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视频课题：人教课标版八年级上册13.4 课题学习最短路径问题-天津市
教学设计、课堂实录及教案：人教课标版八年级上册13.4 课题学习最短路径问题-天津市
13.4.课题学习《最短路径》教学设计
一、教材分析
地位作用： 现在是数学遵循《标准》的理念，以“生活 数学”“活动 思考”
为主线展开课程内容，注重体现生活与数学的联系，其中最短路 径问题就是这一方面知识与能力的综合运用。本节课的教学贴近 生活，更着眼于解决生产、经营中的问题，以省时、省财力、省 物力为教学主线，希望寻求最短路径的数学问题。这类问题的解 答是在学生学习了“轴对称”的基础之上，依据是“两点之间， 线段最短”或“垂线段最短”这一理论基础上进行推导、演练， 根据所给的条件的不同，在解决方法和策略上又有所差别。初中 数学中的最短路径问题，体现了数学来源于生活，并用数学解决 现实生活问题的数学应用性。本考点在中考时往往以解答题的形 式出现。
二、教学目标：
（1）知识与技能：借助轴对称知识转化，利用公理“两点之间、线段最短”
来求线段和的最小值，从而解决最短路径问题。体会图
形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。
（2）过程与方法：经历实践活动的过程，得出最短路径问题的解决办法，
找到关于线的对称点实现“折”转“直”，再利用“两点之间，线段最短”这一性质来解决一些简单的实际问题。
（3）情感、态度与价值观：通过观察、归纳、推理得出数学猜想，体验
数学充满探索性、创造性。
三、教学重、难点
教学重点：确定两点一线和两点两线型的线段和最小值问题。
教学难点：分析问题、确定问题类型并解决问题。
突破难点的方法：利用轴对称性质，作任意已知点的对称点，连接对称点和
已知点，得到一条线段，利用两点之间线段最短来解决.
四、教学准备：多媒体课件、导学案
五、教学过程：
（一）复习引入 活动一：
教师：我们在平时的生活中有许多的时候都会考虑怎样才可以使我们的利益最大
化，比如说：怎样可以使省时、省力；再比如说，怎样找最短距离。那我们在初中阶段就已经学习多了一些相关的几何知识，现在请大家回忆一下我们学过哪些定理来说明最短距离。
学生：思考教师展示问题，对所学知识进行复习巩固，并观察图片，获得感性认
识.
设计意图：从生活中问题出发，唤起学生的学习兴趣及探索欲望。
活动二：两点在一条直线异侧的最短路径问题
已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，
使得PA+PB最小。
教师：请同学们讨论此题，并作图。
讨论问什么这样作图就是最短的路径?
学生：思考老师展示的问题，经过讨论，在导学案上作出图形，并回答问题。 设计意图：为学生提供参与数学活动的生活情境，培养学生解决数学问题的能力. （二）创设情景，引入课题
活动三：两点在一条直线同侧的最短路径问题——两定一动
如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
教师：请同学读题，思考本题中展示的数学问题.
学生：学生思考教师展示问题，并观察图片，获得感性认识.
设计意图：从生活中问题出发，唤起学生的学习兴趣及探索欲望.
追问1：观察思考，抽象为数学问题
教师：这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 小组讨论活动（1）：
学生：将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．
设计意图：通过学生观察口答，自己的动手画图等一系列活动，为学生提供参与
数学活动的生活情境，培养学生的把生活问题转化为数学问题的能力.
追问2：你能用自己的语言来说明这个题的意思吗？可以把它抽象成一个数学问
题吗？
小组讨论活动（2）：
学生尝试回答，并互相补充，最后达成共识：
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；
（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段
的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和； （3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为
直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）．
设计意图：通过与其他同学间的合作交流，经历自己的独立思考，用观察——画
图——说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力。
强调：将“最短路径问题”转化为“线段和最小”的问题
追问3：尝试解决数学问题
教师：我们观察点C的运动轨迹，猜想一下当点C在直线L的什么位置时，AC 与CB的和最小？我们可以联想刚才当A、B位于直线L的异侧时的最短路径问你 能利用轴对称的有关知识把同侧的两点，转化为异侧的两点吗？ 小组讨论活动（3）：
学生：作点A关于直线L的对称点A’，连接A’B，交直线L于点C，则C即为
所求。
设计意图：经过学生独立思考，合作交流等方式，达到轴对称知识的学以致用，
教师要在讲解中注意总结问题解决的方法：抓对称性来解决。
追问4：你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？
小组讨论活动（4）：
师生互动：引导学生推理，并给出证明过程。 证明：在直线 l 上任取另一点C′ ，
连接AC′ 、BC′ 、B′ C′ ． ∵直线 l 是点B、B′的对称轴， 点C、C′在对称轴上，
∴BC=B′C，BC′=B′C′． ∴AC+BC=AC+B′C=AB′． 在△AB′C′中，
AB′< AC′+B′C′， ∴AC+BC < AC′+B′C′， 即AC+BC最小．
小组讨论活动（5）：
讨论本题的做法，说出如何解答此类问题 本题小结：
设计意图：经历观察——画图——说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生
的逻辑思考能力。通过相互交流解题经验，提炼思想方法：轴对称、活动四：练习
已知：正方形ABCD的边BC上有一点E，
请你在对角线CD上找到一点P，使 得BP+PE的和最小
设计意图：本题是对两点在一直线同侧求线段和最小问题的一个提升，虽然学生
还没有学习过四边形，但根据小学所学习的正方形的基本知识，以及学生已有生活经验，他们可以很容易的说出取B点的对称点D，连接DE，交AC于P，则P即为所求。
活动五：一定两动
如图，A为马厩，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到马厩. 请你帮他确定这一天的最短路线.
