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视频标签：对一类定值,问题的探究
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视频课题：人教B版高中数学选修2-1第二章《对一类定值问题的探究》山东省 - 济南
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《对一类定值问题的探究》教学设计
学习目标：
（1）熟练掌握直线与圆锥曲线中的求弦长问题；
（2）通过对动点在圆、椭圆和双曲线不同曲线的讨论，掌握椭圆和双曲线上任意一点和关于原点对称两点的斜率之积为定值；
（3）引导学生分析掌握此类定值问题和弦长问题的联系。
（4）用几何画板演示动点，展示变中的不变，引导学生思考总结解决定值问题的思路。 （4）提升应用数形结合的意识。
重点：弦长问题的不同求法，掌握解决此类定值问题的思路。 难点：代数式的化简变形，动态图形的切入点。
设置前置作业，使学生复习重点知识，为课堂讲解做准备 前置作业
1，已知圆C的方程为：222
xyr ，12AA为其直径，点M 是圆上异于12,AA的任意一点，设直线1MA和直线2MA的斜率分别是1MAk和2MAk则有1
2MAMAkk= A1A2
O
M
从学熟悉的圆入手
2：已知椭圆C的方程为:22
2210xyabab
（），其长轴的端点分别是12,AA，点
M是椭圆上异于12,AA的任意一点，设直线1MA和直线2MA的斜率分别是1MAk和2MAk则有
12MAMAkk=
拓展到椭圆，由特殊到一般的引导
3：已知椭圆C的方程为: 22
2210xyabab
（），其短轴的端点分别是12,AA，点
M是椭圆上异于12,AA的任意一点，设直线1MA和直线2MA的斜率分别是1MAk和2MAk则有
12MAMAkk=
长轴顶点变为短轴顶点，继续变形
4：已知椭圆C的方程为:22
2210xyabab
（），12,AA是椭圆上关于原点对称的两个点，
点M是椭圆上异于12,AA的任意一点，设直线1MA和直线2MA的斜率分别是1MAk和2MAk则有12MAMAkk=
更具一般性，变为关于原点对称的两点。并由椭圆再拓展到双曲线。
类比椭圆可得：已知双曲线C的方程为:22
22-1xyab
，其左右顶点分别是12,AA，点
M是双曲线上异于12,AA的任意一点，设直线1MA和直线2MA的斜率分别是1MAk和2MAk则有
12MAMAkk=
以上由此可得
曲线方程（12,AA是其左右顶点）
12MAMAKK的值
22
13616
xy
22
184
xy
224xy
利用上面的解决解决常见的函数定值，并为后面例题做铺垫。
例题讲解
例1.如图，已知椭圆22
221(0)xyabab的离心率为22
，以该椭圆上的点和椭圆的左、
右焦点12,FF为顶点的三角形的周长为4(21).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设
P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF和2PF与椭圆的交点分别为A、B和C、D .
（1）求椭圆和双曲线的标准方程； （2）设直线1PF、2PF的斜率分别为1
k，
2k ，证明12kk为定值；
（3）是否存在常数，使得ABCDABCD恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
学生到黑板展示第（1）（2）两问的过程，老师讲解点评，第（3）问共同讨论，并展示学生们的解题过程，就其中出现的各种常见问题进行分析，找出其原因，给学生指出解决问题的方法。从解决此类问题的心理压力疏导和解题的步骤过程中都给出一些的建设性指导建议。
几何画板展示问题的发生过程，强调在变中寻找不变的数学思想和数学结合的思路。
当12kk发生变化时如何证明，引出例2，重点解决第（3）问。引导学生思考例1各种解法的优劣，在该题目中应如何选择，让学生展示其解题过程，就其中的问题进行点评。
例2．已知椭圆22
122:1(0)xyCabab的离心率为22
，以该椭圆上的点和椭圆的左、
右
焦
点
12,0,,0FcFc为顶点的三角形的周长为
4(21).222
122222:xycPFFCaba
、、在上，
直线1PF和2PF与椭圆1C 的交点分别为A、B和C、D.
（1）求椭圆1C和2C的标准方程；（2）设直线1PF、2PF的斜率分别为1k，
2k，证明12kk为
定值；
（3）求证：||||ABCD定值 (4)求ABCD的最大值．
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