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视频标签：数学建模
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视频课题：人教A版高中数学必修一第三章《走近数学建模》北京市 - 东城区
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教学设计
课题 走近数学建模
学科 数学 年级
高二 课型
新授课□ 章/单元复习课□ 专题复习课□ 习题/试卷讲评课□ 学科实践活动课√ 其他□
教学设计
1、教学内容分析
函数是描述客观世界中变量关系和规律的最基本的数学语言和工具，函数模型在生活中有广泛的应用。本节课是在学生已经掌握了多种函数模型的基础上，进行的一次数学建模的基础课程。本节课选择了“烧水时如何使用燃气最节省？”为研究背景，有关环保、节能问题是近些年热门话题，让学生从身边的情况入手，具有实际意义，不仅能调动学生的积极性，也能体现数学的应用价值。并且是实际问题的解决过程中，让学生体会数学建模的过程。
本课时的学习是通过对简单建模的讲解引导学生初步理解和认识建模方法，了解数学建模过程，能够有意识地用数学的眼光观察现实世界，从而发现并提出有意义的数学问题，并猜测合理的数学结论。
2、学习者分析
作为高二学生已经具备足够的知识储备，但绝大部分只是停留在书本上，对数学的实际价值了解不够，在生活中也没有确切感受到数学的用处导致大部分学生的数学观比较片面。需求即动力，学生没有在实际中运用到数学，就没有学习数学的推动力，使得部分学生感到学习数学枯燥和乏味。因此，以活动的形式进行数学教学势必会受到学生的青睐。与此同时，高中的学生，是富有创造潜力的群体，他们开始重视把书本知识和实践活动结合起来，形成知识、能力和个性的协调发展。因此，培养学生创新精神和实践能力的数学建模能吸引学生，激发他们的学习欲望，同时高二学生已经经历过高一阶段，对高中的学习更加适应，且有一定的数学基础知识，对数学建模将有更深的了解和体会，并且具备了一定的数学建模素养。
3、教学目标确定
1、了解数学建模的概念，体会数学模型是数学应用的重要形式；
2、通过参与数学建模的全过程，理解运用数学知识解决实际问题的方法，掌握数学建模的过程；
3、初步培养学生数学建模意识，提高学习数学的兴趣，体会数学模型中蕴含的数学思想； 4、在交流过程中，能够借助或引用已有数学建模的结果说明问题，从而解决简单的实际
应用问题。
4、教学重点难点分析及教学方式
教学重点：掌握数学建模的过程：实际情景、提出问题、建立模型、求解模型、检验结果、完善模型；
教学难点：能够在实际情景中，发现问题并转化为数学问题；能够运用数学知识解决简单的实际问题；
教学方式：合作交流式的教与学 5、教学活动设计
教师活动
学生活动
环节一：情境引入
教师活动1 学习数学是让我们会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。
思考：现实生活中，你是否用到过数学知识解决实
际问题？
其实生活与数学是紧密联系的。但生活中有很多情境是需要我们引起重视的，比如： 随着人类社会的发展，不可再生资源的短缺愈加明显，甚至一些国家或地区由于石能源的缺乏导
致战争。节约能源，保护环境已成了世界主题，习
总书记也指出新时代推进生态文明建设就要坚持节约优先、保护优先、自然恢复为主的方针。 学生活动1
学生分享自己的感受
同学聆听，并提出节约能源的重要
性，从身边的事情入手节约能源，从而引出问题：
烧水时，如何使用燃气最节省？
活动意图说明
