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视频课题：人教A版高中数学选修2-2 变化率与导数-浙江省 - 杭州
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变化率与导数教学设计
一、 内容与内容解析
变化是自然界的普遍现象，丰富多彩的变化问题随处可见。函数是描述运动变化规律的重要工具。如何定量刻画千变万化的变化现象，是数学研究的重要课题。17世纪创立的微积分就源于研究运动物体的变化规律，它是数学发展中的里程碑。本节课的核心内容是平均变化率和瞬时变化率。这是微积分中的两个核心概念，有着极其丰富的实际背景和广泛的应用。对于宏观地描述一个简单的变化过程，可以利用平均变化率的这个指标，但是随着对变化问题研究的深入和细化，用平均变化率已经不足以刻画一个较复杂的变化问题，需要引进瞬时变化率的概念。从平均变化率到瞬时变化率，是一个量变到质变的过程。它蕴涵着的无限分割的微分的思想，无限逼近的极限的思想是两个极为重要的数学思想。因此本节课的重点是理解瞬时变化率的概念，学会用瞬时变化率来“度量”变化过程。 二、 目标与目标解析
抽象的数学往往都具有丰富的实践背景，变化率概念的形成和发展也不例外。课堂教学需要再现数学概念的形成与发展过程，让学生体会数学的重要思想和丰富内涵，感受数学工具在解决实际问题的作用，使学生认识到数学概念的形成也是人的思想的自然合理、符合逻辑的发展过程。因此确定本节课的教学目标为：
1. 从具体案例中，发现平均变化率在刻画变化规律中的作用和局限性。 2. 通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解利用
平均变化率的极限刻画瞬时变化率的思想。
3. 自然合理地形成微分、逼近、极限等数学观点，体会微积分的思想及其
内涵，理解导数就是瞬时变化率。
三、 教学问题诊断分析
函数是刻画运动变化的重要数学模型，函数的图象与性质是学生定性分析变化现象的重要认知基础。或许学生能够从函数图象上感受函数变化的快与慢。但学生往往缺乏从定量和抽象的层面去分析数学问题本质的习惯与能力。本节课的第
2
一个难点是从现实背景中抽象出函数平均变化率的概念，即
2
121)
()(xxxfxfxy
是表示函数)(xfy在区间[1x，2x]或[2x，1x]上函数平均变化率。对于高中学生而言，他们习惯于用静态的思维来观察和表达一个数学现象。在本节课中，预计学生会产生这样的问题：（1）当区间不断缩小时，函数在这个区间上的平均变化率将会发生怎样的变化？这种变化有什么规律？（2）在变化的“瞬间”，平均变化率有没有意义？它还能否刻画“瞬间”的变化规律？（3）当0x时，
x
y
将成为0
0
型的式子，它还有意义吗？其实这些问题不仅会困扰现在的学生，也困扰
了当时的数学家们。因此本节课的难点是从平均变化率概念到瞬时变化率概念的产生和形成。特别是微分、逼近、极限思想的体现和运用。 四、 教学支持条件分析
学生对于函数概念、函数图象与性质等知识与方法理解和掌握是本节课的教学基点。因此可以引导学生从函数解析式、函数的单调性等方面去探究，特别是利用函数图象直观，对由函数刻画的变化现象作出定性的分析。在此基础上，引导学生进行数学抽象和数学概念的形成与发展。学生的生活经验、原有的知识基础，直观而形象的课件都可以支持学生对一个问题从表面到本质，从形象到抽象的转变。
五、 教学过程设计 （一）创设情景、引入课题
开门见山，引入课题。提出今天学习的课题是“变化率与导数”，并指出变化是自然界的普遍现象，丰富多彩的变化问题随处可见。 问题1：如何用数学的方法观察和分析一个变化现象？
以来自于学生的生活经验为例。
“当你吹气球的时候，随着球内的空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢。”
你能否用数学的方法，来解释这种现象。
设计意图：这是教材中的例子，问题的设计包含两个方面。第一，对于一个实际问题的数学解决，需要对问题进行理想化，抓住问题的本质而忽略次部分。
3
这是数学建模的思想。在本问题中，气球可以抽象为标准的球体，因此球体的体
积与半径之间的关系就能明确地表达出来，33
4
rV。这样我们就能定量地研究
气球容量V与半径r之间的关系。同时，空气要求是均匀地冲入气球的。其次，问题具有一定的开放性，可以运用多种数学方法来解释这种现象，以便教师引导学生归纳总结出，用平均变化率是刻画这种现象的简单而有效的方法。
活动预设：希望学生能够从他们的视角来回答问题。如从函数变化的角度，
3
43)(
V
Vr，利用学生对于幂函数图象与性质的基础，画出这个函数的图象。从函数图象上可以看出函数)(Vr是增函数，并且增长的速度是变慢的。
如果是这样，教师可以通过追问，什么是“增长的速度是变慢”？进而引入到更加精细的定量分析：
（1）当空气容量从0增加到1L时，气球半径增加了：62.0)0()1(rr（dm） 气球的平均膨胀率为：
62.00
1)
0()1(rr（dm/L）；
（2）当空气容量从1增加到2L时，气球半径增加了：16.0)1()2(rr（dm） 气球的平均膨胀率为：
16.01
2)
1()2(rr（dm/L）；
通过图象分析与电子表格计算，可以看到平均膨胀率是逐渐减小的。 引导学生发现：平均变化率是解释变化现象的重要指标。
问题1—2：你能举出一些你所知道的用平均变化率来描述的指标吗？ 设计意图：概念的产生的一个重要途径是归纳，光有一个例子是不够的。由于教学时间的限制，不允许教师通过多个例子来建立平均变化率的概念，因此需要利用学生原有知识结构，对平均变化率概念进行顺应和同化。预设学生能够回答诸如斜率、增长率、利率、速度、加速度、效率、利润、功率等。
