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视频课题：高中数学“函数压轴小题”专题复习-河北省优课
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石家庄市长安区首届名师教学研讨会
（二）专项训练、典例练习：
直击高考 领悟方法 提升能力
类型一： “知式选图问题”
例1、函数f(x)=(1－cosx)sinx在[－π，π]的图像大致为( C )
π
π
O
1
yx
π
π
O
1
yx
π
π
O
1
yx
π
π
O
1
yx
（A） （B） （C） （D）
【学生活动】独立探究，利用解析式研究函数的奇偶性、特殊点的函数值、函数变化趋势。
变式练习1：（山东）函数cos622
xx
x
y
的图象大致为（ ）
【设计意图】让学生在独立探究过程中，感受“知识选图”问题的解题策略：“看差异，找方向”，从差异中寻找解题入手点和思维方向，体会定义域优先意识、解析式在研究函数值、函数的性质、图像的变化趋势等方面的作用。
【解后反思】函数图像的考查涉及的知识面广，形式灵活，经常以新面孔出现；在基本初等函数图像熟练掌握的基础上，加以变换考察新函数的图像、性质等。“小题小做”，“小题巧做”，多用排除法。
变式练习2：（浙江）设函数1).,,(2
xRcbacbxaxxf若为函数x
exf的一个极值点，
则下列图像不可能为xfy的图像为（ D ） “小题需大做”！
【师生活动】本题难度较大，学生感觉无从下手。引导学生发现：本题的解题关键，是始终抓住“x=-1为函数xexf的一个极值点”这个题眼！我们发现要研究的函数是xexf而不是
xf，是乘积型函数，所以要研究积的导数，为了研究问题方便，我们构造辅助函数
xe)(xfxg，所以)),()(()(e)(xxfxfeexfxfxgx
x由x=-1是xexf的一个极值点，
则,0))1()1(()1(1ffeg.0)1()1(ff故接下来只需要看四个选项哪个能满足这
个条件就可以了。
本题的另一个解题关键是抓住“二次函数图像”这个题眼， 充分挖掘图像提供的信息，
X
y
O -1 X
y O -1
-1 -1 X
X
O
O
y
y
(A) (B) (C)
(D)
让静态的图形动起来，“让图像会说话”：题中抛物线的图像能直观告诉我们什么时候
0??0)(xfxf0?xf0?xf
【设计意图】本题考查函数的极值点、二次函数的图象、求导公式、导数的应用、数形结合等知识，对学生的思维力和分析转化能力要求很高，是一个知识交汇处的综合题，仔细审题，充分挖掘，把题目的隐含条件一一挖掘出来，严密推理、准确计算，才能顺利解答本题。
解一：对于选项A，的极小值点和零点，故是xe)(1xfxgx,0)1(0)1(ff，成立。
同理，选项B亦成立。
对于选项C，,0)1(10)1(fxf在单调增区间内，所以，0)1()1(ff故可能。 对于选项C，,0)1(10)1(fxf在单调增区间内，所以，0)1()1(ff故不可能。
解二：,0)1()1(ff得a=c，所以二次函数中,121xx分析四个选项，D必然不成立。
类型二、“作图用图问题”
例2．已知函数f(x)＝
－x2
＋2x x≤0
ln(x＋1) x＞0
若| f(x)|≥ax，则a的取值范围是( D )
（A）（－∞，0]；（B）（－∞，1]；(C)[－2，1]；(D)[－2，0]
【学生活动】给学生足够的空间提问，和足够的时间思考、讨论、画图、寻找解题方法，发现参数a的几何意义，从而利用函数图象、导数的几何意义、结合运动变化观点顺利解答。学生也可能找到用分离参数法解答本题。
【设计意图】本题考查分段函数、绝对值、恒成立、参数范围求解问题。借助图象的几何意义本题可迅速求解，数形结合，事半功倍。有学者质疑本题没有发挥应有的选拔作用，我倒觉得对考生来说这是可遇不可求的好事。用“分离参数，转化为函数最值问题”的思路重做本题较繁琐，从而体会解题方法优化的具大妙处。
变1、已知函数()yfx的周期为2，当[1,1]x时2()fxx，那么函数()yfx的图象与函
数|lg|yx的图象的交点共有（ ） A．10个 B．9个 C．8个 D．1个
