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视频课题：初中数学人教版八年级上册第十三章13.4课题学习最短路径问题-江苏省 - 南京
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初中数学人教版八年级上册第十三章13.4课题学习最短路径问题-江苏省 - 南京
13．4 课题学习 最短路径问题
教学目标
能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
教学重点
利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题． 教学难点
探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理．
教学过程设计
一、创设情景，明确目标
如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，走哪条路最近？你的理由是什么？
前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．
二、自主学习，指向目标
自学教材第85 页至87 页，思考下列问题：
1．求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求，其依据是两点的所有连线中，线段最短．
2．求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．
3．在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择．
三、合作探究，达成目标 探索最短路径问题
要在公路（宽度不计）上修建一个泵站C，分别向公路两侧A、B两镇供气，泵站修在什么地方，可使泵站C到A、B两镇所用的输气管线最短? 游戏
桌上放着10颗金蛋，大家从A地出发，到桌上拿1颗金蛋跑
到B
地，最先到达的就能得到金蛋里面的礼物。如果大家的跑步速度一样，你会选择拿哪颗金蛋？ 活动1:思考画图、得出数学问题
活动2:尝试解
决数学问题 展示点
评：作法：
(1)作点B 关于直线l 的对称点B′； (2)连接AB′，与直线l 交于点C. 则点C 即为所求．
活动3:你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?
证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，
BC ＝B′C，BC′＝B′C′. ∴ AC ＋BC＝ AC ＋B′C ＝ AB′， AC′＋BC′＝ AC′＋B′C′.
在△AB′C′中， AB′＜AC′＋B′C′， ∴ AC ＋BC＜AC′＋BC′.即 AC ＋BC 最短. 小组讨论：证明AC ＋BC 最短时，为什么要在直线l 上任
取一点
C′(与点C 不重合)，证明AC ＋BC ＜AC′＋BC′？这里的“C′”的作用是什么？
反思小结：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然
后用“两点之间线段最短”解决问题．利用三角形的三边关系，若直线l上任意一点(与点C 不重合)与A，B 两点的距离和都大于AC ＋BC，就说明AC ＋BC 最小. C′的代表的是除点C以外直线l上的任意一点．
小结：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题．
三、反思小结 你有哪些收获?
四、实践作业
如图，地跌龙华路站与阅景龙华公交站间有一片长方形草坪，路人换乘时经常会践踏草坪。园林工人打算在草坪上铺设石阶，石阶铺设在什么位置路人才会愿意走？ （考虑到成本，铺设的石阶与路牙垂直）
展示点评：从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．
解：在直线a上取任意一点M′，作M′N′⊥b于点N′，平移AM，使点M′移动到点N′的位置，点A移动到点A′的位置，连接A′B交直线b于点N，过点N作MN⊥a于点M，则路径AMNB最短．
理由如下：如图，点M′为直线a上任意一点(不与点M重合) ∵线段A′N′是线段AM平移得到的 ∴AA′＝MN′，A′N′＝AM
∴AM′＋MN′＋BN′＝A′N′＋AA′＋BN′ ∵MN平行AA′且MN＝AA′
∴MN可以看作是AA′经过平移得到的 ∴A′N＝AM ∴AM＋NB＝A′N＋NB
∵根据两点之间线段最短，得A′N＋NB＝A′B<A′N′＋BN′ ∴AM＋NB＝A′N＋NB
∵根据两点之间线段最短，得A′N＋NB＝A′B<A′N′＋BN′ ∴AM＋NB<AM′＋BN′ ∵MN＝MN′
∴AM＋MN＋NB<AM′＋M′N′＋N′B，即路径AMNB最短．
小组讨论：回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？ 反思小结：解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法将河的宽度为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法(如利用轴对称或平移等)转化在一条线段上，从而解决这个问题．
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