通过对数学与实际生活的思考，启发学生在实际情境中从数学的视角发现问题，从而针对实际情景提出本节课的探究问题，有较强的代入感，激动学生的学习兴趣。
环节二：构建模型 教师活动2
这个看似复杂的事情，要如何一步步抽丝剥茧，用数学知识完成探究呢？首先，我们要对问题进行分析：
问题1：在烧水时，影响燃气用量的因素有哪些？
现实生活中的问题总是存在着很多影响因素，那要想完成探究，需要思考
学生活动2
学生思考后回答
（学生1：水的质量； 学生2：水的初始温度； 学生3：水壶的材质 学生4：燃气灶
学生5：火焰的大小）
问题2：如何处理这些影响因素？
针对相关因素提出假设：
1、每次烧水量相等都是1.2L；
2、每次烧水用相同的水壶和燃气灶； 3、在同一地点进行多次实验；
4、水的最初温度相同，当水达到100 停止加热。
在以上假设条件下，着重研究火焰大小对燃气用量对的影响，从而提出问题：
问题3-1：火焰越大，越节省燃气吗？
问题3-2：火焰越小，越节省燃气吗？
因此，我们探究的问题就是寻找某一种火焰的大小，既能烧开水，又使能源浪费最小，从而
问题转化为：在以上假设条件下烧水，火焰多大时燃气最节省？
问题4：如何刻画火焰的大小？
问题转化为：在以上假设条件下烧水，灶台旋钮旋转到什么角度时，燃气最节省？
经过对问题的分析，我们要探究的内容变得可测量，那么请思考
问题5：如何获取相关数据？
给出经过大量的重复实验得到以下实验数据：
观察实验数据会发现，随着旋钮位置的变化，燃气用量也在发生变化，这两个变量可能存在着某种函
位置（ ） 用量（ ） 0.130 0.122 0.139 0.149 0.172 学生思考后回答
（控制变量，分析因素的重要程度，突出主要因素，弱化次要因素的影响）
学生思考后回答 （不一定，火焰越大，灶台旁边的温度就越高即浪费的能源也越多）
学生思考后回答 （不一定，火焰过小，时间也变长，能源消耗也多）
学生思考后回答
（在燃气灶的使用过程中，可以通过旋转灶台上的旋钮调整火焰大小，而旋钮在旋转过程中就出现旋转角度，进而我们可以用旋钮的旋转角度刻画火焰的大小）
学生思考后回答 （进行实验，旋钮旋转到不同度数时，记录烧开水燃气表的数值变化）
数关系，如果我们能找到这个函数关系，那我们想探究的燃气用量最省的问题就回到求函数的最小值问题。
对于这些数据，如果我们手动的处理这些数据将会有较大的偏差，且计算量较大，但信息技术的发展和课堂的引入，可以帮助我们高效且准确的完成数据分析。
活动2-1：请在坐标轴中呈现实验数据。
问题6：观察数据和图象，可得到旋钮位置与燃气用量何种变化趋势？
活动2-2：以小组为单位商讨后对数据进行函数拟合，并记录拟合函数的表达式。
位置（ ） 用量（ ） 0.130 0.122 0.139 0.149 0.172
学生动手操作，并展示学生代表结果：（以下为学生作品）
这些数据在坐标轴上只是一些离散的点.
学思考后回答
（图象中这5个点呈现出旋钮从 到 的过程中，燃气用量逐渐减少；从 到 的过程中，燃气用量逐渐增加，是一个先减后增的过程。）
学生小组合作完成，并由学生代表展示拟合成果：（以下为学生作品） （1）拟合三次函数
表达式：
观察拟合的二次函数图象发现，A、D、E三点基本在这条曲线上，而另外两点会有一些偏差，引发猜想，如何选择另外的三个点进行拟合，是不是会得到不同的二次函数呢?比如选择A、B、E三点，师生共同完成拟合图象：
结合A、B、E三点拟合二次函数：
（2）拟合四次函数
表达式： +2.5
（3）拟合正弦函数
表达式：
（4）拟合二次函数
表达式：
（5）拟合幂函数
无法拟合函数
学生操作后，分享结果。
活动2-3：请找到函数图象中最小值处的坐标.
