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视频标签：立体几何中的,平行问题
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视频课题：人教B版高中数学必修二第一章专题立体几何中的平行问题-内蒙古省级优课
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专题 立体几何中的平行问题
（普通高中课程标准实验教科书人教B版--必修2）
Ⅰ、三维目标
1.知识与技能：
（1）掌握线线，线面，面面平行的证明方法。
（2）综合运用直线与平面，平面与平面平行的判定定理和性质定理解决空间中的平行问题。
（3）会根据题意构造辅助线将问题进行转化。 2．过程与方法：
采用启发式，引导式，参与式以及讲练结合的教学方法。通过层层递进的教学活动，引导学生独立思考和探究。加强学生空间观念的培养。在学生遇到问题时，适时指导，讲解，让学生体验问题解决的思维过程，归纳总结常用方法。 3.情感、态度与价值观：
培养学生的识图能力和空间想象能力，以及培养学生严谨的表达能力和“言之有理”的逻辑思维习惯。 Ⅱ、教学重点及难点：
重点：直线与平面，平面与平面平行的判定定理，性质定理的综合应用。
难点：构造辅助线将问题进行转化。 Ⅲ、课前预习内容：
线面平行的判定定理和性质定理 ，面面平行的判定定理和性
定理。 Ⅳ、教学过程：
一．点击高考（近三年全国二卷（文数)高考真题）
1.（2019年17题）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
2
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（垂直问题）
（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥11EBBCC的体积．（体积问题） 2.(2018年19题）如图，在三棱锥
中，
，
， 为
的中点． （1）证明：平面；（垂直问题）
（2）若点在棱上，且
，求点到平面
的距离．（距
离问题）
3.（2017年18题）如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,1
,2
ABBCADBAD
90.ABC
（1）证明：直线BC∥平面PAD;（平行问题）
（2）若△PCD的面积为27，求四棱锥PABCD的体积.（体积问题）
3
图(1)
图(2)
通过近三年的高考题，我们看到高考中出现的频率高的考点有平行问题，垂直问题，体积问题，距离问题。 今天我们来看平行问题： 二．例题讲解
例1: 如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//DC,AB=6,DC=3,M是PA的中点.求证:DM∥平面PBC.
解：(法一)证明：(图1）取PB中点N,连接MN,CN.
在△PAB中,∵M是PA的中点,∴MN∥AB,且MN=3.又AB∥DC,且DC=3,∴MN//DC且MN=DC,∴四边形MNCD为平行四边形,∴DM//CN.又DM⊄平面PBC,CN⊂平面PBC,∴DM∥平面PBC.
提问：上面我们应用的是直线与平面平行的判定定理进行的证明，还有没有其它的方法？
(法二)证明:（图2）取AB的中点E,连接ME,DE.
在梯形ABCD中,BE//CD且BE=CD，∴四边形BCDE为平行四边形, ∴DE∥BC.又DE ⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,∴DE∥平面PBC.又在 △PAB中,ME∥PB,ME⊄平面PBC,PB⊂平面PBC,∴ME∥平面PBC, 又DE∩ME=E,∴平面DME∥平面PBC.又DM⊂平面DME, ∴DM∥平面PBC.
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提问：我们现在来回顾一下证明线面平行的方法，有哪些方法呢？ 1. 线面平行的判定定理:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
2.利用面面平行的性质定理证明线面平行。如果两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行。
下面我们来看一下线线平行，线面平行，面面平行的关系：
提问:通过上图我们看到：证明线面平行有两个方向。一个是线面平行的判定定理，一个是面面平行的性质定理。线面平行是把立体几何中的平行问题转化为平面几何中的平行问题的中转站。两种方法的实质是证明线与线平行，那么证明线线平行有哪些方法？ 1.转化为平面几何中的平行问题。常用的方法有利用平行四边形的性质，利用三角形中位线定理,平行线的传递性，还可以用同位角或同旁内角进行证明。
2.从上图中我们看到，证明线线平行还可以用线面平行的性质定理，面面平行的性质定理。
（1）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两个平面的交线平行。
（2）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
3.还可以转化为垂直于同一平面的两条直线平行，两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例（课本46页例5）。 下面我们来看这道例题; 例2.如图（1），在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是CC1,B1C1,C1D1的中点.求证:平面PMN∥平面A1BD.
