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视频课题：初中数学人教版八年级上册第十三章13.4课题学习最短路径问题-福建省 - 南平
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初中数学人教版八年级上册第十三章13.4课题学习最短路径问题-福建省 - 南平
课题：§13·4 课题学习 最短路径问题（第2课时）
【人教版八年级上学期】
___南平_市____市属____县（市、区） 学校 南平四中 姓名 周丽娟 内容分析 1.课标要求 “课题学习”，着重在于考查学生综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。本节课是“最短路径问题（第2课时）”，让学生经历用“平移变换”和“两点之间，线段最短”来寻求分析问题和解决问题的方法的过程，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，体会图形变化在解决问题中的作用，感悟转化的思想。 2.教材分析
知识层面：本节课的教学内容是研究一道有趣的“造桥选址”问题，充分体现了利用平移变换实现问题转化，从而有效求解。学生是在已经学习了三角形及平移、轴对称知识的基础上进行的有关最短路径问题的研究。最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。
本节课以“造桥选址”为背景，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题。对它的学习和研究，有助于对最短路径问题的分析、解决。为今后在求立体图形、圆、平面直角坐标系中求最值问题提供了方法。
能力层面：学生在七年级和上节课的学习过程中，已经掌握了用与最值有关的公理、定理解决问题的推理能力。“造桥选址”是实际生活中的极值问题，在这个问题中，平移起了一个桥梁作用，学习过程的本质是推理与化归的过程。有助于提高学生的推理能力、应用意识；分析问题、解决问题的能力。
思想层面：本节课在将实际问题抽象成几何图形的过程中渗透数学建模的思想。在如何将三条线段的和转化为两条线段的和的探索过程中体现了转化的思想。在最值问题的证明中，“任取”一点'C(除了点C外)，由于点'C的任意性，所以结论对于直线上的每一点（除了点C外）都成立，这在数学中常采用的方法，体现了化归的思想。 3.学情分析
最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此之前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有具体背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手 。
与上节课相比，本节课的问题更为复杂，出现了三段线段的和最小问题，解答“当点N在直线2l的什么位置时，NBMNAM最小?”需要将其转化为“当点N在直线2l的什么位置时，NBAM最小?”。能否这样转化，如何实现这样
的转化？有的学生会存在理解上和操作上的困难，还有的学生可能会受思维惯性的影响（上节课学习了“利用轴对称解决最短路径问题”）。在教学中要巧妙引导，其本质还是在于对“两点之间，线段最短”的深刻理解。
在证明“在直线2l上任取一点'
N（与所求做的点不重合），B
NNMAM''''大于NBMNAM”，这种思路和方法，学生有了上节课的经验，容易想到。教师要适时点拨，让学生体会“任意”，并在小组合作中展开讨论，让学生自己证明。 教学目标
对教学内容的研究是为了制定精准的教学目标，本节课的总体教学目标是：能利用平移解决最短路径问题，体会图形的变换在解决最值问题中作用，感悟转化的思想。 具体体现如下：
（1)知识与技能：初步学会利用三角形、平移性质等知识，求线段和的最小值，会解决简单的最短路径问题；
（2）数学思考：经历问题探究的过程，感受图形变换、转化等数学思想方法，体验数学思考的严谨性；
