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视频标签：函数概念,形成与发展
所属栏目：高中数学优质课视频
视频课题：人教B版高一数学必修一必修一第二章《函数概念的形成与发展》大连市第二中学
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一、【教学内容分析】
本节课是一节数学文化课，是依据人教B版必修一第二章《阅读与欣赏——函数概念的形成与发展》而设计的。函数是高中数学中的一条重要主线，它不仅是对集合内容的巩固与发展，也是日后学习方程、不等式、三角函数、数列、导数的重要工具。另外，函数在日常生活、科学技术、经济、物理、计算机等方面都有重要应用。
函数概念是学习函数的重要基础，但高中函数概念文字表述冗长，抽象程度更高，所涉及的符号多、题型多、考点多，是高中数学学习的一大难点。之所以是难点，其中一个重要的原因就是教材对概念的形成所提供的感性材料不够充分，形式化的符号表述导致学生对概念本质的理解不够深入。
新课标中提出：“数学史更多的反映了数学的人文价值，而我们的数学课程中对数学的人文价值的关注有所欠缺。”因此，本节课纵观函数发展史，让学生经历函数从形成到不断的修正、完善，直至做到更加严谨、准确的表达的过程，使学生对函数概念的发展、内涵与外延的认识更为深刻，降低函数概念以及符号的抽象性，从而化解难点。
二、【学情分析】
从学生知识层面看：学生在初中初步探讨了函数的相关知识，因此对初中函数概念有较好的掌握；通过高一第一章“集合”、第二章“函数”的学习，对集合理论下的函数概念也有一定的认识，为讲述函数概念的发展、从根本上揭示函数的本质提供了知识保证。
从学生能力层面看：通过以前的学习，学生已有一定的分析、归纳和概括能力，初步具备了学习本节课的基本能力。课上需要学生从高中函数概念中提炼函数概念的本质，并且对比初中与高中函数概念说明高中函数概念在初中基础上有何调整与改进，这都需要学生有较高的数学抽象思维能力，对学生提出了较高的要求。
三、【教法与学法选择】
问题式教学法：本堂课的主要内容是数学文化以及函数概念的辨析,根据学生的心理特征和认知规律，我采取问题式教学法；以问题串为主线，通过设置几个具体问题，引导学生发现各阶段函数概念的局限性，最终形成集合理论下的函数概念并从中归纳、概括出函数概念的本质,这刚好也符合建构主义的教学理论。
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探究式学法：新课标要求：“教师要把教学活动的重心放在促进学生学会学习上。教师教学方式运用的落脚点最终是提高学生的自主学习能力，使学生学会学习，自觉发展数学学科核心素养。”结合本堂课的特点，我倡导的是探究式学法。让学生在小组探究中,通过老师问题的引导归纳各阶段函数概念的局限性；通过问题的解决，概括出函数的概念的本质,从而让学生由“被动学会”变成“主动会学”。
四、【教学目标】
1) 经历函数概念的形成过程，并能说出几个关键阶段和代表人物；
2) 了解集合理论下的函数的关键要素、定义域及对应法则 ，掌握符号 的含义，
提高数学抽象素养；
3) 撰写小论文，感悟函数概念形成过程中蕴含的人文精神和科学精神.
