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视频标签：导数的实际应用
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视频课题：人教B版高中数学选修2-2第一章1.3.3《导数的实际应用》山东省 - 青岛
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人教B版选修2-2《导数的实际应用》
教学设计
一、 教学目标
根据本节教材在本章中的地位和课程标准要求以及学生实际,本节课的教学目标制定如下:
1.夯实数学知识：掌握导数的基本运算规则，能求简单函数和复合函数的导数；能够利用导数研究简单函数的性质和变化规律；能够利用导数解决简单的实际问题。
2.提高数学能力：围绕着如何设计饮料瓶这一实际问题，发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作探究论证数学结论。
3.发展数学抽象、数学建模、数学运算、数据分析的核心素养。 4.通过介绍饮料瓶的工艺制作和回收处理相关背景资料，拓展学生知识广度和思考深度。 二、教学的重点和难点
重点：将实际问题转化为用函数表示的数学问题，利用导数研究函数的性质和变化规律，从而解决生活中的优化问题。
难点：经历数学建模的全过程，合理分析误差原因改进模型。 三、教法学法分析
根据这节课的特点和学生的认知水平，本节课的教法与学法定为：引导发现法,问题串教学, 由浅入深、层层递进，将教材还原成生动活泼的思维创造活动，启发学生积极思考，勇于探索，从而使学生产
生浓厚的学习兴趣，体现学生的主体地位. 在学法的选择上，采用自主探究法、观察发现法、合作交流法、归纳总结法. 四、教学过程
结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下： （一）问题导入（2分钟）
某品牌饮料有四种规格不同的产品，价格如表格。
规格（L） 2
1.25 0.6 0.33
价格（元） 5.1 4.5 2.5 2
①对于消费者而言，如何选择更为合算呢？通过计算每升饮料的价格得出结论，瓶子规格越小，价格越贵。
②对制造商而言，饮料瓶规格越小利润就越大吗？不一定。 ③在推出新产品之前，制造商应如何合理设计包装控制成本，实现利润最大化呢？
【设计意图】以生活中的饮料瓶为切入点，提出如何设计饮料瓶减少成本提高利润这一问题，引起学生的兴趣，激发学生求知的欲望，从而引入本节课的课题生活中的优化问题。 （二）实例探究（10分钟）
①如果你是饮料制造商你打算制造什么形状的饮料瓶呢？学生大胆设计饮料瓶形状。
②某饮料公司制造并出售球型瓶装饮料。每一个饮料瓶子的制造成本是2R8.0分，R是瓶子的半径，单位是cm.已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为
6cm.如何设计瓶子大小实现利润最大呢？教师引导分析，学生理解题意，将现实的利润最大问题转化为数学函数最值问题，借助导数分析函数性质求得最值，学生独立完成的求解并板书。
【设计意图】学生初步接触优化问题，通过教师引导，回顾利用极值求函数最值的基本步骤，并注意函数的定义域，从而逐步形成解决优化问题的一般思路。 （三）数学建模（5分钟）
求函数6R0),R-3
R(8.0)(23
Rf的最大值。学生板演结束后，
教师引导学生借助导数画出原函数图象，并观察函数图象，结合实际生活解释数学结论的现实意义。例如当半径为2时亏本最多；当半径为3时不亏不赚；半径在小于2时容量受限导致销售量减少从而影响利润。
【设计意图】本环节不仅借助函数图象直观验证了结论，又引导学生学会用数学知识解释生活现象，为模型优化改进提供了方向。 （四）模型优化（5分钟）
①思考：为什么生活当中球形的瓶装饮料并不常见？借助视频了解到从空间利用率、材料最省和人体工程学等角度圆柱形是最优设计。
②某饮料公司制造并出售圆柱形瓶装饮料。初步将瓶子的半径和高设置为1:5.瓶子的制造成本包括瓶身和瓶底（将瓶盖部分近似看成上底）,其中瓶身为0.1分/cm2，瓶底为0.25分/cm2.已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.1分,且制造商能制作的瓶子的最大半
径为 6cm.如何设计瓶子大小实现利润最大呢？学生自主完成练习并投影展示。
【设计意图】借助视频了解工业设计所考虑的因素拓宽学生知识广度，通过求解圆柱形瓶装饮料最优设计方案进一步巩固利用导数解决最值问题的一般方法。 （五）模型探究（10分钟）
思考：能否再修改圆柱形饮料瓶形状，提高利润？
学生自主提出改进方案。教师适时引导学生观察圆柱形瓶装的利润模型，分析利润影响因素。控制体积和表面积两个变量，提出提高利润的两个方案，即体积一定时，表面积最小；表面积一定，体积最大。进而引导学生用数学语言表达，将设计的方案转化为数学问题。小组合作完成求解，鼓励学生多种方法求解并展示。
【设计意图】本环节将探究的自主权交给学生，引导学生从利润模型入手，分析影响因素，在合作探究中经历“发现问题——提出问题——解决问题”的过程。 （六）回归生活（3分钟）
①通过探究发现，当饮料瓶高与底直径相等时材料最省利润最大，这样的实际符合实际生活吗？学生阅读材料中饮料瓶的测量数据引发认知冲突进而产生误差猜想。
②教师引导学生思考：为什么实际生活中的易拉罐高与底直径不相等?数学模型是否存在误差？
【设计意图】激发学生求知欲望，为分析误差优化模型铺垫。
（七）分析误差（8分钟）
①回归数学模型，利润=V×0.1－2S底面×0.25－S侧面×0.1。学生分析变量的现实意义，体积即饮料容量，表面积衡量瓶子用料，发现该模型忽视材料厚度。
②借助实际测量数据，考虑厚度改进模型（如图），容积一定瓶子材料体积最小。学生将其转化为数学语言并独立解答。
③教师在学生计算有困难时及时指导，厚度参数a相对于底面半
径R较小，因此忽略模型中含有3
2,aa项。在此基础上鼓励学生不断
补充，充分考虑现实生活易拉罐形状（圆台和球）将数学模型不断优化。
【设计意图】引导学生将数学结论与现实生活做对比，将数学模型不断优化。学生的探究活动在数学世界和现实生活不断循环，真实体会到数学建模解决优化问题没有最优解只有更优解。 （八）总结拓展（2分钟）
①引导学生回顾本节课主要内容，借助饮料瓶设计实现从现实世界到数学世界的转化。解决实际生活的优化问题的基本步骤是假设→建立→求解→分析→检验。在模型求解中常用的数学工具是导数和函数。数学建模过程蕴含数学抽象、数学运算、数据分析等核心素养。
②饮料瓶这个小小的工业设计涉及力学、人机工程学、心理学、计算机辅助设计等内容。每一零件都独具匠心，例如易拉罐拉环由向
外拉改为向内拉就是考虑到资源的回收利用。我们作为消费者，、决定了饮料瓶的最终归宿。观看视频了解资源回收的基本常识。
【设计意图】本环节一方面引导学生养成回顾反思学习习惯，提升数学建模、抽象、运算以及数据分析等核心素养；另一方面借助饮料瓶设计和回收，增加知识广度，培养学生的环保意识。 （九）课后补充
①鼓励学生进一步减小实际误差，充分考虑厚度、易拉罐形状（圆台和球），完成饮料瓶模最优设计。
②鼓励学生搜集整理资料，指导撰写饮料瓶最优设计的研究报告或小论文，并进行报告、交流。
【设计意图】数学建模活动以课题研究的形式开展，学生完整经历选题、开题、选题、结题四个环节。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