追问1：以上是我们利用函数模型得到的五组结论，那么哪一组才是最准确解决实际问题的呢？如何去选择？
追问2：如果最符合的是四次函数，那么模型得到的坐标（28.54，0.12）表示什么实际结果呢？
追问3：如果五组结果都不符合实际，说明什么问题？
三次函数：最低点坐标
（29.52，0.125） 四次函数：最低点坐标 （28.54，0.12） 正弦函数：最低点坐标 （31.69，0.125） 二次函数：最低点坐标 （28.57，0.1267） 结合A、B、E的二次函数：最低点坐标（38.68，0.1219） 学生思考后回答 （需要在实际情况中对结论进行检验，若哪组的结论最符合实际情况，则对应的数学模型就可以使
用。） 学生思考后回答 （旋钮转到29度时，烧水燃气用量最节省，约为0.12立方厘米）
学生思考后回答 （可能假设过程出现错误，需修改假设，重新建模）
活动意图说明
通过学生对具体问题建模过程的参与，让学生了解数学建模的概念，体会数学模型是数学应用的重要形式；并在探究过程中，理解运用数学知识解决实际问题的方法；初步培养学生数学建模意识，提高学习数学的兴趣。
环节三：归纳总结
教师活动3
以上，我们完成了对如何使用燃气最节省的探究，也经历了数学建模的全过程。
活动3-1：小组合作，结合以上探究过程绘制数学建模的过程图？
学生活动3
学生小组讨论后绘制数学建模的过程图并上传到作品库，各组可在作品库中查看其它小组内容。 （以下为学生作品）： 第一组作品：
教师归纳总结：
数学建模需要我们用数学的眼光观察实际情境，从而发现和提出问题，用数学的方式收集数据，其中包括必要的假设和实验获取数据，利用数学思维建立函数模型，用数学知识求解模型，最后用实际情况检验结果，若符合实际则用数学语言表达实际结果，若不符合实际则要重新建立模型。
第二组作品：
第三组作品：
第四组作品：
第五组作品：
观察实际情
发现和提出问题
收集数据
建立函数模型
检验结果
实际结果
符合实际
不符合实际活动意图说明
通过学生对整个探究过程的归纳总结，初步掌握数学建模的过程，能够借助或引用已有数学建模的结果说明问题，体会数学的重要意义。
环节四：布置作业
教师活动4 布置作业：
请同学们仿照上述过程开展一次建立模型解决实际问题的活动，可以从下列选题中选一个：
1、用微波炉或电磁炉烧一壶开水，找到最省电的功率设定方式；
2、在室温下，泡制一杯最佳口感茶水所需时间； 3、给定漂洗所用的清水量的前提下，漂洗多少次能使衣服干净。
也可以根据自己的兴趣，与老师协商后确定一个课题进行研究。
要求：在班级中组成3—5人的研究小组，美味同学参加其中一个小组。拟定研究课题，确定研究方案，规划研究步骤，编制研究手册，然后在班里进行一次开题报告。
学生活动4
活动意图说明
让学生通过亲身参与，深入体会数学建模的过程，能运用所学知识解决简单的实际应用，逐步培养学生数学建模意识，提高学习数学的兴趣。
6、板书设计
7、学习效果评价
在数学建模活动中，学生是认知活动的主体，教师是帮助者、促进者、引导着。在建模的教学中，方法的探究、实施、调整和反思应尽量由学生自主或合作探究完成， 同时在评价学习效果时，无需过多的强调解决的正确性，应主要考查学生使用的数学方法是否得当，求解过程是否合乎常理，建模的结果是否有一定的实际意义。
走近数学建模
数学建模过程 不符合实际 观察实际情景 发现和提出问题收集数据建立函数模型求解函数模型检验 实际结果 结果 符合实际
8、教学反思
本节课的教学目的旨在通过学生对数学建模全过程的参与，理解运用数学知识解决实际问题的方法，掌握数学建模的过程：实际情景、提出问题、建立模型、求解模型、检验结果、完善模型；从而提高学习数学的兴趣，并能够借助或引用已有数学建模的结果说明问题，从而解决简单的实际应用问题。 本节课存在的问题及改进措施：
（1）教师经验不足，对数学建模活动的实践教学把握不够准确。应加强自身对数学建模活动课的说课、磨课等教学研究，认真做好教学实践，不断提高此类课程的教学技能。 （2）学生对数学建模比较陌生，信息技术应用水平不高。学生应该拓展自己的视野，不能局限于教材和考试，要依托教材，学会利用网络资源，多涉猎中学数学建模相关内容，提高自己生活问题数学化的能力，尝试用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