五、【教学重点、难点】
教学重点：函数概念的发展过程 教学难点：对函数概念本质的理解
【解决措施】
本节课的教学重点是函数概念的发展过程。课前通过设计一节微课，详细讲述函数概念从形成、修成到完善的完整过程，让学生观看微课、提前预习。另外，课前导学案中设计了四个阅读材料，分别讲述了函数发展的不同阶段以及各个阶段的核心观点，学生课前预习并做导学案，可以对函数概念的发展过程有大致了解。课上，为了更加生动形象，通过四位同学角色扮演，带大家沿着数学家的步伐和足迹探寻函数概念的产生和发展的全过程。
本节课的教学难点是对函数概念本质的理解。函数概念的本质是两个非空数集之间的对应，学生不理解归根结底是因为对初中函数概念根深蒂固，不理解函数概念为什么要推广。本节课借助历史发生教学，带学生遵循历史足迹，探寻函数发展的各个阶段及其局限性。学生利用所学知识、通过实际举例说明当前阶段函数概念的局限性并对其进行推广，完成函数概念从“唯解析式论”到“变量说”再到“对应说”的发展过程，自然而然的形成高中集合理论下的函数概念。
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六、【信息技术】
1、PPT
PPT已成为每堂课必备的多媒体载体，PPT具有快捷、生动、形象的特点，可以为学生提供直观感性的材料，有助于增加课堂容量，提高课堂效率。同时，与板书相结合，突出课堂重点。
2、微课
微课是学生课外延伸的个性化阅读和学习的最好载体，也是传统课堂学习的一种重要补充和拓展。本节课微课的主要内容是函数概念的完整发展过程，是学生在课前观看的。函数的发展历程是本节课的重点，但要求学生在课堂上完全掌握存在一定的困难。因此，微课可以帮助学生提前预习，提前了解函数发展过程，分散课堂难点。
3、图形计算器Geogebra
本节课课堂上并没有使用该软件，但学生在表演时所做的PPT中涉及到函数图象，是学生自己用Geogebra软件做出的。函数图象在研究函数中有重要作用，而Geogebra软件为学生作图提供了很好的载体。
4、UMU互动学习平台
UMU是一款移动互联网学习平台，该平台有很多功能，支持学生课上与课下的学习，本节课所使用的功能如下：
（1）上传微课。UMU学习平台可以上传微课，并生成二维码。
（2）翻转课堂。提前把微课、文章等教学内容上传至UMU平台，学生下载UMU APP，课前先预习，上课更有效。
（3）课堂检测。当堂检测，学生扫描二维码答题，现场提交，分数立刻展示，大屏幕可以展示排行榜及每题结果，还可以针对考试情况自动生成微课进行讲解。
（4）实时上传。课上上传学生成果，大屏幕实时显示，学生在APP上也可以及时查看。 （5）布置作业。学生通过扫描二维码，或在UMU APP上提交作业，作业的评价标准不仅仅是教师打分，还有学生互评，最终形成6个维度的AI评价，为学生实时提供个性化作业反馈。
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七、【教学设计】 【设计思路】
本节课是一节数学文化课，新课标对《函数概念的形成与发展》这一内容也有一定的要求，即“收集、阅读函数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述函数发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献”。基于课程标准的要求，本节课的一个关键目标是要让学生了解函数概念的发展过程。课前让学生阅读教材、查找资料、观看微课，做到对函数概念的发展有大致的了解。课上四位同学角色扮演，生动形象的讲述函数概念的发展，以此完成本节课的教学重点。让学生了解函数史的关键目的在于：借助数学史可以帮助学生更加深刻理解函数的概念。因此，本堂课的后半段回归到常态课，辨析高中函数概念、高中函数概念与初中函数概念的区别与联系。
章建跃老师曾指出，函数概念这一节需要注意以下几点： （1）高中为什么还要重新定义函数概念？ （2）重视一般符号 的意义的理解；
（3）关于分段函数，要明确“分段函数是由几个函数组成的吗？”[9]
因此，本节课在“辨析函数概念”环节设计了如下三个问题： 1、高中函数概念中的关键点是什么？
2、高中函数概念在初中函数概念的基础上做了哪些改进？ 3、你是如何理解符号 ？而 又是什么意思？ 课堂练习时，设计了三道题：
1题：说明狄利克雷函数是函数。狄利克雷函数无法画出函数图像，也不存在解析式，且是一个分段函数，首先让学生清楚分段函数是一个函数，这个函数的定义域是R。其次，判断是否为函数，学生可以再次回顾函数的三个关键点。
2题：写出两个集合A与B之间的两个函数。这一问题也在考察对函数概念的理解。 3题：求解函数定义域问题。教学目标要求学生必须掌握求简单函数定义域的方法。 课堂检测环节也设计了三个问题，第一题考察学生对函数概念发展过程的了解；第二题考察学生对函数概念及三要素的掌握；第三题考察学生求解函数定义域的掌握情况。
