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视频标签：频率分布,直方图
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视频课题：人教B版高中数学必修三第三章基于数学核心素养下的频率分布直方图的教学-清华附中
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基于数学核心素养下的频率分布直方图的教学设计
清华大学附属中学
摘要：频率分布直方图是统计学中的难点和重点，通过学生以往掌握情况来看，学生对频率分布直方图的意义理解有困难。这与教师的教学方式有关，如果教师将这节课内容定义为直接给出画图步骤，然后通过大量的练习去训练，这样导致学生对频率分布直方图理解不到位。本节课本着理解学生、理解数学的观点，对频率分布直方图的得来进行分析，画图的过程中培养学生的数学素养。 [关键词]频数、频率、频率分布表、频率分布直方图
[教材版本]人教B版
一、 教学目标及重点、难点
（一）教学目标
1. 列频率分布表，画频率分布直方图，学会读频率分布直方图 ；
2. 利用频数分布表类比得出频率直方表，通过柱状图和饼状图的特点能类比归纳出频率分布直方图的特点；
3. 培养学生分析探索能力，渗透统计思想、算法思想。 （二）教学重点和难点.
1.重点：一表一图，频率分布表和频率分布直方图。 2.难点：频率分布直方图。
二、教法学法分析
1. 学情
学生在初中已经学过频数分布直方图，对样本估计总体有一定的认识。对本节课提供的例子容易接受，但大多数同学会对已有的频数分布直方图还要学频率分布直方图会有疑惑，其次学生对由表到图的画图能力也存在问题。 2. 教法
启发式、讨论法。
三、教学过程 1.引入课题
例1. 给出一个班的数学成绩，根据你所学的知识如何将这组数据处理成图
或表形式？
96 89 68 79 56 86 78 96 50 66 87 75 62 94 88 74 73 84 71 70 72 83 76 91 84
分析数据的两种基本方法，一种是用图将它们画出来，作图是从数据中提取信息，并用图形来传递信息，一种是利用表格改变数据的排列方式，为我们提供解释数据的新方式。根据统计知识做出表格1的形式，根据表1可以画出频数分布直方图1。
表1 图2
问题1.分析频数分布直方图的特点。
【设计意图】频数分布直方图的优点，明确图中每个矩形的高和宽的含义，以及所有矩形的高的特点。每个矩形的宽是组距，高是样本落在这个区间的频数，所有矩形的高是样本容量。
问题2.我们在生活中，除了用个数（频数）来比较多少，在样本个数不统一时如何比较多少呢？
【设计意图】数学的发展来自两方面，一方面来自解决实际问题的需要，另一方面是数学本身发展的需要，本节课用数学问题在实际生活中需要，自然的引入频率的概念。
引入频率后，我们可以做出表2和图2。
表2 图2
问题3.分析柱状图2的特点。
【设计意图】体会柱状图的特点，理解图2中的每个矩形的高和宽的含义，以及所有矩形的高的特点。每个矩形的高是样本落在该区间的频率，矩形的宽是组距，所有矩形高的和为1。 生活中经常遇到饼图，如图3。
图3
问题4.分析饼图的特点。
【设计意图】 体会饼图中扇形面积的含义，以及所有扇形面积有何规律。每个扇形的面积代表区间内样本个数占样本的频率，所有的扇形面积之和为1。 问题5.柱状图和饼图各有什么优势？
【设计意图】柱状图用矩形的高来表示频率更直观，而饼图最大的优点是用扇形面积来表示频率并且所有的面积之和为1，我们学过微积分基本定理，对于面积我们有更多方法来处理，为后续的密度函数做好铺垫。通过图4与图5的对比，让学生体会到在频率差别不大时，柱状图优势更突出，因此会考虑将饼图摊开在坐标系中，得出频率分布直方图。
图4 图5
问题6.能否设计一个图，结合柱状图和饼图的优点，即在柱状图里用矩形的面积来表示频率。
【设计意图】引发学生思考，如何在柱状图里用矩形面积去表达频率，得出
矩形面积 组距
频率组距
频率
2.例题讲解
为了解中学生的身高发育情况，对某中学同年龄的60名女生的身高进行测量，结果如下（单位：厘米）