（3）问题解决：经历与同学合作讨论交流解决问题的过程，尝试解释自己解决问题的方法；
（4）情感与态度：在学习过程中，体会数学与生活的关系；激发学生学习数学的兴趣；培养学生的合作精神。
重点：利用平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。 难点：如何利用平移将最短路径问题转化为线段和最小问题。 关键：利用平移将桥的长度巧妙地化解开去。
设计意图：学生能将实际问题中的“地点”“河岸”“桥”抽象为数学中的“点”“线”“线段”，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用河的宽度固定，利用平移巧妙地将两河岸巧妙“二合一”为一条直线，从而将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；会用与上节课类似的方法证明问题，体现了化归的思想，提高学生的应用意识。
策略分析
教学目标的达成需要有效的教学策略，依据教学内容和学生情况，为解决教学问题，本节课采取“问题串”的方式组织教学活动。在教学中我以小故事的方式推动教学，设计了一系列的问题，由易到难，层层深入，引导学生在逐步解决
问题的过程中理解找到符合条件的点的方法和原理；这样使问题简单化，学生易于理解和掌握。从而达到突出重点、突破难点，化难为易的目的。
教学过程 一、复习引入
师：“最短路径问题”是大家很熟悉的一个话题，生活中的应用非常广泛： （图片1）在城市建设时经常将弯曲的河道改直，这样做的数学依据是什么？
生：两点之间，线段最短
（图片2）测量学生跳远成绩的数学依据是什么？ 生：垂线段最短
（图片3）在两岸平行的河面上如何建桥最经济最科学，它的数学依据是什么？
生：垂线段最短
师：我们要学会运用数学知识来美化我们的生活。上节课我们一起讨论了两个非常有趣的话题“将军饮马”问题。
如图1：将军从A地出发到一条笔直的小溪边l 饮马，然后到B 地．到溪边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
问1：你能用数学语言描述这个问题吗？
生：A,B两点在直线l两侧，在直线l上找点C使CA+CB最小 问2：你是如何找到点C的，依据是什么？
生：连接AB交直线l于C点，C点就是要找的点，依据是“两点之间，线段最短”
如图2：将军从图中的A 地出发,到一条笔直的河边l 饮马,然后到B 地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短?
问1：你能用数学语言描述这个问题吗？
生：A,B两点在直线l同侧，在直线l上找点C使CA+CB最小 问2：你是如何找到点C的，依据是什么？
生：作B点关于直线l的对称点B′点，连接AB′交直线l于C点，C点就是要找的点，依据是“两点之间，线段最短” 师：刚才两位同学的回答都非常准确，这两个问题实际上就是求“两点一线”型的线段和最小值问题
（1）两点在直线l的异侧 （2）两点在直线l的同侧
两点在直线l的异侧时，利用“两点之间，线段最短”找点C，两点在直线l的同侧时，利用轴对称将直线同侧两点转化为异侧两点，再利用“两点之间，线段最短”找点C。
转化思想是解决数学问题的一种重要思想方法 1、实际生活问题转化为数学问题
2、两点在直线同侧问题转化为两点在直线异侧问题。 设计意图：通过复习，渗透转化思想。
我们继续研究“将军饮马”问题，将军又搬家了，搬到哪呢？我们一起来看题：
A、B两地在一条大河的两岸，将军现要在河上造一座桥MN，才能从A到B地。（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）使得从A到B的距离最短，桥应该造在何处？这又出现了一个“最短路径问题”。
在本节课中会运用怎样的图形变换来解决这个问题呢？ 二、自主探究 活动一、 分析问题：
问题1：对于这个实际问题，我们首先要做什么？
C
B
A
C
B
A
N
M
河流
图1
P
图2
河岸
B
A
B
A
生：首先把实际问题转化为数学问题。 追问1：能在实际问题中抽象出几何图形吗?