最后，课堂小结，带学生回忆本节课所学习的内容。课外延伸，要求学生独立撰写一篇小论文，论述函数概念的发展历程。
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【教学设计】
教学设计
教学环节 起止时间
教学内容
学生活动 设计意图 媒体作用 及分析 课前
准备
制作微课，微课内容为函数概
念的发展过程
学生观看微课并做导学案
让学生做好课前预习，提前熟悉函数概念发展历程。
【微课】帮助学生提前了解函数概念的发展过程。
创设情境 引入新课
0’00’’ ~ 2’40’’
古希腊哲学家赫拉克利特说：人不能两次踏入同一条河流。大家觉得可不可以？
当时这位哲学家是这样解释的，他说：“因为河水在流动，第二次踏入的已经不是上次的河流了。”
如果按照这样的说法，昨天的黄河和今天的黄河还是同一条河吗？
昨天晚上的你和现在的你到底是同一个人还是两个人？ 当时的人们之所以会这样说，是因为他们不懂得如何看待运动中的事物，不懂得如何控制变量。直到17世纪，数学中出现了变量与函数的概念，人们才懂得精准刻画运动与变化的方法。函数概念发展至今已经有几百年了，在这几百年的时间里，函数是如何一步一步发展到现如今函数定义呢？最初的函数是什么样子的呢？让我们带着这些问题学习今天的内容——函数概念的形成与发展（板书）
齐声：可以！
齐声：不是！
齐声：两个人
本节课开场以讲述的方式带学生感受为什么要引入函数概念，通过古希腊著名的哲学悖论让学生感受静止与运动之间的辩证观点，激发学生学习本节课的欲望。
【PPT】动画展示 角色扮演 历史再现
2’40’’
~
11’00’’
四位学生同学角色扮演表演情景剧，生动形象的讲述函数概
念的发展历程。 学生A负责旁白，介绍函数概
念的大致发展历程。并说明各阶段函数概念的局限性。 四位学生表演情景剧。 其余同学配合。 生动形象的表演可以让学生们对函
数概念的发展历程有更加深刻的了【UMU学习平台——翻转课堂功能】学生课前观看平台上提前上传的微
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学生B扮演笛卡尔，讲述他为函数发展做出的贡献。
学生C扮演欧拉，讲述函数发展的第二个阶段——以解析式为基础的函数。
学生D扮演狄利克雷，讲述函数发展的第三个阶段——对应关系下的函数。 （具体台词见附件）
解。
心形线可以为学生提供一个反例，让学生明白不是所有的图形都能刻画一个函数关系。 课、拓展文章及PPT，提前预习。
PPT中的函数图像是学生自己用【图形计算器Geogebra】画出的。
回顾
历史 形成概念
11’00’’ ~ 18’36’’ 一、伽利略眼中函数 问：谁最先引入函数的？ 问：伽利略用什么刻画函数？ 问：我们是否也曾像伽利略一样用文字的语言刻画两个变量之间的关系？
PPT再举例：正方形面积等于边长的平方，体积等于边长的立方；欧姆定律。
问：文字描述的优点是什么？ 问：文字描述有什么缺点？ 字母符号引入后，这些文字描述可以用简单的式子来表示，
齐声：伽利略 齐声：文字 某同学：总价等于单价乘数量 某同学：表述清晰、容易理解 齐声：繁琐，不够简洁 这一阶段对
应学生小学接触到的函数。书中明确说明函数的表示方法
有四种：列表法、解析法、图像法
和自然语
言。
自然语言描
述函数就是学生在小学阶段接触到
的，因此，带学生回顾函数发展的关键阶段，也让学生了解我们现在
【PPT】动画展示
【PPT】动画展示
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即 、 、 当时的科学家们看到这些简洁的式子一度认为解析式就是函数，函数就是解析式，他们的说法正确吗？
当时，函数概念的发展进入到第二个阶段。
二、以解析式为基础的函数 这一时期的代表人物是伯努利和欧拉，在他们眼中函数是什么？
问：所有的函数都能写出解析式吗？
请某位学生举例
PPT举例：
（1）表格形式展示“里约奥运金牌榜金牌数与排名之间” （2）图像形式展示“流浪地球票房与时间之间”
问：以上两个例子都是函数关系，却没有解析式，他们之间有什么共同特征？
因此，函数不一定要有解析式，只要有某种确定的对应关系就可以了。所以，函数的发展又进入到第三个阶段。
三、对应关系下的函数
在这一阶段代表人物是狄利克雷，当时狄利克雷给出了一个函数定义：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个确定的值，那么y叫做x的函数。”
齐声：不正确
齐声：解析式
齐声：不是
某同学：一天当中温度与时间之间构成函数关系，但没有解析式。
