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视频标签：无穷集合论
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视频课题：人教A版高中数学选修3-1《无穷集合论的创立》云南省 - 昆明
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《无穷集合论的创立》教案
一、教学分析
集合论的诞生来自于现今数学分析这门课程，微积分的创立成为了解决无穷问题的催化剂，因为微积分本身是不严密的，人们在为微积分寻找严密基础时发现，数学本身的严密化也是个问题，正是这样的情况下，关于无穷集合的许多问题无法回避。19世纪末，一位年轻的德国数学家用无与伦比的超人智慧拨去笼罩在无穷几何上的重重迷雾，终于使人们看清了“无穷”的真面目，他就是“无穷集合论”的创始人康托尔（G.cantor）。
课程对康托尔思想和生平的介绍，不仅可以为学生展示数学家为研究无穷问题的艰难跋涉，同时让学生对高中阶段为什么一开始就学习集合进而学习函数，以及将来大学阶段学习的实变函数论，都有了一定的了解和理解。
康托尔的思想富有想象力和创造性，但同时他的理论仍有着至今悬而未解的谜题，这些会给充满求知欲和好奇心的高中学生带来广阔的想象空间，激发他们的求知欲和探索心。我希望通过这堂课，让学生认识到，数学之美不仅在于高考，不仅是一个个死记硬背的技巧，而是它严密的逻辑推理，无限的想象和思考，以及为探索真理百折不挠的执着。 二、教学目标
1、了解无穷集合论的创立过程和康托尔的生平 2、理解集合论的内涵
3、激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度。 三、教学重点：1.无穷集合论的创立过程2.康托尔的生平
教学难点：对无穷集合论的内涵的理解 四、教学过程
（一）思考引入：对无穷（infinite)的困惑
师：无穷是一个很容易想象却很难具体描述的概念，即使是小孩子也能很快地理解无穷这个概念，但数学家们却花了几千年的时间去研究如何遵循严格的逻辑论证去理解无穷。下面让我们一起来看一看，那些曾经让数学家门困惑很久的谜题。 问题1.无穷的运算法则和自然数一样吗
（1）？1 （2）？ （3）？
师： 如果1，那么等式两边同时减去无穷，是不是得到0， 如果，那么等式两边同时减去无穷，是不是得到，
我们知道自然数加减一定能得出一个确定的答案，如果无穷减无穷的结果是不确定，那么是不是说明
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无穷不是自然数。那么无穷是什么呢？如果无穷就是一个想有多大就有多大的数，从（1）中我们看出等式的左边显然比等式的右边大1，那么是不是说明等式左边的无穷和右边的无穷不是同一个无穷？难道有很多个不同的无穷吗？无穷不是应该都是一样大吗？难道还有不同大小的无穷，我们需要思考无穷的大小吗？
问题2.波尔查诺级数
（1）？111111 （2）？111111 学生讨论（2）
答案一
答案二
答案三
00001111111111111）（）（）（ 1
001111111111111
）（）（
2
1
11111(1111111
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师:可见如果不清楚无穷的大小，我们就无法进行（2）的计算，那么我们能不能不要进行无穷多个数的计算呢？或者说至少我们可以肯定（1）是正确的？无穷多个数相加结果一定是无穷？ 问题3.圆面积公式的推导
2321)2(2
1
rrrSSSS
师：我们不得不面对无穷多个量求和的问题，如果按照无穷多个数相加结果一定是无穷的直觉，那么这个圆的面积是不是也一个是无穷？
引入小视频《伽利略的困惑》
小结：要了解无穷，我们需要理解（1）什么是无穷？（2）无穷有大小吗？
教学设计说明：对无穷的思考，本就是一个曲折的过程，在数学史上很长一段时间，人们都回避这个问题，
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因为用有限的头脑是无法理解无限的。但是微积分的出现让人们不得不面对这个问题，教师希望通过数学史上一些著名问题的讨论，让学生参与其中，使学生感受到对无穷大的思考，以及思考的入手方向是自然而必须的。
