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视频标签：垂直于弦的直径
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视频课题：人教版九年级上册数学24.1.2《垂直于弦的直径》_建设兵团省级优课
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人教版九年级上册数学24.1.2《垂直于弦的直径》_建设兵团省级优课
径定理（第一课时）教学设计
黎安寨
【教学内容】垂径定理 【教学目标】
1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；
②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题； ③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。
2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力； ②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。 3．情感目标：①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透； ②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。 【教学重点】垂径定理及其应用。 【教学难点】垂径定理的证明。 【教学方法】探究发现法。
【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。 【教学设计】
一、实例导入，激疑引趣
通过找圆心的活动，引入本节课的内容.
二、尝试诱导，发现定理
1．复习过渡：
①如图2(a)，弦AB将⊙O分成几部分？各部分的名称是什么？ ②如图2(b)，将弦AB变成直径，⊙O被分成的两部分各叫什么？ ③在图2(b)中，若将⊙O沿直径AB对折，两部分是否重合？
(a) (b) (a) (b) (c) （图2） （图3）
2．实验验证：
O
A
B
O
A
B
O
ABC
D
O
A
B
C
DOA
B
CDE
让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折，观察两部分是否重合；教师用电脑演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质——
圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴。 3．运动变换：
①如图3(a)，AB、CD是⊙O的两条直径，图中有哪些相等的线段和相等的弧？ ②如图3(b)，当AB⊥CD时，图中又有哪些相等的线段和相等的弧？
③如图3(c)，当AB向下平移，变成非直径的弦时，图中还有哪些相等的线段和相等的弧？此外，还有其他的相等关系吗？
4．提出猜想：根据以上的研究和图3(c)，我们可以大胆提出这样的猜想——
（板书） BD
ADBCACBD
AECDEAB,CDO垂足为弦的直径是圆
5．验证猜想：教师用电脑课件演示图3(c)中沿直径CD对折，这条特殊直径两侧的图形能够完全重合，并给这条特殊的直径命名为——垂直于弦的直径。
三、引导探究，证明定理
1．引导证明：
猜想是否正确，还有待于证明。引导学生从以下两方面寻找证明思路。 ①证明“AE=BE”，可通过连结OA、OB来实现，利用等腰三角形性质证明。 ②证明“弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”，可利用圆的对称性证明。
2．归纳定理：
根据上面的证明，请学生自己用文字语文进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 3．巩固定理：
在下列图形（如图4(a)~(d)）中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的弦，它们是否适用于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。
(a)AB⊥CD于E (b)E是AB中点 (c)OC⊥AB于E (d)OE⊥AB于E
（图4） 向学生强调：(1)定理中的两个条件缺一不可；(2)定理的变式图形。
⌒ ⌒
⌒
⌒ OD
CBAEODC
BAEOBAEOBACE
四、例题示范，变式练习
1．运用定理进行计算。
〖例1〗如图5，在⊙O中，若弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
分析：因为已知“圆心O到AB的距离为3cm”，所以要作 辅助线OE⊥AB；因为要求半径，所以还要连结OA。
解：（略）学生口述，教师板书。 （图5） 〖变式一〗在图5中，若⊙O的半径为10cm，OE=6cm，则AB= 。 思考一：若圆的半径为R，一条弦长为a，圆心到弦的距离为d， 则R、a、d三者之间的关系式是 。
〖变式二〗如图6，在⊙O中，半径OC⊥AB，垂足为E，
若CE=2cm，AB=8cm，则⊙O的半径= 。 （图6） 思考二：你能解决本课一开始提出的问题吗？（由学生口述方法） 2．运用定理进行证明
〖例2〗已知：如图7，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C、D两点。
求证：AC＝BD。 （图7）
分析：①证明两条线段相等，最常用的方法是什么？用这种方法怎样证明？ （证明△OAC≌△OBD或证明△OAD≌△OBC）
②此外，还有更简捷的证明方法吗？若有，又怎样证明？（垂径定理） 证法一：连结OA、OB、OC、OD，用“三角形全等”证明。
证法二：过点O作OE⊥AB于E，用“垂径定理”证明。（详见课本P77例2） 注1：通过两种证明方法的比较，选择最优证法。
注2：辅助线“过圆心作弦的垂线段”是第二种证法的关键，也是常用辅助线。 思考：在图7中，若AC=2，AB=10，则圆环的面积是 。 〖变式一〗若将图7中的大圆隐去，还需什么条件， 才能保证AC=BD？
〖变式二〗若将图7中的小圆隐去，还需什么条件， 才能保证AC=BD？
〖变式三〗将图7变成图8（三个同心圆），你可以
证明哪些线段相等？ （图8） 〖例3〗（选讲）如图9，Rt△ABC中，∠ACB＝90°， AC＝3，BC＝26，以C为圆心、CA长为半径画弧，交
O
B
AEO
B
A
C
E
O
BC
DAO
B
C
DAE
F
AB
C
D
斜边AB于D，求AD的长。（答案：2）
略解：过点C作CE⊥AB于E，先用勾股定理求得 （图9）
AB=9，再用面积法求得CE=22，最后用勾股定理求得AE=1，由垂径定理得AD=2。
五、师生小结，纳入系统
1．定理的三种基本图形——如图10、11、12。
2．计算中三个量的关系——如图13，222)2
(a
dR。
3．证明中常用的辅助线——过圆心作弦的垂线段。
（图10） （图11） （图12） （图13）
六、达标检测，反馈效果
1．（课本P78练习第1题）如图14，在⊙O的半径为50mm，弦AB=50mm，则点O到AB的距离为 ，∠AOB＝ 度。
2．作图题：经过已知⊙O内的已知点A作弦， 使它以点A为中点（如图15）。
3．课本P78练习第2题。 （图14） （图15）
OA
B
C
D
E
O
A
B
DE
O
A
B
E
a
dROAB
O
B
A
OA
课 堂 练 习
姓名 得分
1．如图，⊙O的半径为50mm，弦AB=50mm，则点O到AB的距离为 ， ∠AOB＝ 度。
（第1题） （第2题）
2．作图题：经过已知⊙O内的已知点A作弦，使它以点A为中点（如图）。 要求：保留作图痕迹，但不必写作法。
3．已知：如图，在⊙O中，AB、AC是两条互相垂直且相等的弦，OD⊥AB， OE⊥AC，垂足分别为D、E。
求证：四边形ADOE是正方形。
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