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人教课标版八年级上册13.4 课题学习最短路径问题-辽宁省

视频标签:最短路径问题

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视频课题:人教课标版八年级上册13.4 课题学习最短路径问题-辽宁省

教学设计、课堂实录及教案:人教课标版八年级上册13.4 课题学习最短路径问题-辽宁省

13.4  课题学习 最短路径问题(第1课时) 
一、教材分析 
最短路径问题在现实生活中经常遇到,初中阶段,主要以“两点之间,线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”为知识基础,有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究. 
本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究,让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题,再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间,线段最短” (或“三角形两边之和大于第三边”)问题. 
二、学情分析 
最短路径问题从本质上说是最值问题,作为初中学生,在此前很少在几何中涉及最值问题,解决这方面问题的数学经验尚显不足,特别是面对具有实际背景的最值问题,更会感到陌生,无从下手. 
解答“当点A,B在直线l的同侧时,如何在l找到点C,使AC与CB的和最小”,需要将其转化为“直线l异侧的两点,与l上的点的线段和最小值问题”,为什么需要这样转化、怎样通过轴对称实现转化,一些学生会存在理解上和操作上的困难. 
在证明“最短”时,需要在直线上任取一点(与所求作的点不重合),证明所连线段和大于所求作的线段和,这种思路和方法,一些学生想不到. 
教学时,教师可以让学生首先思考“直线l异侧的两点,与l上的点的线段和最小值问题”,为学生搭建“脚手架”.在证明“最短”时,教师要适时点拨学生,让学生体会“任意”的作用. 
三、教学目标分析 1.教学目标 
教学目标:通过本节课的学习,学生能利用轴对称解决简单的最短路径问题,能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”,把实际问题抽象为数学的线段和最小问题;能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间,线段最短” 问题;能通过逻辑推理证明所求距离最短; 
在探索最短路径的过程中,体会将实际问题转化为数学问题来解决的思想,体会轴对称的“桥梁”作用,感悟转化思想.  
教学重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间,线段最短”问题. 
 
                    
             
                    
                             2 
教学难点:如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题. 四、教学过程设计 
前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用所学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”. 
(一)搭脚手架,分散难点,初步渗透将实际问题抽象为数学问题的思想 
铺垫一:生活中的实际问题——将军骑马从城堡A出发, 到一条笔直的小河边l饮马 ,怎样走路径最短?为什么? 
引导学生分析可转化成怎样的数学问题来解决? 数学问题:点A到直线l最短路径是什么? 
铺垫二:生活中的实际问题——将军骑马从城堡A出发,到军营B,怎样走路径最短?为什么? 
引导学生分析可以转化为怎样的数学问题来解决? 数学问题:点A到点B的最短路径是什么? 
铺垫三:生活中的实际问题——将军骑马从城堡A出发,到一条笔直的小河边l饮马,然后到军营B。将军问:到河边的什么地方饮马可使他所走的路径最短?(城堡A和军营B分别在小河l的两侧)为什么? 
引导学生分析可以转化为怎样的数学问题来解决? 
在前面两个铺垫问题的基础上,学生可得出——“数学问题:在直线l两侧各有一个点A和点B,在直线l上找一点P,使得PA+PB最小。 
(二)探究将军饮马问题 
将军饮马问题: 相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者,名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访海伦,求教一个百思不得其解的问题: 
从图1 中的A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短? 
精通数学、物理学的海伦稍加思索,利用轴对称的知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马问题”. 
你能将这个问题抽象为数学问题吗?(1)这是一个实际问题,你打算首先做什么? 
师生活动:学生回答——将A,B两地抽象为两个点,将河l抽象为一条直线(图2). (2)你能用自己的语言说明这个问题的意思,并把它抽象为数学问题吗? 
师生活动:学生尝试回答,并相互补充,最后达成共识:(1)从A地出发,到河边l饮马,然后到B地;(2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A,B连接起来的两条线段的长度之和,就是从A地到饮马地点,再回到B地的路程之和;(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C为直线l上的一个动点,上面的问题就转化为:当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小(图3). 
 
图3 
设计意图:让学生将实际问题抽象为数学问题,即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”. 
2.尝试解决数学问题 
 如图3,点A,B在直线l的同侧,点C是直线l上的一个动点,当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小? 
师生活动:学生独立思考,画图分析,并尝试回答,相互补充. 
在前面的铺垫训练中,对于点A和点B分别在直线l两侧时,学生已经知道如何在直线l上找一点P,使得PA+PB最小,因此,教师设计小组活动,提出问题如何将这个问题点A和点B在直线同侧向异侧转化? 
(问题1),如何将点B“移”到l的另一侧B′处,
满足直线l上的任意一点C,都保持CB与CB′的长度相
B · 
· 
A l 







B · 
图4 


· 
 
                    
             
                    
                             

等? 
(问题2)你能利用轴对称的有关知识,找到符合条件的点B′吗? 
学生独立思考,尝试画图,寻找符合条件的点,然后小组交流,学生代表汇报交流结果,教师适时使用几何画板进行演示说明,师生共同补充.得出:只要作出点B关于l的对称点B′,就可以满足CB′=CB(图5).再利用(1)的方法,连接AB′,则AB′与直线l的交点即为所求. 
学生叙述,教师板书,并画图(图5),同时学生在自己的练习本上画图. 
作法:(1)作点B关于直线l的对称点B′; (2)连接AB′,与直线l相交于点C. 则点C即为所求. 
设计意图:通过搭建台阶,为学生探究问题提供“脚手架”,将“同侧”难于解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题,渗透转化思想. 
3.证明“最短” 
问题3:你能用所学的知识证明AC+BC最短吗? 
师生活动:师生共同分析,然后学生说明证明过程,教师几何画板演示: 证明:如图6,在直线l上任取一点C′(与点C不重合),连接AC′,BC′,B′C′. 
由轴对称的性质知,BC=B′C,BC′=B′C′. ∴ AC+BC=AC+B′C=AB′,AC′+BC′=AC′+B′C′. 
在△AB′C′中,AB′<AC′+B′C′, ∴ AC+BC<AC′+BC′. 即AC+BC最短. 
追问1:证明AC+BC最短时,为什么要在直线l上任取一点C′(与点C不重合),证明AC+BC<AC′+BC′?这里的“C′”的作用是什么? 
师生活动:学生相互交流,教师适时点拨,最后达成共识:若直线l上任意一点(与点C不重合)与A,B两点的距离和都大于AC+BC,就说明AC+BC最小. 
设计意图:让学生进一步体会作法的正确性,提高逻辑思维能力. 
追问2: 回顾前面的探究过程,我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的? 


l B' C 
图5 

l B' 

C' B 图6 
 
                    
             
                    
                             5 
师生活动:学生回答,并相互补充. 
设计意图:让学生在反思的过程中,体会轴对称的“桥梁”作用,感悟转化思想,丰富数学活动经验. 
巩固训练:已知:P、Q是△ABC的边AB、AC上的点,你能在BC上确定一点R,         使△PQR的周长最短吗? 
 
师生活动:学生分析解题思路,并相互补充,然后独立完成,小组内进行交流。小组派代表学生到展台前展示。 
设计意图:让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法. 4.小结 
请学生谈谈本节课的收获。 
在学生总结的基础上,教师与学生共同梳理本节课收获。 
 
设计意图:引导学生把握研究问题的基本策略、基本思路和基本方法,体会轴对称在解决最短路径问题中的作用,感悟转化思想的重要价值.  
5.布置作业

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