学生思考回答：都有一种确定的对应关系
学习的函数
也是按照历史发生的顺序。
函数第二阶段的观点也一度是学生的误区。 初中学生学习了一次函数、二次函数、反比例函数，这些函数都是有解析式的。因此初中阶段，在学生心中，函数是什么？函数是 。他们说出的一般都是解析式。这一环节学生举例说明并不是所有函数都能写出解析式，消除学生误区。
函数这一阶段对应着学生初中接触到的函数。初中函数定义学生已经掌握，但这并不是最终的函数定
【PPT】动画展示
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问：狄利克雷的函数定义与之前的函数定义相比有何改进？ 狄利克雷的函数定义成为大众认可的经典定义，也被很多初中版本教材引用。
回忆初中函数定义：“在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，我们称y是x的函数。”
问：初中函数定义有何局限？ 解释：该函数定义已经完全揭示了函数概念的本质，但准确性不高，例如：可以用初中函数定义解释 是一个函数吗？为什么？ 到了20世纪，集合理论诞生后，函数我们还可以从另外一个角度来看待它，而且这个角度更有利于日后学习高等数学。 四、集合理论下的函数
高中函数概念：“设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的对应法则f，都有唯一确定的数y与它相对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作 ， 。
其中x叫做自变量，自变量的
取值范围叫做函数的定义域。 与x对应的y叫做函数值，函
学生思考
答：摆脱了解析
式的束缚，两个变量之间能否写出表达式无关紧要，只要他们之间存在一种对应关系即可。
齐声：不能 例如：因为初中函数定义中强调y随x的变化而变化，而 中无论x为何值，y都等于1，体现不出变化，因此初中定义解释它有些牵强。
某学生读函数概念 义，高中又对函数定义进行推广。因此这一环节通过问题设置，教师讲解，让学生清楚初中函数定义的局限性，因此需要推广。
复习高中函数定义。
【PPT】动画展示
【PPT】动画展示
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数值构成的集合叫做函数的值域。”
辨析概念加深理解
18’36’’ ~ 26’30’’
问：高中函数概念中有哪些关键词？
问：如何用高中函数定义来判断一个关系是函数关系？函数定义当中有哪些关键点？
板书：
（1）两个非空数集A、B
（2）确定的对应法则f
（3）唯一确定的y与之相对应 PPT中呈现高中函数定义和初中函数定义，
问：高中函数定义在初中基础上有何改进？ 学生小组讨论，给出回答。 总结：
①高中函数定义中有集合，而且x与y看成了集合中的元素； ②高中函数定义中有了定义域和值域的概念； ③高中函数定义中出现了对应法则。 问：你是如何理解符号 ？而 是什么意思？
某同学： ①任意数x
②确定的对应法则f
③唯一数y
学生思考，共同回答
学生小组讨论。 派代表回答，其
他小组补充。 某同学： 是一种对应法则， 表示一种符号。 辨析高中函数概念，理解函数概念的本质。
掌握函数的三个关键点，并会用这三点判断一个关系是否为函数关系。
辨析初高中函数定义之间的区别与联系。
理解对应法则的含义，符号
以及
的含义。
【PPT】动画展示
【PPT】动画展示
【PPT】动画展示
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总结： 表示一种对应规则， 是一个数学运算的符号，它作用到x就得到一个结果y，例： 作用到1上，得到的结果 。 至于 这个数值是多少，决定于什么？
这个对应法则可以是解析式、可以是图像、也可以是表格。 例如：如果给出图像，
如果给出表格，
x 1 2 3
y 6 7 8
则
如果给出解析式，
则
学生整理，完善学案中“函数
概念的形成与发展线路图”
找一位答案比较标准的同学，
拍照上传至UMU，其它同学查看并参照修改。
齐声：对应法则f
教师提问，学生齐声回答
该生拍照上传
大屏幕实时显示
学生参照并修改 学生填写函数概念发展历程中的关
键阶段的代表人物、主要观点和局限性，帮助学生再次回顾函数的发展过程。
【UMU学习平台——拍照上传功能】上传答案，可节省学生将试卷送到展板的时间，且可避免因展板展示不清晰而看不清的情况。
【UMU学习平台——实时查看功能】图片实时上传，学生可在APP中直接打开。图片会一直保留在UMU软件中，方便学生课后随时查看。 巩固
练习高效展示
26’30’’ ~ 34’45’’
小组讨论学案中训练案2、3、4题。 2、从集合角度说明狄利克雷函
数 （ 为有理数） （ 为无理数）是一个函数.
