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视频标签：互为反函数,两个函数之间,图像关系
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视频课题：人教A版高中数学必修一第二章《探究与发现互为反函数的两个函数之间的图像关系》黑龙江 - 鸡西
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教学设计
探究与发现：互为反函数的两个函数之间的图像关系
一、教材分析
1、教材的地位和作用：
反函数的知识是函数学习的一个组成部分，而互为反函数的两个函数图像之间的关系又是反函数学习的重点，掌握了它即了解了数形结合思想，有利于进一步研究函数，并灵活使用、理解数形结合有很大裨益。通过掌握该内容知识，可提高解决实际问题的能力，同时，这节课的内容和学习过程对进一步培养学生主动探究、合作共赢、创新发现及观察、分析和归纳问题的能力都具有重要的意义。
2、教材的处理：
结合教参与学生的学习能力，我将《互为反函数的两个函数之间的图像关系》安排在对数函数学习之后，这样不仅让学生进一步巩固对数函数的定义及其与指数函数之间的关系，同时激发了学生的学习热情，实施趣味教学，自我探究式教学，不仅大大调动他们的学习热情，也让他们体会到学习的成就感与自我潜能开发意识，利用试验、作图、电脑演示引出结论，再由浅入深，由低到高地设置了问题探究，逐步加深学生对知识的记忆和理解。由此，我将习题也由浅入深无缝衔接可以极大的调动全体学生的积极性与激活潜在能力，体现了新课程的理念及学科素养。
3、教材的重难点：
根据教学目标，应有一个让学生参与实践，发现规律，总结特点、归纳方法的探索认知过程,特确定：
重点：互为反函数的函数图像间的关系。 难点：发现数学规律，培养应用意识。
二、学情分析
1、对象：本课安排在高一第一学期前期，学生的理解能力和逻辑推理能力并不是很强，但通过直观的图形处理就会大大的避免了他们因为上述不足而对函数理解不到位，同时也为刚刚入高中的学生满足其对数学高度好奇与期望的发展的阶段提供平，助推对新的知识的渴望。
2、学情：学生刚刚进入高中学习，函数的抽象性与难度在某些程度上给学生造成不小的打击，所以数形结合的思想与研究，从直观角度大大缓解了学生对学习的恐惧，正应了华老先生所言：“形少数时难入微，数少形时少直观”。指对函数的学习正是探究互为反函数的函数图像关系的良好契机。通过对知识的深入研究与学习，也掌握了一些数学学习的方法与思想，当然个体差异的存在也在所难免。
3、心理：学生一直以来厌倦老师的枯燥说教，希望老师能创设便于他们进行思考探索的空间，还他们发表自己见解和表现个人才华的机会。我想这也是之所以教材编写“探究与发现”的目的之一吧！
三、教学目标分析： 1、知识与技能：
（1）了解互为反函数的函数图像间的关系，并能利用这一关系，由已知函数的图像作出反函数的图像。
（2）通过由特殊到一般的归纳，培养学生探索问题的能力。
2、过程与方法：由特殊事例出发，由教师引导，学生主动探索得出互为反
函数的函数图像间的关系，使学生探索知识的形成过程，采用自主探索，引导发现，直观演示等教学方法，同时渗透数形结合思想。
3、情感态度价值观：通过图像的对称变换告诉学生数学的对称美与和谐美，
激发学生的学习兴趣。
四、教学策略分析：
1、教学方法：探究式教学法。
2、教学手段：利用多媒体技术优化课堂，提高课堂效率。
3、学法指导：为了达到课堂效果的最优化，全班同学分成小组，每组4人，
进行分组讨论，这样可以充分调动学生的学习积极性和能动性，突出学生的主体作用,并培养学生的合作探究能力。关键也让不同层次的学习得到最大限度的学习与补充。这堂课主要是用数形结合的数学思想，同时它也是一种很好的数学思想。