变2、已知函数10,62
1
10
0,lgxxxxxf函数，若cba,,各不相等，且cfbfaf， 则abc的取值范围是（ ）
A.(1，10) B.(5，6) C.(10，12) D.(20，24)
【分析】画出函数图象如示，不妨设a＜b＜c，由图知0＜a＜1，,1＜b＜10，10＜b＜12。那么
如何构造出所需的abc的结构形式呢？回归题目本身，看已知条件是否可以二次利用？ 如何再二次利用？（函数值相等的条件可以再深入研究）（推理略）
【学生活动】快速而准确的作图 数形结合 分类讨论 【教师点评】著名数学家华罗庚说：“数形本是两相依，焉能化作两边飞 ；数缺形时少直观，形缺数时难入微”。本题既要直观分析，又需严密推理，定性研究，定量计算，对思维力要求比较高；同时要有较强的“目标意识”，从式子结构上联想对数函数的性质，从而确定变形方向。
变3、的图像所有交点的的图像与函数42sin211
xxyx
xf横坐标之和为（ D ） A．2 B. 4 C. 6 D. 8
【学生活动】让学生利用函数的周期性、对称性、结合函数的单调性、特殊点的函数值，独立画出图形，我们不难发现：
），
是点（心对称图形，对称中心的图像在定义域内是中函数0,142sin2xxy .
82xx0,10,111
21横坐标之和为，所以图象所有交点的故而）对称，
点亦关于点（）对称，所以它们的交的图像也关于点（函数
x
xf 【教师点评】“准确而迅速的作图”是关键。“以形助数，以数辅形”，直观分析，理性思考，挖掘本质。在这里，函数的周期性、对称性对我们解题起到了很大的作用。近几年高考，已经将函数的对称性考到了极致。重点知识重点考查、反复考查，并且常变常新，常变才能创新。
课后练习、对于实数ba和，定义运算1
,1,babbaaba。设函数
,,122Rxxxxf
若函数轴的图像与xcxfy恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（ ）
,21,1.A 2,11,2.B 2,12,.B 1,2.D
X
y O
2
4 1
● ●
●
●
●
●
●
●
● 2
3
2
12
-1
1 12
●
10 b a c 0 X
y 1
-2
类型三： 函数性质的综合应用 例3、（新课标10题）当的取值范围是则时，axxax,log42
1
0（ B ） 220.，A
1,22.B 2,1.C
2,2.D 【设计意图】本题是求参数的范围问题，考查数形结合、分析转化、运算求解能力，以函数
的单调性为核心，结合函数图象、对数性质、对数不等式的解法等，综合性较强。
变1、（江苏）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数xxf2
的图像交于
P、Q两点，则线段PQ长的最小值是 4 。
【设计意图】本题考查函数的对称性及曲线弦长的最值问题，体现了平面几何特征在解决几何图形最值问题中的巧妙应用。题眼：利用对称性设出弦的端点坐标，减少变量个数，最终将弦长表示一个函数关系，通过函数求最值，或利用均值定理求最值。本题亦可据对称性用导数法。
本题与2012年高考理科选择：设点P在曲线x
ey2
1
上，点Q在曲线)2ln(xy上，则PQ的最小值是（ ）A. 2ln1 B.
)2ln1(2 C2ln1. D. )2ln1(2 有异曲同工之妙。
变2、（新课标卷1）设函数1
sin122
xx
xxf的最大值为M，最小值为m， 则M+m= 2 。
【设计意图】本题考查函数的最值问题。解题关键：（1）代数式的变形能力，齐次分式常用“分离常数法”进行变形，将式子化为两部分——预见性；（2）“化整为零”，局部利用奇函数的性质：“奇函数”的最大值、最小值和为零，从而计算出原函数的最大值与最小值之和，体现了整体与局部的关系：“局部考查，整体把握”，善于联想，善于转化是关键。本题属于高档题，有很强的区分度。
变3、定义在R上的函数xfy满足)()(xfxf，且当0,x时，,0)()(xfxf若
)3()3(3.03.0fa，)3(log)3(logfb，)9
1
(log)91(log33fc，则cba,,的大小关系为（ C ）
cbaA. abcB. bacC. bcaD.
