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视频标签：向量法,求空间的角
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视频课题：高中数学人教A版选修2-1第三章《利用向量法求空间的角》四川
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高中数学人教A版选修2-1第三章《利用向量法求空间的角》四川省苍溪
《利用向量法求空间的角》教学设计
一、内容和内容解析
向量的引入，进一步发展和完善了中学数学知识结构体系。向量作为中学数学知识的交汇点，通过对传统问题的分析，帮助学生建立代数与几何的联系，构造学生知识的网络，也为中学数学向高等数学的过渡打下良好的基础。
立体几何是高中数学的重要内容，也是历年高考的重要考点之一。从近两年高考试题可以看出，求“空间角”是每年必考内容，往往重点考察向量法。
用空间向量处理立体几何问题，体现了向量的工具性，该方法把复杂的分析、推理证明以及辅助线的作法，转化为空间向量的代数运算，降低了空间想象和演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想进而提高学生的学习效率。
二、目标和目标解析
（一）教学目标
1. 掌握用向量法求空间角的基本步骤； 2. 熟练应用向量法解决与空间的角有关的问题。 （二）教学目标解析
1．本节课的内容脉络是：通过对几个公式的回顾，建构起用向量法求空间角的知识网络，再利用例1让学生熟悉向量法求空间角的基本步骤；通过对例2的解决，让学生能力得到提升；通过几个变式练习，让学生及时巩固，从而掌握本节的内容。
2．这节课在熟悉高考中的常见考法的同时，让学生熟练掌握用向量法求解空间角的一般方法和步骤，同时建立起在学生今后学习中归纳、总结的习惯，提高自学的效率。
三、学情和教学重难点分析
高三第一轮复习是整个高考复习的基石，它将为第二、三轮复习提供扎实的基础。其过程主要是对知识、方法的梳理、归纳和总结，通过典例分析和变式练习，使学生将自进入高中以来所学过的各章节的知识系统化，达到巩固双基的目的。这是全面复习的重要时机，也是学生查漏补缺的好机会。
在本节课之前，学生已经复习了空间角的几何求法，也全面复习了平面向量的相关知识，而空间向量作为平面向量的拓展，学生通过类比的方法对其基本运算也能较好的掌握。
本节课的教学重点是对几个公式正确理解和应用。难点是在某些探究性问题中，未知点坐标的设法和求法。易错点有两个，一个是利用直线的方向向量与平面的法向量来求直线与平面所成的角时，应取直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角的余角；二是在利用平面的法向量求二面角的大小时，两个向量的夹角与二面角的平面角相等还是互补，是学生的易错易混点。
四、教学策略分析
1、教法和学法分析
苍溪中学高效课堂流程图
（1）合作学习
在课前，通过上节课的“下节预告”环节，把相关知识提纲交给学生，让
其在课余通过合作交流，得到自己的成果；在课堂上让学生做学习的主人，通过同桌或小组合作学习，学生自主探究问题，解决问题。 （2）展示成果
让学生来展示学习成果。展示的形式主要有板书展示、口头展示等。在展示的过程中，其它同学认真倾听，积极思考，对存在的问题提出置疑和不同的见解，未解决的问题则由其他同学解决。通过展示调动学生的内趋力来推动学生的学习过程和课堂教学任务的完成。2
教师提出问题 学生合作探究 学生课堂展示 教师精讲点拨 学生对点训练 教师评价小结
教师下节预告
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（3）精讲点拨
“高效课堂”强调以生为本。在课堂上，教师要精讲，善抓重点，突破难点，教会学生剖析知识的逻辑方法，引导学生进入更广阔的思维空间。精讲要求教师讲到“点”上。要根据学生展示的情况来决定精讲点拨的内容。课堂灵活度大，教师要在课前做好充分的准备。2-1 （4）对点训练
在每节课中都设置了对点训练，检验学生掌握情况。教师可由题目完成情况及时调整教学进度。 （5）评价小结
教师的评价在高效课堂教学环节中主要体现在两处：一处是随时进行的即时评价，在学习过程中把握时机，给予学生适时的、适当的鼓励、表扬，让学生体验成功的喜悦，激发积极的情感，从而使学生产生浓厚的学习兴趣。评价必须切中要害，实事求是，好与不足，必须具体而明确，绝不可以模棱两可。一句好的评价语，应该是在激励学生的同时，能进一步打开他的思路，激发他们深入探究的欲望；另一处则是在课堂教学结束时的总体评价，这既是本节课教学环节的完美结局，又是下一节课教学环节的强有力的前奏，成为前后两节课教学环节之间不着痕迹的过渡。 （6）下节预告
下节预告是教师布置本节课的课后作业和下一节课的学习目标，以便学生在自习时间巩固本节内容和预习下节的内容。 2、教辅手段 多媒体辅助教学。
五、教学过程设计
本节课的教学过程：
(环节一) 基础知识梳理（课前布置，课堂学生展示结果，教师点拨。）
一 概念回顾：
1．什么是直线的方向向量？ 2.什么是平面的法向量？3．空间角有哪些？其范围分别是什么？ (1)两异面直线所成的角的范围 ；(2)直线和平面所成的角的范围 ；(3)二面角的范围 。
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二 公式回顾：（利用空间向量求空间角）
(1)求两条异面直线所成的角 设a,b
分别是两异面直线1l,2l的方向向量，1
l与2l所成的角θ，a与b的夹角〈a，b
〉，则cos 。
(2)求直线与平面所成的角 设直线l的方向向量为a
，直线l与平面所成的
角为θ，①平面的法向量为n
，则sin 。
②直线在平面内的射影直线的方向向量为b
，则 。
(3)求二面角的大小 ①若AB、CD分别是二面角－l－的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB→与CD→的夹角（或其补角）的大小(如图①)。
②设1n，2n分别是二面角－l－的两个面，的法向量，则向量1n与2n的
夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)。
【设计意图】帮助学生复习基础知识，为后续内容作铺垫。
教师展示PPT，给出答案，并引导学生对类似知识进行总结梳理，并就易混淆知识点着重提醒。
（环节二） 巩固练习（教师课件显示，学生迅速独立完成。）
1．设a＝(－2，2，1)，b
＝(3，－1，2)分别是异面直线m，n的方向向量．则
直线m，n所成角的余弦值为 .
