普通高中课程标准实验教科书《数学》选修4-6（人教A版）第三讲一次不定方程的第一节，主要介绍最简单的不定方程--二元一次不定方程。
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二、教学目标分析
（一）知识与技能：
1. 了解我国古代数学家在不定方程研究方面取得的重要成就； 2. 探索二元一次不定方程有整数解的条件；
3. 探究二元一次不定方程有解时，解的个数及通解的描述； 4. 能够根据二元一次不定方程的一个特解写出通解的表达式； 5. 能够解一些简单的二元一次不定方程 （二）过程与方法：
1. 通过学生自己探究二元一次不定方程有整数解的条件，培养学生总结和类比的学习能力，并使学生明白考虑问题要细致，说理要明确；
2. 培养从概念出发，进一步研究其它性质的意识及能力；
3. 通过二元一次不定方程的通解的表达式的探究过程，使学生既掌握“概念性”知识，又掌握“方法性”知识，同时发展学生探究新知的能力。
（三）情感、态度与价值观：
1. 使学生在动手算、动脑思和集体合作讨论的过程中，树立敢于战胜困难的信心，养成主动获取知识和敢于探究求新知的习惯，激发求知欲，增强合作交流意识；
2. 领会用转化的思想去观察分析事物的方法，培养学生细心观察、认真分析的良好思维习惯； 3. 由合适的例子引发学生探求数学知识的欲望，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。
三、学习重点、难点分析
（一）学习重点：
1. 理解二元一次不定方程有整数解的判别准则； 2. 掌握二元一次不定方程有解时，整数通解的表示. （二）学习难点
1. 探究二元一次不定方程有整数解的判别准则； 2. 探究二元一次不定方程有解时，整数通解的表示；
3. 二元一次不定方程的实际应用，要求学生能用不定方程解决一些简单实际问题。
四、教法分析
本课采用“引”“探”相结合的方式，将问题以问题串的形式展现，让学生在思考和讨论中形成认知冲突，体会、感悟数学研究的一般思路和方法. 课堂中以学生为主体，将学生分成若干小组，使学生全员参与课堂，通过学生之间合作交流，教师间或参与学生的讨论，对有困惑的小组或者个别学生进行帮助和引导，培养
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学生主动探究新知识的能力.此外，为了提高教学效果，使课堂教学更生动形象，利用微课引入，结合多媒体课件等先进的信息化手段进行教学，让学生更直观清晰的完成本节课的探究学习。
五、学法分析
在教学过程中，教师设置问题情景让学生想办法解决；通过教师的启发点拨，学生不断探索，最终把解决问题.整个过程学生主动参与、积极思考、探索尝试的动态活动之中；同时让学生体验到了学习数学的快乐，培养了学生自主学习的能力和以严谨的科学态度研究问题的习惯。
六、教学基本流程
简单认识不定方程
微课视频：了解不定方程发展的历史
小组探究：二元一次不定方程有整数解的判别准则
小组探究：二元一次不定方程有整数解时，解的个数及
整数通解的表示
课堂活动：熟练巩固求二元一次不定方程的特解及
通解的方法
新知应用：利用不定方程解百鸡问题
课堂小结、布置作业
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七、教学过程设计
（一）微课引入
教师活动：播放微课小视频，视频中主要介绍了我国古代数学家在不定方程研究方面取得的重要成就以及古希腊数学家研究不定方程的事例，给本节课做一定的奠基。
设计意图：利用微课，使学生了解不定方程发展的历史背景，这样一方面可以激发学生的学习兴趣，另一方面，为新知识的学习做铺垫。
（二）呈现预习反馈的问题
利用ppt呈现同学们课前预习反馈的问题，以便于后面进行讨论。 （三）新知探究
首先给出二元一次不定方程的一般形式，然后围绕同学们课前预习反馈的问题及本节课的学习目标展开讨论。
教师活动：板书二元一次不定方程的一般形式：
,,,0axbycabcZab （1）
问题1：任意二元一次不定方程一定有整数解吗？
通过具体的方程引导学生分析并得出结论：任意二元一次不定方程不一定有整数解。 师生活动：老师提问，学生口答。
