联系本站客服加+微信号15139388181 或QQ：983228566 |
视频标签：数学归纳法
所属栏目：高中数学优质课视频
视频课题：人教B版高中数学选修2-2第二章《数学归纳法应用举例》辽宁省优课
本视频配套资料的教学设计、课件 /课堂实录及教案下载可联本站系客服
《数学归纳法应用举例》教学设计
一、
教材分析：
本课是人教版全日制普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第3节的内容，根据课标要求，本书该节共2课时，这是第二课时，其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。数学归纳法是一种重要的数学证明方法，在高中数学内容中占有重要的地位，其中体现的数学思想方法对学生进一步学习数学、领悟数学思想至关重要。数学归纳法的证明过程中展现的推理和逻辑思维让学生体会到数学的严谨和规范。学习数学归纳法后学生对等差等比数列、数列求和等问题的解决有了新的方法。 二、
学情分析：
本节课是绝对值不等式的第二课时，所以学生们对不等式的解法已经有所了解，基本掌握解绝对值不等式的基本思想：去绝对值符号。第一课时主要介绍了含有一个绝对值的不等式axbcaxbc形如和的解法，还介绍了含有一个绝对值的双向不等式的解法，可以转化成求两个单向不等式，然后再求交集。基于以上基础，在讲解本节课含有两个绝对值的不等式的时候，相对会比较轻松一些，但是本节课会介绍三种方法，学生们都要掌握。 三、
教学对象：
高中学生，具备一定的认知能力，思维目的性，连续性和逻辑性也已经初步形成，具较强的探究欲望。 四、
教学目标： 知识与技能
（1）了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。
（2）会证明简单的与正整数有关的命题。 过程与方法
努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。
情感态度与价值观
选修2-2第二章第三节编写人：张茜校对人：高二数学组
通过本节课的教学，使学生领悟数学思想和辩证唯物主义观点，激发学生学习热情，提高学生数学学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，以及发现问题、提出问题的意见和数学交流能力。 五、
教学重点：
1.初步理解数学归纳法的原理。
2.明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。
3.初步学会使用数学归纳法证明简单的与正整数有关的数学恒等式。
六、
教学难点：
1.学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设做出证明。
2.运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
七、
教学手段：
本节课采用类比启发探究式教学方法，以学生及其发展为本，一切从学生出发。在教师组织启发下，通过创设问题情境，激发学习欲望。师生之间、学生之间共同探究多米诺骨牌倒下的原理，并类比多米诺骨牌倒下的原理，探究数学归纳法的原理、步骤；培养学生归纳、类比推理的能力，进而应用数学归纳法，证明一些与正整数n有关的简单数学命题；提高学生的应用能力，分析问题、解决问题的能力。既强调独立思考，又提倡团结合作；既重视教师的组织引导，又强调学生的主体性、主动性、平等性、交流性、开放性和合作性。
充分利用信息化资源进行多维度的知识展示，综合利用多媒体视频、ppt讲稿、PAD教学、白板展示、投影、思维导图等信息化教学手段，生动展示本节课内容、调动学生积极性，让学生积极参与到课堂中来，实现教学目标。 八、
教学过程：
第一步：知识回顾： 活动设计：
一、什么叫数学归纳法？
对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性： 1、先证明当n取第一个值n0时命题成立； 2、然后假设当，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 这种证明方法就叫做数学归纳法。
选修2-2第二章第三节编写人：张茜校对人：高二数学组
二、多米诺骨牌
（1）第一块骨牌倒下；（基础）
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定能导致后一块倒下。（事实上条件（2）给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。）
三、数学归纳法的应用 1、证明等式 2、证明不等式 3、猜想再证明 4、整除问题 5、几何问题
第二步：扩展训练： 活动设计：
2311111
11()22222
nnnN、用数学归纳法证明
2323111
1111
(1)1==1222
(2)(1,)11111
122222
11111111
1=122222222
21
112
(1)(2)kk
kkkkkknnkkkNnknknN证明：当时，左边，右边，等式成立
假设当时，等式成立，就是
当时，左边右边，这就是说当时，等式也成立
根据和，可知等式对任意都成立
111212()23(1)1=1=2,1<2(2)(1,)111
122311111
11223112(1)111111
1nnNn
nnkkkNkk
nkkkkkkkkkkkknk
、用数学归纳法证明证明：当时，左边，右边，所以不等式成立假设当时，不等式成立，就是 当时，+
=
<=2，
这就是说当时，不等式也成(1)(2)nN立根据和可知不等式对任意都成立
第二步：变式练习： 活动设计：
选修2-2第二章第三节编写人：张茜校对人：高二数学组
1115
(2,)
1236
11115
(1)2=34566
1115
(2)(2,)1236
111111
1(1)1(1)2331323(1)111111(1233132nnNnnnnnkkkNkkknkkkkkkkkkkkk
求证：证明：当时,左边，不等式成立
假设当时命题成立，即当时，1)331511115115()(3)63132331633161(1)(2)2kkkkkkkknknnN当时，不等式也成立
由和可知原不等式对一切，均成立
第四步：扩展训练 活动设计：
12311231113{},21(1),,(2)3715211
(1)21,,,22482213
(2)12-=22
1
(1,)22
1nnnnnnnnnnnkk
anSSanaaaaSanaaaanankkkNanka
、已知数列其前项和为，且满足求出并且推测的表达式用数学归纳法证明所得结论
答：由，得故推测证明：当时，，结论成立
假设当时，结论成立，即当时，23111231111
2(1)111=2122,24,2221kkkkkkkkkkkaaaaakaaaakaaaaanknN
，
这就是说当时，结论成立，根据和可知对任意结论都成立
选修2-2第二章第三节编写人：张茜校对人：高二数学组
11234
1111234121
{},,2(2)
3(1)(2)11
(1)22,(2)2
2345
34561
(2)()
2
2
13
nnnnnnnnnnnnnnaanSaSnSSSSSSnaSSSSnSSSaSSSnSnNnnS
4、已知数列中其前项和满足计算，，，猜想的表达式并用数学归纳法加以证明答：当时，则有=，=，=，=猜想证明：当时，，11()2
112(1)1
1123(1)2221kkkknkkNSkkknkSkSkkknknN
猜想成立
假设当时，猜想成立，即当时，这就是说当时，猜想成立，根据和可知对任意结论都成立
第五步：高考直击： 活动设计：
1144441121113444{},{},2,27,10(1){}{}(2),,12210()(1){}{}223286nnnnnnnnnNnnnnanSbababSbabTabababnNTabnNadbqabadbqSd
a已知是等差数列，其前项和为是等比数列且求数列与的通项公式
记证明答：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由得，，由3
443
441111111213112723227331210286210
(2)1=1216=21016()122101=n
nnkkk
kkkkkkbdqdanbSbqdqnababnkkNTabnkTababababa，得，解得，所以，当时，左边，右边，等式成立假设当时，等式成立，即当时，111121111111111111
()(21012)24(3)10242101212=2101kkkkkkkkkkkkkkkkbqababababqTabqabaababTabnknN，即所以当时等式也成立，根据和可知对任意结论都成立
选修2-2第二章第三节编写人：张茜校对人：高二数学组
第六步：课堂小结： 活动设计：
九、
课后作业：
红对勾第24课时 十、
板书设计：
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
