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视频课题：人教版高二数学必修2中第四章圆与方程复习课《阿波罗尼斯圆及其应用》湖南
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第四章圆与方程复习课《阿波罗尼斯圆及其应用》湖南省涟源
阿波罗尼斯圆及其应用
（必修二第四章圆的方程复习参考题）
一、教学设计思想
在解析几何中，我们经常会遇到一些有关圆的定点，定值类问题，而这些问题中有一种情形就是著名的阿波罗尼斯圆问题。在历年高考中，以阿波罗尼斯圆为背景的考题频频出现，。因此有必要对阿波罗尼斯圆进行进一步的探究。 二、教学目标
【知识与技能】
1. 了解阿波罗尼斯圆及其文化背景，掌握阿波罗尼斯圆的定义及特征； 2. 能用阿波罗尼斯圆进行简单的应用。
【过程与方法】
1. 培养学生观察、思考、分析、猜想的能力，体会由特殊到一般的思维方法。 2. 初步体会轨迹方程思想、转化与化归思想。
【情感态度与价值观】
1. 在引导学生通过自主探究，发现问题，解决问题的过程中，激发学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位，提高学生学习数学的兴趣。 2. 体验规律发现的快乐。
三、重点与难点
教学重点：阿波罗尼斯圆概念的理解及其应用；
教学难点：阿波罗尼斯圆的轨迹方程的推导与应用。 四、教学方法与教学手段
教学方法：引导探究法；教学手段：采用多媒体教学。 五、教学过程设计
(一)问题引入
1、
（1） 用几何画板进行动画演示
结论1：M的轨迹是一个圆
12, ,, (11).MMMmMmm 已知点与两个定点距离的比是一个正数求点的轨迹方程并说明轨迹是什么图形考虑和两种情形144PB2追本溯源：必修二复习参考题组第题121mMM分析：当时，表示线段的垂直平分线.1m下面我们只考虑时的情形14012:(2,0),(8,0),,5,.PQMPQMP、引例已知点点与点的距离是它与点的距离的用《几何画板》 探求的轨迹并给出轨迹方程（信息技术应用）
2
（2） 回顾求动点轨迹方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简
结论2：①M的轨迹仍然是一个圆 ②圆心在线段的延长线上
（二）探究新知
1、阿波罗尼斯圆的概念
（1）定义
（2）人物简介：
（3）注意事项：① ②
③ 2、阿波罗尼斯圆的方程推导
MPMQ
（3） 改变的值进行动画演示.
12, ,, (11).
MMMmMmm3、问题解决：
已知点与两个定点距离的比是一个正数求点的轨迹方程并说 明轨迹是什么图形考虑和两种情形1212(.,,2.)MMxyMMa以线段所在直线为轴中垂线为轴建立平面直角坐标系设＝12(1)1,0,mxMM当时轨迹方程：表示线段的中垂线.
2222
2222212(2)1,()()11
12(,0),11
mma
mxaymmmma
amm当时轨迹方程： 表示以为圆心以为半径的圆.
(01)mmm平面内到两个定点的距离之比为常数且的点的轨迹是圆.这个圆叫做阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆.01mm且.1221, 1,,01,MMmMmM圆心在两定点所在的直线上且不在线段上.圆心在的右边圆心在的左边.
,m当1时轨迹为线段的垂直平分线.
1M2MM12, ,(1).MMMmMm 已知点与两个定点距离的比是一个正数求点的轨迹方程2222
2212()()11
mmaxaymm轨迹方程：22
275:()()44
Mxy的轨迹方程为. (262190), , ,, , ,,, 阿波罗尼斯约公元前年古希腊著名数学家 与欧几里得、阿基米德齐名.他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地阿波罗尼斯圆是
他论著中的一个著名问题也是其研究成果之一。 《圆锥曲线论》是一部经典巨作书中蕴含坐标思想这给后世坐标的建立具有很大的启发。.
3
（三）阿波罗尼斯圆的应用
总结：已知两定点和比值可以求阿氏圆的方程
总结：已知一定点、阿氏圆和比值可以求另一定点.
总结：已知两定点和阿氏圆和可以求比值.
(四)课堂小结
1、一个概念
2、两种思想：方程思想、转化思想 3、三类问题：轨迹、定点、定值
(200813)2,2,.
ABCABACBCS例1江苏卷若则最大值是______2(2013
), (0,3),,24, ,2, xOyACClyxCMMAMOCa例、年江苏高考在平面直角坐标系中点圆的半径为1圆心在直线 ：＝上若圆上存在点使得＝求圆心的横坐标的取值范围.
22
3(2,0),:(4)16,2, .
APCxyBPAPBB例、已知为圆=上任意一点若点满足＝则的坐标为______:2,1,3,,MAABBCCDMBDMC练习若为以为直径的圆上一点则＝_______.B
AC
22.CABS分析：点在以、为定点的阿波罗尼斯圆上，从而求
出的最大值为2222
()(24)1(1)4
12
3 [0].
5MCOADCxayaDxyCDa分析：点既在圆上，又在以、为定点的阿波罗尼斯圆上.
圆： 圆： 问题转化为两圆有公共点
所以1，从而求出的取值范围为，x
O y
A
l
C
D
,
2,CABBxOAOBB分析：圆是以、为定点的阿波罗尼斯圆且在轴的正半轴上. 由得出点的坐标为（40）
y x
AO CP42
4
练习及作业
(五)教学设计感悟
本节课按照“创设情境---组织探索---知识应用”的教学模式,遵循“教师的主导作用和学生的主体地位相统一”的教学原则，设计“教材问题为载体，以学生中心，以方法构建和能力培养为目标”的教学思路，充分利用多媒体与信息技术进行辅助教学.学生思维活跃，求知欲强，但尚未具有良好的思维水平和学习习惯.因而我在教学中通过几何画板进行探索，引导学生通过观察、思考、发现新知，突出重点、突破难点，在知识形成过程中初步体会轨迹方程、转化与化归等重要思想,以及从特殊到一般的思维方法。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