2．若平面的一个法向量n＝(4，1，1)，直线l的一个方向向量为a
＝(-2，－3，3), 则l与所成角的正弦值为 。
3．(人教A版教材习题改编)设u＝(－2，2，5)，v
＝(6，－4，4)分别是平面，
的法向量，则与所成的角为 。 【设计意图】通过练习，巩固公式。
(环节三) 典例分析
【例1】 (2013·江苏高考改编)
如图，在直三棱柱A1B1C1—ABC中， AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．
(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
12cos
cos,nn
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(2)求直线C1D与平面ABA1所成角的正弦值； (3)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值。 （教师点拨，学生尝试解答） 答案（1）
31010（2）26（3）5
3
【师生互动】
教师提问，请学生思考“利用向量法求空间角”的基本步骤是什么；学生通过独立思考得出结论并积极展示；教师给予及时的肯定与恰当的补充，最终形成结论。 【设计意图】通过本例让学生掌握利用向量法求解空间角的基本步骤。
方法提炼：向量法求解空间角的基本步骤：建立恰当的空间直角坐标系；找
出各相关点的坐标；求出各相关直线的方向向量、相关平面的法向量；求出这两个向量的夹角或其正、余弦值，进而求解空间角的正、余弦值。 【例2】(2014·崇州一诊改编)
如图，正方形ABCD所在平面与等腰三角形EAD所在平面相交于AD，AE⊥平面CDE.
(1)求证：AB⊥平面ADE；
(2)在线段BE上是否存在点M，使得直线AM与平面EAD所成角的正弦值为6
3，
若存在，试确定点M的位置，若不存在，请说明理由。
答案（1）略 （2）存在，M为BE的中点。
【设计意图】使学生体会坐标法解决立体几何中的探究性问题时的优越性。
(环节四) 变式练习
练习1 (2014·黄山模拟改编)如图1所示正四棱锥S－ABCD中，O为顶点S在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________，二面角P-SA-B的余弦值为 。
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图1 图2
【设计意图】让学生了解当体会在用平面的法向量求二面角时，必须弄清所求的二面角是锐二面角还是钝二面角。
练习2 (2014·南山中学月考)如图2，在三棱锥PABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2。
(1)证明：AP⊥BC；
(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角AMCB为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。
【设计意图】巩固用坐标法解决与空间角相关的逆向问题，深刻体会解决问题的关键是对未知点坐标的设法和求法。
(环节五) 课堂小结
一 规律方法：
1、利用向量法求异面直线所成的角时，两异面直线所成角的范围是θ∈
0，π2，两向量的夹角α的范围是[0，π]，所以要注意二者的区别与联系，
应有cos θ＝|cosα|。
2、利用向量法求线面角的方法：
(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角，有sinθ＝|cosα|。
3、利用向量法求二面角的方法：
(1)分别在二面角的两个半平面内找一个与棱垂直的向量，则这两个向量的夹角或其补角的大小，就是二面角的平面角的大小；
(2)通过平面的法向量来求：设二面角的两个半平面的法向量分别为1n和2n，
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则二面角的大小等于〈1n，2n〉(或π－〈1n，2n
〉)。应注意结合图形判断二面角
是锐角还是钝角。有|cosθ|＝|cosα|。
4、利用向量法求解与空间角有关的探究性问题等时，未知点坐标的求法是关键，往往通过共线向量定理，利用向量共线的充要条件来处理。解题时，要把成立的结论当成条件，据此列出方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”的问题等。其实质，是把空间位置关系的确立、探索过程，转化为“方程（组）的解”的问题，即“几何问题”转化为“代数问题”。
六、 板书设计
向量法求空间的角
1、异面直线所成的角
投影区域 学生展示区域
2、直线和平面所成的角
3、二面角
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
