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视频课题：人教课标版八年级上册13.4 课题学习最短路径问题-辽宁省
教学设计、课堂实录及教案：人教课标版八年级上册13.4 课题学习最短路径问题-辽宁省
13.4 课题学习 最短路径问题(第1课时)
一、教材分析
最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究．
本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短” (或“三角形两边之和大于第三边”)问题．
二、学情分析
最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此前很少在几何中涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手．
解答“当点A，B在直线l的同侧时，如何在l找到点C，使AC与CB的和最小”，需要将其转化为“直线l异侧的两点，与l上的点的线段和最小值问题”，为什么需要这样转化、怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难．
在证明“最短”时，需要在直线上任取一点(与所求作的点不重合)，证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到．
教学时，教师可以让学生首先思考“直线l异侧的两点，与l上的点的线段和最小值问题”，为学生搭建“脚手架”．在证明“最短”时，教师要适时点拨学生，让学生体会“任意”的作用．
三、教学目标分析 1．教学目标
教学目标：通过本节课的学习，学生能利用轴对称解决简单的最短路径问题，能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短” 问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；
在探索最短路径的过程中，体会将实际问题转化为数学问题来解决的思想，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想．
教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．
2
教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题． 四、教学过程设计
前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用所学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．
（一）搭脚手架，分散难点，初步渗透将实际问题抽象为数学问题的思想
铺垫一：生活中的实际问题——将军骑马从城堡A出发， 到一条笔直的小河边l饮马 ，怎样走路径最短？为什么？
引导学生分析可转化成怎样的数学问题来解决？ 数学问题：点A到直线l最短路径是什么？
铺垫二：生活中的实际问题——将军骑马从城堡A出发，到军营B，怎样走路径最短？为什么？
引导学生分析可以转化为怎样的数学问题来解决？ 数学问题：点A到点B的最短路径是什么？
铺垫三：生活中的实际问题——将军骑马从城堡A出发，到一条笔直的小河边l饮马，然后到军营B。将军问：到河边的什么地方饮马可使他所走的路径最短？（城堡A和军营B分别在小河l的两侧）为什么？
引导学生分析可以转化为怎样的数学问题来解决？
在前面两个铺垫问题的基础上，学生可得出——“数学问题：在直线l两侧各有一个点A和点B，在直线l上找一点P，使得PA+PB最小。
（二）探究将军饮马问题
将军饮马问题： 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图1 中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短?
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？(1)这是一个实际问题，你打算首先做什么？
师生活动：学生回答——将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线(图2)． (2)你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？
师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识：(1)从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；(2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线l上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小(图3)．
图3
设计意图：让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”．
2．尝试解决数学问题
如图3，点A，B在直线l的同侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？
师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，相互补充．
在前面的铺垫训练中，对于点A和点B分别在直线l两侧时，学生已经知道如何在直线l上找一点P，使得PA+PB最小，因此，教师设计小组活动，提出问题如何将这个问题点A和点B在直线同侧向异侧转化？
（问题1），如何将点B“移”到l的另一侧B′处，
满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相
B ·
·
A l
B
A
l
C
B
A
l
B ·
图4
l
A
·
4
等？
(问题2)你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点B′吗？
学生独立思考，尝试画图，寻找符合条件的点，然后小组交流，学生代表汇报交流结果，教师适时使用几何画板进行演示说明，师生共同补充．得出：只要作出点B关于l的对称点B′，就可以满足CB′＝CB(图5)．再利用(1)的方法，连接AB′，则AB′与直线l的交点即为所求．
学生叙述，教师板书，并画图(图5)，同时学生在自己的练习本上画图．
作法：(1)作点B关于直线l的对称点B′； (2)连接AB′，与直线l相交于点C． 则点C即为所求．
设计意图：通过搭建台阶，为学生探究问题提供“脚手架”，将“同侧”难于解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题，渗透转化思想．
3．证明“最短”
问题3：你能用所学的知识证明AC＋BC最短吗？
师生活动：师生共同分析，然后学生说明证明过程，教师几何画板演示： 证明：如图6，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，BC＝B′C，BC′＝B′C′． ∴ AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′．
在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′， ∴ AC＋BC＜AC′＋BC′． 即AC＋BC最短．
追问1：证明AC＋BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，证明AC＋BC＜AC′＋BC′？这里的“C′”的作用是什么？
师生活动：学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直线l上任意一点(与点C不重合)与A，B两点的距离和都大于AC＋BC，就说明AC＋BC最小．
设计意图：让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力．
追问2: 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？
A
B
l B' C
图5
A
l B'
C
C' B 图6
5
师生活动：学生回答，并相互补充．
设计意图：让学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验．
巩固训练：已知：P、Q是△ABC的边AB、AC上的点，你能在BC上确定一点R， 使△PQR的周长最短吗？
师生活动：学生分析解题思路，并相互补充，然后独立完成，小组内进行交流。小组派代表学生到展台前展示。
设计意图：让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法． 4．小结
请学生谈谈本节课的收获。
在学生总结的基础上，教师与学生共同梳理本节课收获。
设计意图：引导学生把握研究问题的基本策略、基本思路和基本方法，体会轴对称在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值．
5．布置作业
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