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视频标签：直角三角形的,射影定理
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视频课题：人教A版高中数学选修4-1《直角三角形的射影定理》湖北省 - 宜昌
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《直角三角形的射影定理》教学设计
一、整体设计思路（教学设计的思路与学习价值分析）
本节课是基于学生已有的初中平面几何知识进一步学习设计的一节课，针对学生的认知特点，将本节课分为四个环节。
第一环节：直观感知，发现概念。通过视频皮影戏风格的舞蹈引入让学生能直观感知，发现射影的概念。
第二环节：初探定理，品味内涵。引导学生观察图形找出直角三角形中线段的射影，并通过三角形相似初探定理，品味内涵，培养学生数学逻辑推理。
第三环节：再探定理，深化理解。通过用勾股定理证明射影定理，以及以射影定理逆定
理角度的探点探究，进一步加深对射影定理的理解，培养学生会辩，会用的能力。
第四环节：拓展探究，内化素养。拓展学生思维，培养学生数学学科核心素养，让学生学会知识迁移，通过类比推理，发现问题并解决问题。 第五环节：自我小结，整理回顾，做到心中有数。
二、目标设计（指向学生素养发展的目标设计）
本节课引导学生在学习和运用数学知识解决问题中，提高学生发现提出问题，分析解决问题的能力，不断地经历直观感知、直观想象、观察发现、逻辑推理、数学运算等思维过程，培养学生的数学学科核心素养。
三、学习内容分析（教材地位与作用，教学目标以及重点难点）
（一）教材地位与作用
“直角三角形的射影定理”是普通高中新课程标准实验教科书高中数学人教
A版选修4-1第一章中第四节的内容，它是在学生学习完相似三角形的判定及性质后对直角三角形中的相似进一步研究。在探究论证的过程中，能够培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识，提高学生的数学思维能力。 （二）教学目标
1.引导学生利用上节课学到的知识“三角形相似的判定和性质”推导射影定理，并尝试用勾股定理推导证明，让学生学会知识迁移和灵活应用，培养学生逻辑推理能力。
2.通过对射影定理逆定理角度的探究，加深对射影定理的理解。
3.通过拓展探索，渗透对数学核心素养的培养，让学生学会知识迁移，培养学生类比推理，观察发现问题解决问题的能力。 （三）重点和难点
重点：理解直角三角形的射影定理及其证明。
难点：用勾股定理证明射影定理、拓展解决相关的几何问题。 （四）学情分析
学生初中已经学习了平面几何知识，所以学生本节知识是容易的。学生已经具备了一定的逻辑推理和数学计算能力，但在数学的应用意识、应用能力及发散思维方面尚需进一步培养。
四、教学过程设计（课堂教学情景任务及其设计意图）
（一）、直观感知，发现概念
1、视频引入新知概念
设计意图：让学生了解数学来源于生活，高于生活，又应用于生活，让学生在艺术的熏陶下抽象出具体的数学新知概念。
2、动画展示：已知一条直线，当一组垂直于该直线的光线照射下来，问：如何找到点和线段在该直线上的射影？
设计意图：让学生直观感知作图过程，顺利导出射影的概念。 射影的概念：
（1）点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的 ，叫这个点在这条直线上的正射影. （2）线段在直线上的正射影：线段的 在这条直线上的 间的线段. （3）射影：点和线段的 简称为射影.
3、问：如图，在直角三角形中如何作出两直角边在斜边的射影？两直角边是射
影吗？还有其他射影吗？
设计意图：应用定义作出射影，为射影定理的出场做准备
（二）、初探定理，品味内涵
探点1：如图，在直角三角形中，有几对相似三角形？相应的边长关系如何表示？
探点2：你能否从射影的角度，描述等式AC2＝AD·AB？BC2
＝BD·AB？
射影定理
（1）文字语言：直角三角形斜边上的高是 在斜边上射影的比例中项，两直角边分别是它们在 上射影与 的比例中项.
（2）图形语言：如图，在ABCRt中，CD为斜边上的高，
则有2CD ；2AC ；2
BC .
设计意图：“小步走”设计两个探点，给学生提供一个思维缓冲区，力求自然呈现本课探究的脉络，由表及里，逐步揭开射影定理的面纱，品味数学内涵。
（三）、再探定理，深化理解
┐ A B
C
D
A B
C ┐ A
B C
D
探点3：如上图，在直角三角形中，能用勾股定理证明射影定理吗？
设计意图：以直角为出发点，达成边长关系目标，既揭示直角三角形边长的内在联系，又培养了学生观察、发现、思考、求证的科学态度与品质；合作、交流展示自己的意识和能力；提高学生多角度分析解决问题的综合力，提升了学生平面几何方法推理论证能力。
小练习：如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D.2AD，8DB，求CD、
AC和BC的长。（抢答）
探点4：如图，在ABC中，顶点C在AB边上的射影为D，若有2
CDADDB，那么ABC是直角三角形吗？
探点5：在ABC中，顶点C在AB边上的射影为D，且
2
CDADDB。ABC一定是直角三角形吗？
设计意图：从逆定理的角度设计的两个探点，加强对定理的认识，引导学生举出反例，引起学生对定理条件细节的重视，真正从本质上吃透定理。
（四）、拓展探究，内化素养
探点6：如图1，在三棱锥A-BCD中，当一组垂直于平面BCD的光线照射下来，AO平面BCD，增加一定的条件后，你能发现哪些数量关系？
设计意图：通过拓展探究活动的开展，从平面图形扩展到空间几何体，通过类比推理，拓展课堂教学，有利于加强学生对射影定理的认识，把平面几何和空间几何联系起来，对整个几何证明体系进行完善。引导学生观察、思考、发现、求证的科学态度与品质，使学生敢于面对数学活动中的困难，并有独立面对困难和运用知识解决问题的成功体验，增强学生自主开展学习探究的信心；促使学生成为知识的发生、发展者，完善学生的知识构建与发展能力。既培养了学生逻辑思维，又抓住了学生的兴奋点，激发了学习兴趣，将课堂教学推向高潮。
A B
D C
O
C B
A
D
（五）、自我小结，心中有数
你能从数学知识、数学思想方法几个方面谈谈本节课的收获吗？
设计意图：回顾所学，完善知识结构，体会研究数学问题的一般思路，培养学生的概括能力和语言表达能力。
（六）、板书设计 课题：射影定理
一、概念
线段的正射影点的正射影射影
关键词：找垂足 证明过程展示 1、三角形相似
二、定理
ABBD＝BCABAD ＝ACBDAD ＝CD222 条件：直角三角形、斜边的高 应用：（形）垂直关系
（数）长度关系
2、勾股定理
五、教学反思
（一）教学亮点
1、皮影戏风格的舞蹈视频引入，提高学生学习数学的兴趣，促使学生认识数学的科学价值、应用价值、文化价值。
2、在课堂活动中学生展示环节，借助希沃授课助手实时将学生的做法投影展示提高了展示的效果，锻炼了学生会说、会用的能力。
3、本节课设置的课堂活动1从用勾股定理证明射影定理。该活动的设置注重证明，突出思想。目的是发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养，培养学生会说、会辩、会用的“三会”能力。
4、本节课安排了课堂活动2，空间几何体中类比射影定理。拓展发散学生思维，引导学生加强探究，并在探究过程中发展数学学科的核心素养。 （二）教学不足
今后教学中在课堂语言方面还要更加精炼、专业，在教学设计方面还需更深入的探寻合理的学习方式和教学模式，在教学实践中把课程标准上的素养变成学生的学习行动。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