3、已知集合A= ，B= ，试写出从集合A到
B的两个函数.
小组讨论
接到任务的同学到后黑板分别展示三道题
小组讨论训练案三道题，学生之间互帮互助，培养良好的团队意识。
学生展示、讲解可以为学生提供一
【PPT】展示题目
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4、求函数
的定义域.
高效展示、精彩讲解
三位同学分别为大家讲解三道题目
个在大家面前展示自我的机会，同时提升学生概括能力及语言表达能力。
【PPT】呈现展示人及展示题目 当堂检测 及时巩固
34’45’’ ~ 38’52’’ 学生用手机扫描屏幕上方二维码并开始答题
完成检测题目后提交。 题目： 1题：初中函数定义借鉴了下
列哪位科学家所提出的函数定义？ A.柯西 B.伯努利 C.狄利克雷 D.欧拉 2题：下列说法正确的是（ ） A 是函数 不是函数 C. 与
是同一个函数
D. 与. 是同一个函数
3.设函数
，
求函数
的定义域. A.
学生扫描二维码 学生答题 屏幕实时显示提交人数 学生答题后查看结果
屏幕展示答题排行榜
屏幕展示每题正确率
课堂检测，
检测学生本节课的掌握情况。检测题目涉及三
个知识点。 1题考查函
数概念的发展史。 2题考查学
生对函数概念的掌握情况。 3题为求解定义域问
题。
这三类问题
都是本节课
教学目标中需要学生掌
握的。 【UMU学习平台——课堂检测功能】 课堂检测，限时回答，分数立刻展示。同时，大屏幕还可以展示排行榜及每题结果。每题都有详细解答，学生答题后可以对照参考答案，查找错误原因，还可以针对考试情况自动生成微课进行讲解。
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B.
C.
D.
总结反思知识升华
38’52’’
~ 39’23’’
总结本节课学习的内容： （1）了解函数概念的发展历程 （2）辨析高中函数概念，掌握函数概念三要素
（3）理解对应法则f的含义
（4）会求解简单函数的定义域
师生共同回忆 让学生归纳总结本节课的主要内容，老师适当点拨引导，培养学生的概括能力，表达能力和自我获取知识的能力。
【PPT】动画展示
课外拓展数学文化
39’23’’ ~ 40’51’’ 每个数学概念和公式的背后都有它的故事，或许源于一个灵感；或许是几代人甚至是几个世纪人们共同努力使之完善的过程；或许是中外数学家的一些共同思考。
函数概念的定义经过多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式，但这并不意味着函数概念发展的历史终结.。因
此，随着以数学为基础的其他学科的发展，函数的概念还会继续扩展。
结合本节课的内容，撰写一篇小论文，论述函数发展的过程、重要结果、主要任务及其对人类文明的贡献。要求以小组为单位Word文档形式上传至下方二维码。
学生查阅资料，独立完成一篇小论文，论述函数概念的发展历程，并按时上传至UMU平台上。
撰写小论文，感悟函数概念形成过程中蕴含的人文精神和科学精神
【UMU学习平台——上交作业功能】学生通过扫描二维码，或在UMU APP上提交作业，作业的评价标准不仅仅是教师打分，还有学生互评，最终形成6个维度的AI评价，为学生实时提供个性化作业反馈。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