问题2：二元一次不定方程有整数解的条件是什么？
教师活动：教师引导学生小组探究，探究结束后让学生展示探究结果，并引导学生归纳总结出结论，让学生能真正参与到课堂探究中来。教师指导同学们从两个方面合作探究这个问题：
1. 不定方程（1）有整数解时，整数,,abc具有什么特征？
2. 整数,,abc的这种特征，能否保证不定方程（1）有整数解？
设计意图：通过小组合作探究，培养学生总结和类比的学习能力，并使学生明白考虑问题要细致，说理要明确。
师生活动：1. 教师根据各个小组讨论的结果，指引同学们总结二元一次不定方程有整数解的判别准则； 2. 强调有整数解的二元一次不定方程,,,0axbycabcZab总可以化为系数互素的形式。
教师活动：板书二元一次不定方程有整数解的判别准则：二元一次不定方程有整数解,abc。 问题3：若不定方程（1）有整数解，解的个数是有限还是无限？
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师生活动：找一位同学提供思路，顺着这个思路找单个同学在黑板上版演推导过程，其余同学在座位上推导。最后教师指导补充并总出结论。
教师活动：板书二元一次不定方程有整数解时，整数通解的表示：00xxbt
tZyyat
，说明
00,xxyy是不定方程,,,0axbycabcZab的一个特解。
设计意图：通过这个问题的探究，使学生既掌握“概念性”知识，又掌握“方法性”知识，同时也发展学生探究新知的能力；另一方面，给预习反馈中的问题4给出答案。
考一考：同学们已经了解了不定方程（1）的特解和整数通解，请大家思考：
1. 若不定方程（1）有整数解，如何求它的一个特解？ 2. 若不定方程（1）有整数解，如何求它的整数通解？
师生活动：个别回答，共同总结。
教师活动：板书不定方程（1）有整数解，求它的一个特解的方法：观察、实验、转化； 回答预习反馈中的问题5：如何求出不定方程（1）的所有整数解？ 课堂活动：我们都是小老师！
设计意图：通过课堂活动熟练巩固求二元一次不定方程的特解及通解的方法，让学生真正掌握求解方法。
师生活动：老师口头提问，学生回答，老师在白板上作相应的记录，并及时给予一定积极的评价，鼓励学生。
新知应用：能力挑战，求解百鸡问题
师生活动：以小组为单位，优秀小组选代表在黑板上展示本组讨论的结果，并对本组解题的思路作一简单介绍。
设计意图：让学生从中体会用转化的观点去观察分析事物的方法，培养学生细心观察、认真分析的良好思维习惯。
（四）课堂小结,升华提高 1. 基础知识：
（1）认识了不定方程并了解我国古代数学家在不定方程研究方面取得的重要成就； （2）掌握了二元一次不定方程有整数解的判别准则；
（3）理解并掌握了二元一次不定方程有解时，特解的求法及通解的表示。 2. 数学思想方法： 转化与化归的思想．
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设计意图：让学生自己总结，教师补充，并且提醒学生知识重要，探究的思想与方法更重要，体现了教学应以学生为主体，教师为主导的新课标理念．
师生活动：教师引导学生总结． （五）作业布置
1、教科书P36习题第1，2
2、到网上查找我国古代数学家的故事，你能从这些故事中得到什么启示呢？ 3、了解古希腊数学家丢番图的墓志铭。
设计意图：根据本节课所涉及到的二元一次不定方程应用的几个方面，从教科书中选择作业题．试图通过作业，让学生进一步理解如何求二元一次不定方程的特解及整数通解，并从中评价学生对三角函数概念理解的情况．体现作业的多样性，鼓励学有余力的同学课后探究，多元发展。
八、板书设计
3.1 二元一次不定方程 二元一次不定方程一般形式： ,,,0axbycabcZab （1） 1. 方程（1）有整数解的判别准则： 二元一次不定方程有整数解,abc； 2. 求方程（1）的一个特解的方法： 观察、实验、转化；
3. 方程（1）的整数通解的表示：
00xxbt
tZyyat
00,xxyy是不定方程
（1）的一个特解。
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