解析：奇函数。善于观察、联想。本题由a，b，c的结构形式，联想它们为函数)()(xxfxg的函数值，求导即可使用已知条件，并且可以判断出其单调性，因而只需再比较出自变量
9
1
log3log333.0、、的大小关系即可。“函数诚可贵，构造价更高”！构造辅助函数是解决函数问
题常用方法，在导数解答题中屡屡出现。
【解后反思】有关函数性质的综合应用，函数的性质相互交融，以函数的某个性质为核心，结合其它知识把问题延伸，考查综合能力及发展能力。
课后练习、已知函数xf在R上可导，且满足)2(xfxf，当1x时，0)1(xfx，若
5.0fa，1fb，3fc，则cba,,从小到大的排列顺序为 。
类型四、零点问题（课本新增内容）
例4、（新课标卷1）的零点所在区间为函数34xexfx（ ）
0,41.A 41,0.B 21,41.C
43,21.D 解：021624144
ef。
、 解一（预计）：画函数图像，找交点坐标。发现在（0,1）之间，再二分法，试1/2、1/4。 【点评】对函数零点与方程的解及两函数图像交点之间内在联系弄得非常清楚，值得表扬，对二分法的实质和作用认识深刻。但较繁琐。二分法推出的结论是什么？零点存在性定理。 解二：直接使用零点存在性定理。——估算和近似与运算估值。
【点评】本题考查零点概念、零点存在性定理，考查函数单调性、估算能力和特殊值的运用。
变1、已知则的一个零点，若是函数,,,,111202010
xxxxx
xfxx
0,0.21xfxfA；0,0.21xfxfB；0,0.21xfxfC；0,0.21xfxfD。 解一：），在（数由复合函数单调性知函
111
2x
xfx
上为单调增函数，，00xf 由已知，1＜1x＜0x＜2x，知1xf＜0xf＜2xf，1xf＜0＜2xf。“小题小做，小题巧做”。
解二、用定义，转化为两函数函数值的大小问题。做出图形。数形结合即可读出答案 【点评】提倡“小题小做，小题巧做”。解一需较强的作图、读图、转化能力；解二利用函数性质，简单高效，使解题过程得到很好的优化，在考试过程中节省宝贵的时间。多思考一下，往往就会有意想不到的发现。所谓“磨刀不误砍柴工”。
变2．（天津文）设函数22,()ln)3(xxgxxxxfe. 若实数a, b满足()0,()0fagb, 则（ ）A.()0()gafb B.()0()fbga C.0()()gafb D.()()0fbga
【点评】本题考查函数单调性和零点存在性定理。
变3、（辽宁文）已知的取值范围是有零点，则函数aaxexfx
2 。
解一、（数形结合思想）转化为最小值,02ln222lnminafxf从而构造出关于
参数的不等式,求解即可。22ln2a
解二、（函数方程思想）据定义，为值域。，有解，函数ae-x2a02xaxexfx
【点评】函数与方程思想是中学数学的重要思想，是高考的热点内容。函数零点、函数图像与
x轴交点、方程的根之间存在本质的联系，利用它们之间的关系，可顺利解决许多问题。解决函数零点（方程的根）的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解。 （三）反思升华：
函数小题千变万化，但是“万变不离其宗”，“用解析式研究函数”、“用图像性质研究函数”、“用导数来研究函数”，始终是我们研究函数的三大法宝。见多才能识广，反思才能升华，归纳才能提高！最后阶段，让我们共同努力，共同走向成功！
（四）板书摘要
“用解析式研究函数”
方法 “用图像研究函数” 研究函数的三大法宝
“用导数来研究函数”
例1、知式选图问题：排除法
例2、作图用图问题：借助图象的几何意义
变1、抓住题眼，隐含条件一一挖掘出来 “小题需大做”！ 变2、数形结合 分类讨论 目标意识 变形能力 思维力 变3、快速而准确的作图
例3、 性质的综合应用：以函数的单调性为核心 变1、平面几何特征在求最值中的应用 对称性
变2、变形能力——预见性，化整为零——“局部考查，整体把握” 变3、构造法 “函数诚可贵，构造价更高” 例4、零点问题：零点存在性定理，估算能力 变2、
变3:解一、（数形结合思想）转化为最小值≤0
解二、（函数方程思想）据定义，为值域。，有解，函数ae-x2a02xaxexfx
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