线线平行
线面平行
面面平行
判定定理
性质定理
判定定理
性质定理
性质定理
判定定理
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证明：（图2）连接B1D1,B1C.
∵N,P分别是B1C1,C1D1的中点,∴PN∥B1D1.∵B1D1∥BD,∴PN∥BD. 又PN ⊄平面A1BD,BD⊂平面A1BD,∴PN∥平面A1BD.同理,MN∥平面A1BD.又PN∩MN=N,PN⊂平面PMN,MN⊂平面PMN,∴平面PMN∥平面A1BD.
提问：我们这道题是用面面平行的判定定理证明面面平行。在用面面平行的判定定理证明时，关键我们要注意哪点？
面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
两直线相交，必须是两相交直线同时与已知平面平行。它的实质也是证明线线平行。 感悟再提升：
我们归纳为：一个中心，就是以线线平行为中心，解决两个问题，即证明线面平行，面面平行。一个主要方法。
三．当堂练习：1.如图（1）,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,M是PC的中点,在DM上取一点G,过点G和直线AP作平面
GAP,平面GAP交直线BD于点H.求证:AP∥GH.
一个中心
以线线平行为中心
解决两个问题
线面平行问题 面面平行问题
主要方法 转化为平面几何问题
图（1） 图（2）
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证明：（图2）连接AC,交BD于点O,连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴O是AC的中点,∵M是PC的中点, ∴MO∥PA.又∵MO⊂平面BDM,PA ⊄平面BDM,∴PA∥平面BDM. ∵平面GAP∩平面BDM=GH,PA⊂平面GAP,∴AP∥GH. 以上这道题是我们应用线面平行的性质定理证明线面平行。
V.板书设计：
专题 立体几何中的平行问题 一.线线平行，线面平行，面面平行之间的关系
二．常用方法
三．例题板书（板书例1的证明过程) VI.课堂小结：
这节课我们主要讲了立体几何中的平行问题，以线线平行为中心解决两个问题，有几个方法，一个注意点。即证明线面平行问题时，相交是关键。
Ⅶ、作业布置： 1.如图（1）所示的是一个直三棱柱(以A1B1C1为底面)被一平面所截得到的几何体,截面为平面ABC.已知AA1=4,BB1=2,CC1=3,点O是AB的中点,求证:OC∥平面A1B1C1.
线线平行
线面平行 面面平行
判定定理 性质定理 判定定理 性质定理
性质定理
判定定理 图（1） 图（2）
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图（1）
图（2）
图（2）
证明：如图（2）,作OD∥AA1交A1B1于点D,连接C1D,则OD∥BB1∥CC1.因为O是AB的中点,所以OD=1/2(AA1+BB1)=3=CC1,则四边形ODC1C是平行四边形,因此有OC∥C1D,又C1D⊂平面C1B1A1且OC ⊄平面C1B1A1,所以 OC∥平面A1B1C1.
2.如图(1),在四面体A-BCD中,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.证明:PQ∥平面BDC。
证明：如图(2),取MD的中点F,连接QF,PF.因为M是AD中点,所以AF=3FD.因为P是BM中点,所以PF∥BD.又AQ=3QC且AF=3FD, 所以
QF∥CD,因为PF∩QF=F,BD∩CD=D,所以平面PFQ∥平面BDC, 且PQ⊂ 平面PQF,所以PQ∥平面BDC。 3.作课本46页例5. VⅢ.课后思考：
下一节课我们将讲授空间几何中的垂直问题，大家可以类比这节课的内容作一下复习整理。
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