教师：请同学们认真读题，参照我们刚学习过的知识，把实际问题转化问几何问
题，并给出已知和求证。 学生：动手操作画图
已知：如图，在l1、l2之间有一点A.
求证：分别在l1、l2上确定一点M、N ，使AM+MN+NA最小.
设计意图：通过讨论，培养学生分析问题、解决问题的能力。 师生互动：由学生操作，老师引导，画出正确图解。
设计意图：在讨论和动手操作的过程中体会轴对称变换对解决线段和最短问题的
重要性。
活动六：练习——两定两动
某中学八(1)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示，两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上。请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？请选择正确的顺序（ ）
1、连接C1D1,分别交OA、OB于点P、Q； 2、作D点关于OB的对称点D1； 3、作C点关于OA的对称点C1；
4、那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路线最短
A、2、3、1、4 B、1、2、4、3 C、3、1、2、4 D、2、3、4、1 设计意图：本题相对比较简单，目的是让学生熟悉掌握作图的步骤。
活动七：小结归纳
同学总结本节课所学习的知识
设计意图：自由发言，相互借鉴，自由评价。总结回顾学习内容，帮助学生归纳
反思所学知识及思想方法。注意关注学生的个体差异。
活动八：当堂监测
1、如图，小河边有两个村庄A、B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水，则下列叙述错误的是（ ）
A、若过点A向EF作垂线交EF于点M，则在点M建厂离A村最近
B、若过点B向EF作垂线交EF于点N，则在点N建厂离B村最近
C、若要使厂部到A、B两村的水管最短，则作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点
D、若要使厂部到A、B两村的水管最短，作A点关于EF的对称点，连接该对称点与B点，与EF的交点即为所求。
2、现有一人骑马从C点到D点，但必须先到河岸L1的P1点去让马饮水，然后再到河岸L2的P2点去，再次让马饮水，最后到D点，如图，他应如何选择饮马点P1，P2，才能使所走的路程CP1+P1P2+P2D最短？
3、（1）如图1，点A，B在直线L两侧，请你在直线L上画出一点P，使得PA+PB的值最小； （2）如图2，点E，F在直线L同侧，请你在直线L上画出一点P，使得PE+PF的值最小；
（3）如同3，点M，N在直线L同侧，请你在直线L上画出两点O，P，使得OP=1cm ，且MO+OP+PN的值最小。
（保留作图痕迹，不写做法，第三问作为选作）
（图1） （图2） （图3）
活动九：作业 质量监测86-87
活动十：课后反思
本节课为人教版八年级上册的内容，在内容上与学生的实际生活联系的比较紧密，也正是因为这样课堂中就更多的体现“用数学思想解决实际问题”这一数学思想。
在教学设计上利用学生已有的数学体验进行引入，全体学生掌握良好。在讲解“求两点在一条直线的同侧的最短路径问题”时，通过学生的动手操作，互相说理，证明验证等一系列教学活动让提炼解决此类问题的方法，为了让学生探究问题更加的顺畅，我还设置了三个小问题，这样一来学生的讨论就有了依据，随着讨论越来越深入，知识呈现就会更具体、问题理解也变得更深刻、技能的生成也更容易，有利于学生掌握数学的核心知识、完成学习目标。进而上升到对怎样用数学思想解决实际问题的方法的总结。
不足之处：课堂的引入过短，虽然引入中加入了以前的例题，但是语言上的引入应该在给学生一个缓冲的时间。在教学中我给予学生讨论的时间还是不够充分，应该鼓励学生多说，更好的培养学生的说理能力和总结能力。注重分类讨论的重要性，理解每种不同类型题目之间的区别和联系，重视建模思想的渗透，为以后的数学学习打好基础。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