问题2：对于一个描述变化过程的函数)(xfy，请写出函数从1x到2x的平均变化率，并画出示意图。
设计意图：深化平均变化率概念的内涵，引导学生写出
1
221)
()(xxxfxf，引入记号
4
12xxx， )()(12xfxfy，平均变化率可以表示为：1
221)
()(xxxfxfxy
。并为后续学习导数的几何意义作铺垫。 （二） 设疑求变，形成新知
任何的数学方法都是在一定的条件下产生，因此必然有局限性。平均变化率也一样，有时它不够用了。提出有关于高速公路的例子：
有一条新造的高速度公路，高速交警为了保证行驶安全，要控制汽车行驶
速度，于是采用计时的方法，记录汽车在起点和终点的时间，计算车辆的平均速度。于是问题产生了……
问题3：驾驶员在途中开得很快，但到了终点的收费处旁等待，到了时间以后才开出高速公路。如果你是交警，那么你将如何解决这个问题？
设计意图：利用学生熟悉的生活背景，使学生能够想到，需要在途中增加监控设备，缩短计算平均速度的时间间隔，才能解决问题。以学生的生活背景设置问题，使学生感知抽象的数学概念的形成，也是来源于生活的需要。
问题4：一种称为“电子狗”的产品出现了。司机只要在监控设备有效的监控范围内控制速度，在监控范围外就可以任意超速而不受处罚。那么你又有什么好的对策吗？
设计意图：预设学生会回答两种方法。第一，进一步缩短监控的范围，可以增加监控设备。但是监控设备不能无限增加，于是也可以增加流动监控设备，造成全程监控的假象。第二，真正实行全程监控，利用GPS行车记录仪，记录汽车在行驶过程中每一个“瞬间”的速度，使汽车在每一个瞬间都不超速。从而引出“瞬时速度”的问题。
问题5：什么是运动物体“瞬时速度”？
设计意图：先由学生回答，让学生充分暴露其想法。教师顺势利导，帮助学生形成瞬时变化率的概念。
为了研究和回答这个问题，同样我们可以在一个实例的背景中讨论这个问题。 问题6：人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：
m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系：105.69.4)(2ttth。你能否知道起跳后大约2s左右，这个运动员的速度吗？
5
教学过程中可以设置以下几个环节： （1）2s左右怎样表示？
用t表示“瞬间”的时间，那么2s左右可以表示为[2，t2]（0t），或者[t2，2]（0t）。 （2）在2s“瞬间”的平均速度是：t
hth)
2()2(，这个平均速度与t的正负
有关吗？
（3）当“瞬间”越来越小时，
t
hth)
2()2(还有意义吗？
即当0t时，t
hth)
2()2(还有意义吗？如果我们将0t直接代入这个
式子，将会出现0
0
的不定型，怎么办？
（4）我们可以对t
hth)
2()2(作小小的变形，以看清楚它。
thth)2()2(＝
tt
t
tt9.41.135.6)4(9.4，从分母中消去了t，这个非常好，去掉了给我们造成麻烦的t。现在我们可以将0t代入得到
1.13。
（5）过程0t，有
1.13)
2()2(t
hth，这表示什么意思？
引导学生回答：表示“当2t，0t时，平均速度t
hth)
2()2(趋近于
确定值1.13。这是一个时间间隔趋近于0的过程，在这个过程中，
t
hth)
2()2(趋近于一个确定的值，这个值我们就可以认为在2t时的“瞬时速度”，也叫做
0t时，式子
thth)2()2(的极限。记作1.13)
2()2(lim
0t
htht。 （三）归纳抽象，形成概念
问题6：依照前面的问题，你能给出函数)(xfy在0xx处的瞬时变化率的定义吗？
设计意图：至此形成函数瞬时变化率概念已经水到渠成。我们所需要的是进行符号语言上的抽象与规范。
一般地，函数)(xfy在0xx处的瞬时变化率是
xxfxxfxy
xx)()(limlim
0000，
6
我们称它为函数)(xfy在0xx处的导数（derivative）， 记作)(0xf或0|xxy 即 )(0xf＝x
xfxxfxy
xx)()(limlim
0000。
（四）回顾总结，体验文化
在短短的几十分钟里，我们一起经历了历史上伟大人物发明微积分所做工作。微积分是数学的基础，也是科学发展的基石。
请你总结刻画变化规律的不同方法，并说说其中的基本思想。
微分、逼近、极限的思想就是为了对于“无限”的征服。“数学是定义无限的本质的科学”，研究无限是微积分发展的原动力。
牛顿和莱布尼茨在17世纪分别独立地建立了微积分。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑。牛顿建立了无穷小概念，从面奠定了微积分的基础，导数是微积分的核心概念。
牛顿（Isaac Newton，1642—1727，英国），被誉为人类历史上最伟大的科学家之一，他创立了微积分，并且构筑了力学的大厦。
莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716，德国），是德国最重要的数学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，和牛顿同为微积分的创建人。他所创设的微积分符号远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。 有兴趣的同学课后可上网查阅有关微积分创建的故事，了解微积分创建的意义和伟大功绩。
设计意图：微积分的创立是人类的一个伟大创举，推动了时代的发展，体现了数学巨大而又广泛的应用。微积分的创立不仅是数学思想史的里程碑，也是科学思想史上的里程碑。体会微积分的创立与人类科技发展的紧密联系。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
