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视频课题：人教课标版八年级上册13.4课题学习最短路径问题-河南省
教学设计、课堂实录及教案：人教课标版八年级上册13.4 课题学习最短路径问题-河南省信阳市第七中学
13、4 课题学习 最短路径问题
一、 教学目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，
体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。
重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间线段最
短”问题。
难点：让学生经历将实际问题抽象为数学问题的过程，求线
段和最小问题，利用轴对称或平移将线段和最小问题转化为“两点之间线段最短”问题解决。
二、 教学过程
课前互动：今天很高兴与同学们一起来学习这个课题！ 早就听说我们 * * 的孩子能力强，综合素质高，今天我想来见识一下，通过这节课，大家展现一下我们 * * 的风采，好不好！这节课可是有点难度的哦！敢不敢挑战一下！
情景导入：寒假期间的《诗词大会》同学们看了吗，知道武亦姝是谁吗？ 记得她曾说过唐朝诗人李颀《古从军行》中一句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，它让我立刻想到了这不就是“将军饮马”吗？ （一） 探索新知：
探索一：将军饮马
相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
A
●
精通数学的海伦稍加思索后，利用轴对称的知识，很快回答了这个问题，这个问题就是我们数学史上著名的“将军饮马”问题。
而它，实际就是一个最短距离问题。
问：在我们数学上学过的有哪些最短距离的问题？ 学生答：两点之间线段最短；垂线段最短。
问题1. 对于这样的实际问题，我们应该先怎么做？（引导
学生把实际问题转化成数学模型问题）
A、B两地可以看成两点，河是一条直线L，且A、B两点在直线同侧。
我们要找的直线上的一个点需满足AC+BC怎样？ （和最小）（展示幻灯片，先出图和题条件，后出问题。）
要解决这个问题，我们先来看当两点在直线异侧时，从A到B的最短路径是什么？（黑板上画图，线段AB，连接即可）
当两点在直线同侧时，无论点C在直线什么位置得到的AC+BC都是折线，那么，我们可以利用什么知识把折线变直线？（学生：利用轴结称，找对称点。） 展示幻灯片步骤，学生说一步点出一步。
当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
B
·
l
A
·
作法：
（1）作点A 关于直线l 的对称
点A′；
A′
C
（2）连接A′C ，与直线l的交点即为所求点C．连接AC；
则AC +BC = A′ C + BC = A′B 最短
问题1:如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直
线上的一个动点，
●●●
●
问题2. 我们能再证明一下AC+BC和最小吗？
引导：既然C是动点，这样的点直线上有多少个？（无数个） 我们可以怎么办？（任取一点C`）注意不能与点C重合。
问题2你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
B
·
l
A
·
B′
C
C′●●
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知:∴AC +BC =AC +B′C =AB′，AC′+BC′ =AC′+B′C′
在△AB′C′中AC′ +B′C′ > AB′∴AC′+BC′ > AC +BC即AC +BC最短。
BC =B′C，BC′=B′ C′
问题3：在证明AC+BC最短时，为什么要强调点C`与点C不
重合，它的作用是什么？
（1） 重合没了证明的意义；（2）取的任意点到A、B两点
的距离之和都大于AC+BC，那么AC+BC一定是最小的，体现了我们证明的一般性、任意性。
现在，我们来总结一下“将军饮马”问题的解决思路： （1） 首先，利用轴对称性质，作出对称图形：
（2） 其次，将直线同侧两点转为异侧两点，化折线为直线； （3） 最后，利用“两点之间线段最短”解决问题。
有了这个结论，很多问题都可以迎刃而解了，下面我们就来看一个与我们生活有关的问题。走进生活：
如图，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使其到A、B两地的路程最短？
（学生在练习本上作图，找到符合要求的点。一名上台作图。） 我们学习这类实际问题，最终目的是要解决数学中的最值问题，下面我们就先来小露一手怎样？
分析：动点P在AC上，那么点D、E相对AC，是它同侧的点，抽象出基础图形。一般我们是取一点作其对称点或找一点的对称点，这个题我们选哪个方法？图中有现成的一组对称点吗？（提醒学生找一找） 答：B、D两点关于AC对称。
那么这个问题就立刻转化为求D对称点D`于E之间的最短距离，即BE。
表扬：做的不错！继续出击，挑战一下自己！
继续出击！
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以AC为一边在△ABC外侧作等边△ACD，过点D作DE⊥AC于点F，交AB于E，AB=10cm，BC=6cm，P为线段DE上一动点，连接PC，PB，则△PBC周长的最小值为( )A.16cm B.C.24cm
D.26cm
cm
A
●
●
( C′)
让学生仿造上一题的分析思路来讲题，对做对的同学给以鼓励，奖品。（江南无所有，聊赠一支春） （适时小结：挑出图中藏有的对称点）
刚才我们解决的都是两点一线的最短距离问题，如果是一点两线我们该如何解决？
分析：三角形三条边的长、位置都没确定，周长什么情况下会最小？（折线还是共线时） 利用轴对称使其共线。 学生口述作法：（1）分别作定点A关于OM、ON的对称点 A`，A``；
（2）连接A`A``分别交OM、ON于点B、C；
则点B、C即为所求。
三角形周长＝AB+BC+AC=A`B+BC+A``C=A`A``
小结： 求三角形周长最小值时，可以利用轴对称令三边共线。过渡语：生活中除了利用轴对称，还有其他方法求最短路径的吗？前一段中央一台播出了“超级工程”中的建桥工程，连通云贵的北盘江大桥是目前世界第一高桥。这是我国的骄傲，它是我们今天要来研究的第二个问题“造桥选址”。
探索二：造桥选址
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上
建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？
（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
分析：（1）这个实际问题中可以抽象出几点几线？
路径AMNB，由哪些线段组成？
AM+MN+NB，其中，“MN”为河宽，定值；
（2） 要使AMNB最短，只需使哪两段和最小？（AM+NB） （3） 什么时候和会最小？（折线还是直线的时候） 这个问题我们还能用轴对称解决吗？多了个什么条件？（定长） 该如何利用这个定长？
我们学过的图形变换除了轴对称，还有什么？
学生：平移
引导：既然桥长是个定值，我们可不可以考虑先把MN平移至某一点处？（相当于从A或B先走一段桥长的距离）
与旁边的同学讨论一下。5分钟后反馈讨论结果。 白版上展示答案。
M
N
E如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
A
·
B
·
此题学生有选平移至A点处的，鼓励说完，再展示答案，选择将定长平移至A或B点处都正确，都肯定、奖励。
总结“造桥选址”问题的解决思路：（让学生总结）
求三段折线和最小，当其中有一段长为定值，可以考虑用图形变换中的平移，也转为“两点之间线段最短”问题解决。
同学们今天表现的非常棒，果然名不虚传！能说一下今天你的收获吗？
在解决最短路径问题时，我们通常利用图形变换中的轴对称、平移等变化，使问题都转化为可以利用“两点之间线段最短”来解决的问题。轴对称、平移，是我们解决最值问题的常见方法。
非常感谢各位同学们的配合！有一段话想送给同学们，请一起大声读出来：
（教师寄语：）亲爱的同学们，不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海；骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍。。。。。。愿我们都能从小题做起，坚持如初，为实现我们的梦想而努力！
三、 析书设计：
13、4 最短路径问题
1、两点在直线异侧时：两点之间线段最短（直接连接即可） 2、两点在直线同侧时：（学生上台的作图保留住） “将军饮马”
3、一点两线：轴对称 共线
4、两点、两平行线： “造桥选址” 路径AMNB＝AM+MN+NB = AC+BC 最短 使AM、NB共线
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