生：具体地可以将A、B两地抽象为两个点，将河的两岸抽象为两条互相平行的直线，将桥抽象为一条与直线垂直的线段MN。
我们要解决的问题就是找到满足条件的线段MN的具体位置。 追问2：对于桥的确定需要几个点？
生：两个（点NM,） 追问3：如果已知一个点可以确定另一个点吗？ 生思考并回答：可以。
师：这样把找“一条线段MN”的问题就转化为“找一个点”的问题了。 追问4：综合以上分析，请结合图形用数学语言来描述这个问题？
学生思考讨论，并相互补充，最后达成共识：如图3，直线1l∥2l，点N为直线2l上的一个动点，2MNl，交直线1l于点M，当点N位于什么位置时，NBMNAM最小？
也可说成：如图3，直线1l∥2l，点M为直线1l上的一个动点，1MNl，交直线2l于点N，当点M位于什么位置时，NBMNAM最小？
设计意图：让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”。
三、合作提升 活动二、解决问题
追问3：问题中要求的N点位于何处NBMNAM最小，在这三条线段中，有哪些线段的长度会随着点N位置变化而变化？
生：由于河岸是互相平行的且桥要与河岸垂直，决定了桥的长度MN就是河宽，无论桥造在何处，MN是必经路线，所以我认为NBMNAM最小本质上
MMN
N
N
MB
河流
A
b3
图
就是NBAM最小。
追问4：这位同学的分析很准确，这是一个很大的突破，那么怎样保证
NBAM最小呢？
学生思考。
追问5：如图4，假设点A、B中间不是隔着一条河（平行线），而是一条直线，你会解决这个问题吗？ 生：直接连接A、B即可。
图4 图5
追问6：我们现在将一条直线转化成了一条河，这两个问题之间有什么联系？你能把今天的问题转化为前面的问题来解决吗？
学生小组讨论，动手操作，老师观察 生1：将直线a向直线b平移，与b重合，连接AB交b于点N,N点就是所要找的点。
生2：将直线a向直线b平移，平移的方向为“与河岸垂直”，平移的距离为“河宽”，
使两直线重合，但点A也需要同样的平移，否则点A与河岸的距离会发生变化。这样就转化为假设的问题了，从而找到建桥点N。
师动画演示。
师：如何清楚地表达这种方法？并画出图形。 学生小组合作交流，相互补充
生：过点A作射线ACa,在AC上截取'AA河宽，连接BA'，交直线b于点N，点N即为所求。
设计意图：通过搭建平台，将“三条线段和”的问题，转化为“两条线段和” 的问题；将“两平行线”转化为“一条直线”问题。通过这两个台阶，降低问题的难度，渗透转化思想，提高学生分析问题、解决问题的能力。
四、引导发展 活动三、证明问题
通过几何画板演示MN位置变化时路径大小的变化
师：你能证明这样找到的点N为符合条件的点吗？通过上节课的学习，要证明“最大”或“最小”这类问题，通常怎么处理？
生：常常要另任选一个量，通过与需求证的那个“最大”或“最小”的量进行比较来证明。
生：不妨在直线2l上另外取一点'N，作为建桥点，过'N作'NMa，垂足为'M，连接BNAM'',,求证：NBMNAMBNNMAM''''. 学生在学习提纲上进行尝试证明。 证明：在BNA''中，
,''''BNNABA BNANNBNA'''即
BNAMNBAM''
'
BNNMAMNBMNAM''''
' 即BNMNAM最小。
师：你能解释小组中出现的各种作法，它们是否符合题意吗？ 设计意图：让学生进一步验证作法的正确性，提高逻辑思维能力。 五、成效评价
活动四：巩固练习
如图，如果A、B两地有两条平行的河，要在两条河上各造一座桥（桥与河岸垂直），如何找到最短距离？
设计意图：让学生进一步巩固利用所学知识解
M'
N'
A'
b
a
C
河流
图7
B
AM
N
图8
河流2河流1
B
A
决问题的方法和策略。在小组合作中学习，发展学生的合作意识，培养学生的应用意识、转化思想。
活动五：课堂小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课研究实际问题的基本过程是什么？
将实际问题抽象成数学问题，根据题意画出图形，体会其中的“变与不变”，运用所学知识解决新问题。
2.平移在所研究的问题中起什么作用？
设计意图：引导学生把握研究问题的基本策略、基本思路和基本方法，体会平移在解决最短路径问题中的作用，体会转化思想的价值。
六、课后反馈 活动六：布置作业 对问题进行拓展
拓展2：如图10，如果A、B两地有三条平行的河呢？
拓展3：如图11，如果在拓展1的条件下，两条河流不平行呢？
设计意
图：提高学生利用“最短路径问题”解决实际问题的能力，体现了学思想重在“悟”。
课题学习 最短路径问题（第2课时）课堂练习
“造桥选址”问题：A、B两地在一条大河的两岸，将军现要在河上造一座桥MN，才能从A到B地。（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）使得从A到B的距离最短，桥应该造在何处？
1．数学问题：
2．作图，找出满足上述条件的点N，并说说作图步骤。
3．证明：沿垂直于河岸方向平移A到A′，使A A′等于河宽，连接ＢA′交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.
4. 如图，如果
、
两地有两条平行的河，要在两条河上各造一座桥（桥与河岸垂直），如何找到最短距离？
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