（二）历史知识介绍：对无穷（infinite）的思考 1. 无穷究竟是什么？
潜无穷：把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着被不断产生出来的东西来解释。 实无穷：把无限的整体本身作为一个现成的单位，是已经构造完成了的东西。
师：康托尔给出了集合的概念，还指出，那些认为只有潜无穷集合的人是错误的，如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应，它就是无穷的。 2. 无穷究竟有多大？ （1）波尔查诺《无穷悖论》
师：波尔查诺支持实无穷集合的存在，强调两个集合等价的概念，也就是“一一对应”，这个等价概念适用于有限集合，也适用于无穷集合。例如：5
12120,50x
yyx （2）康托的集合论
师：两个元素能够一一对应的集合，称为具有相同的“势”，或者相同的基数。康托尔引入了“可数”这个词，对凡是能和自然数集构成一一对应的任何一个集合都称为可数或可列集。 康托尔集合论思想整理 ①可数集
自然数与其平方数，偶数与自然数，有理数和自然数，负整数与整数，整数和自然数一样多。 ②不可数集
实数比自然数多，有限线段上的点和实数一样多，无理数比有理数多 ③连续统假设
不存在基数介于两者之间的无穷数集 小结：康托尔的集合论思想 1.给出集合概念，承认实无穷的存在 2.自然数集是最小的无穷集合 3.全体有理数集合是可数的 4.无穷的大小是可以比较的
教学设计说明：这一部分是教学的难点，康托尔的理论体系感不强，多属于一些碎片化的结论，虽然对数学研究价值很大，但作为知识介绍给高中生会显得枯燥难懂。因此教师只选择其中一部分重要的内容进行
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介绍，并多以结论的形式给出，主要让学生了解康托尔的思想为我们解决了哪些数学困惑，强调康托尔发现的重要意义，而不对知识本身的证明做过多解释。因此主要通过视频来介绍，以增加学生的对知识的趣味感。
（三）康托尔的生平介绍：不朽的康托尔
师：康托的理论不仅是我们看了难以接受，在当时即使是数学家们也觉得难以置信，最后康托为他的理论提出了一个猜想“连续统假设”，即不存在基数介于自然数集和实数集之间的无穷数集，但是很遗憾这个猜想并没有得到证明，当时究竟发生了什么，为什么未能完成证明，我们来看看下面的视频：
播放视频：康托的连续统假设 观看视频后，
师：同学们，康托17岁进入大学，20岁就获得了博士学位。他的一生都执着于数学的研究。从视频中，我们可以看到康托为追寻真理的过程中所承受的痛苦。他抛弃了传统的经验和直观，用彻底的理论给我们带来了一个全新的视野。他给出的结论令人吃惊，难以置信，却又确确实实，毋庸置疑。在数学史上，没有比康托更大胆的假设，并且采取了步骤。
人类总是习惯排斥那些与自己想法不一致的人和事，康托一边艰难地进行着他没有帮助和支持的数学研究，一边忍受着各种攻击和质疑。在这样的巨大压力下，康托最终走向了奔溃。他的连续统假设猜想至今未被证明，这的确是一个遗憾。
但是，康托的坚持，为我们拨开了无穷的重重迷雾，为人类数学的发展写下了至关重要的一笔。康托的集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造，它不仅影响了现代数学，也深深影响了现代哲学和逻辑学。
今天，我们应该学习康托这种义无反顾的执着精神，不畏俱任何困难去探寻真理，同时我们也应当学会用尊重和包容的态度去对待那些与自己想法不一致的观点和做法。
最后，我想用康托的一句话来结束这堂课，数学的本质在于它的自由！
教学设计说明：课堂中所选视频来自外国纪录片《危险的知识》，教师利用视频软件对纪录片进行了重新的剪辑，删除了与课堂无关的内容，调整了视频叙事的顺序，并配上了新的文字说明，使视频和课堂过渡自然，与课堂教学相辅相成，为学生清晰地呈现了康托的生平。虽然课堂上看不出视频的处理过程，但利用电脑技术和多媒体手段进行教学，是这堂课的一个亮点，也是教师备课的主要心血。 板书设计
无穷集合论的创立
1
？111111
三种答案的计算过程
无穷集
比较两个无穷集合的大小
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