149 154 162 153 152 158 157 158 146 160 152 158 158 161 159 160 148 161 160 153 165 159 163 160 162 157 158 156 155 158 153 166 156 164 158 155 165 158 160 161 167 165 159 158 163 164 162 161 150 165 169 162 168 157 161 160 164 155 165 166
问题7.如何画出这组数据的频率分布直方图？
【设计意图】引发学生思考画频率分布直方图的步骤，首先要分组。 问题8.如何合理的分组？分成3组合理吗？
在数据小于100时，分成5~16组是合理的。在本题中不妨定为8组。 问题9.分组后，如何算组距？
找最大、最小值，求极差，169-143=23(cm)，
(cm)。 问题10.极差除以组数如果不是整数，能否四舍五入？ 只能入不能舍，在该题中组距取为3cm。
问题11.根据分组后，我们可否将具体的分组定为：
146~149 149~152 152~155 155~158 158~161 161~164 164~167 167~170
【设计意图】让学生观察169到170之间没有数据，会有一段空白，将这段空白均摊到两个组，让第一组和最后一组来分担这个空白，所以将第一组往左移0.5cm。 于是得到分组
145.5~148.5 148.5~151.5 151.5~154.5
154.5~157.5 157.5~160.5 160.5~163.5 163.5~166.5 166.5~169.5 定好分组后，可以列表，得出
表3
问题12.画频率分布表时，频率如果是无限循环小数，如果按四舍五入去写有何要求？
【设计意图】引导学生考虑所有的频率之和的特点，即所有的频率之和必须
为1。因此在列表时，每一个频率可能会有四舍五入，最后要合理的取值，满足频率之和为1。
问题13.画频率分布直方图，纵坐标如何去画？
【设计意图】具体的数学问题的数学并都是整数，在不是整数时如何去处理？
在该题中，由于频率/组距是从频数的出来的，而频数是整数，观察频数的规律从而得出频率/组距之间的关系。即在纵坐标可以取1/60=0.006为一个单位，然后其他的频率/组距都是它的整数倍。体会横坐标和纵坐标的单位长度未必一致。得出频率分布直方图如图
定组数
求极差算组距定分组
列表（频数、频率、频率/组距）
画图
图6 图7
问题14.总结归纳做频率分布直方图的步骤。
【设计意图】让学生用算法框图把频率分布直方图的步骤画出来，梳理思路，如图7。
问题15.分析频率分布直方图的特点，能从看出最高169cm吗？ 三个特点：直观， 矩形面积 ，缺失原始数据。 问题16.生活见过频率分布直方图吗？
【设计意图】让同学感受数学美，罗素曾说：对于我们的生活不是缺少美，而是缺少发现美的眼睛[1]，数学的美需要我们努力学习才能感受到。为下一节，由频率分布直方图找平均数等做好铺垫。
四、课后反思：
《普通高中数学课程标准》 中提出中学生在数学数学学习中应培养好数
学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六大核心素养。[2]本节课从数据分析的数学素养为依据，以实际问题出发，结合学生已有的认知，提出的问题也注意“自然性”，深入浅出的将学生的思维逐步引入深入，让学生真正成为学习的主人。教学内容的问题化，通过适当的问题将学生的注意力由具体知识引向隐藏于其背后的数学思想和方法，并能逐步地学会更清晰、更全面的进行思考。此外，处理数学问题的基本思想由局部到整理的思路，如观察频数分布直方图中，先观察一个矩形，由此再联想所有的矩形的特征，引导学生处理数学问题的方法。对于频率分布直方图的步骤用学生学过的算法程序框图来呈现，让学生进一步学以致用，温故知新。
参考文献：
[1]数学原理[M].罗素，怀特海著.剑桥大学出版社.1925. [2]普通高中课程标准[M].教育部.北京：人民教育出版社.2014.
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