五、教学过程设计： 教学过程设计
1、数学实验，创设情景，引入新课 2、复习提问反函数的概念。
〇学生活动 学生回答，教师总结（1）用y表示x（2）把y当自变量还
是函数
提出问题，探究问题
画出y=3x-6的图像，并求出反函数。
●引导设问1：原函数中的自变量与函数值和反函数中的自变量函数值什么
关系？
〇学生活动 学生很容易回答 原函数y =3x-6
中 反函数 中 y:函数x：自变量 x:函数y：自变量
●引导设问2：在原函数定义域内任给定一个x0都有唯一的一个
y
0
与之对
应，即
y
x00,在原函数图像上，那么哪一点在反函数图像上？
〇学生：因为
y
0
=3x0-6成立，所以 成立即(y0
,x0
)在反函
数图像上。
3
6
yx3
6
y
x
●引导设问3若连结BG，则BG与y=x什么关系？点B与点G什么关系？为
什么？点B再换一个位置行吗？
〇学生活动学生根据图形很容易得出y=x垂直平分BG，点B与点G关于y=x对称。学生证法可能有OB=OG,BD=GD等。
●引导设问4在同一平面直角坐标系中画出指数函数y=2x及其反函数y=log2x的图像，你能发现这两个函数的图像有什么对称关系吗？
〇学生活动对于指对数之间的关系，该问题学生还是可以讨论出来的。当然这里用时较长。
●引导设问5取y=2x图像上的几个点，如p(－1,0.5),Q(0,1),R(1,2)关于直线y=x的对称点的坐标是什么？它们在y=log2x的图像上吗？为什么？
〇学生活动学生探究结论得出的方法：曲线与方程，当然此处还没有讲解解析几何，所以只能从方程的解角度验证即可。
▲教师引导教师用几何画板，就上面的问题追随学生的思路演示当
yx0
0
,在y =3 x-6图像变化时(
y0
,x0
)也随之变化但始终有两点关于y=x对称。
〇学生活动由上题学生不难得出做y=x的对称图像（教师配合动画演示） ●引导设问6通过上面的两个问题我们可以得出原函数图像与反函数图像
有什么关系？
学生总结，教师补充 结论（1）一个函数若存在反函数则原函数和反函数的
图像关于y=x这条直线对称；（2）究其本质是定义。
习题精炼，深化概念
●引导设问7函数f(x)=ax+b的图像过点（1，3），它的反函数f-1(x)的图像过点（2，0），求f(x)解析式。
▲教师引导：提醒在函数解析式后面要带函数定义域。 〇学生活动学生自行解题。
▲教师引导：将不同的作法结果利用希沃助手演示给大家，并让同学们学习
并借鉴。
●引导设问8变式1：设点M（1，2)既在 f(x)=ax2+b(x≥0)的图像上，又
在它的反函数图像上，求a+b的值。
▲教师引导学生总结方法：注意观察也许会事半功倍。
●引导设问9变式2：函数y=3+ax-1(a>0,且a≠1)的反函数图像过定点
_________
▲教师引导学生总结方法：应该思考如何才能得到定点，本质是什么？当然
也可以通过反函数来求解。
●引导设问10思考题：已知函数y=f(x)的反函数为f-1(x)，方程f(x)+x-2=0
与f-1
(x)+x-2=0的实数解分别为α、β，求α+β的值。（给出两种基本解法）
〇学生活动由上面结论很容易做出通过图形的对称性，将方程联立
得到交点坐标（1，1）从而利用中点公式得α+β=2×1=2
▲教师引导利用互为反函数的两个函数图像间的关系，可知y=2-x 上一个点（α，β），从而代入可得β=2-α，所以α+β=2.
内容总结：
x
y
xy2
1、互为反函数的两个函数图像关于y=x对称； 2、
yx0
0
,在原函数图像上，那么(y0
,x0
)在反函数图像上。
3、研究问题要抓住定义的本质，并能很好的利用数形结合的数学思想。 布置作业：教辅里的一道思考题。
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