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视频标签：平面与空间,余弦定理
所属栏目：高中数学优质课视频
视频课题：人教A版高中数学选修2-2《阅读与思考—平面与空间中的余弦定理》贵州省优课
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选修2-2《阅读与思考——平面与空间中的余弦定理》
教学设计 教学内容分析
平面与空间中的余弦定理，提示承接高中数学人教A版选修2-2第二章2.1节“合情推理和演绎推理”后阅读与思考的内容，它主要将三角形与四面体类比，由三角形余弦定理类比得出四面体的余弦定理，同时由证明三角形余弦定理的方法类比四面体余弦定理的方法。推理与证明贯穿于整个数学课程，推理与证明是数学的基本思维过程，是做数学的基本功，也是人们在一般的学习和生活中常用的思维方式。两者紧密联系、相辅相成。因此，无论是学习数学、做数学，还是对于学生理性思维的培养，都需要在基础教育阶段的高中数学中加强这方面的学习和训练。
本节课是第一节后的阅读与思考，在前面已经学习了类比推理。学生已经初步体会并认识到类比推理在数学发展中的作用。对于类比，学生其实并不陌生，它出现在各个章节中，但实际上，学生对它的认识是模糊的。通过本节课的系统学习，学生会了解什么是类比、如何进行类比，会感受到数学的创造过程。 学生情况分析
【知识基础】学生已经学完了所有的必修模块，即已经学完了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分。初高中已将类比推理渗透到教材的很多章节，有的学生已经在自觉不自觉的应用着。
【学习水平】授课班级虽然是高二年级的一个侧重班，整体成绩较好，但优生较少；而且用一年多的时间学完了高中阶段的数学基础知识和基本技能的主要部分，所以基础掌握得不够扎实，知识遗忘现象严重。
【学习态度】学生比较喜欢学习数学，在课堂上基本上能做到认真听讲，积极思考。但是主动发言表达看法的同学不多。 教学方式
问题导引式：通过精心设计的问题，激发学生的学习兴趣和动机，使学生产生疑而未解，又欲解之的强烈愿望，调动学生学习的积极性和主动性。 教学手段
多媒体辅助教学
教学目标分析
（1）结合数学实例和生活中的实例，了解类比推理的含义及作用，掌握类比推理的一般步骤。 （2）能利用余弦定理类比出四面体的余弦定理，体会并认识类比推理在数学发现中的作用； （3）通过证明，感受类比推理在探索和提供解决问题的思路和方向的作用，建构类比推理的思维方式，培养和发展逻辑思维能力和创新思维能力。 教学重点：
了解类比推理的含义，掌握类比推理的方法和步骤 教学难点：
找到合适的类比对象，分析两类事物在结构或功能等方面的关系，正确运用类比推理的思想方法.
教学流程示意
教学过程
（一）创设情境，复习回顾
据说春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.
鲁班的思路是这样的： 茅草是齿形的； 茅草能割破手.
我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.
情境创设， 复习回顾
体会类比推理 应用类比举例
引出公式
问：这是什么推理吗？它是一种类比推理。 什么事类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.(简称:类比)
（二）新课探究
问题（一）由平面三角形中的余弦定理类比得到“空间四面体中的余弦定理”。 问1：你认为这样的类比有怎样的合理性？（学生回答，老师总结,见课件） 师： 运用这种推理方法的例子还有很多，比如：鲁班发明锯子
问2：你会类比余弦定理的证明来证明你的猜想吗？（学生回答，老师总结,见图）
余弦定理的证明：由射影定理
.coscos,coscos,coscosAbBacCaAcbBcCba
由① a，得BacCabacoscos2
. 把②③代入上式得：
AbccbAbccAcbbacos2coscos222
（随着老师的问题学生认真思考设计者的思路。从学生熟悉的事例出发，从生活与实践的类比开始，让学生感受到数学源于生活，又服务于生活） 问3：请大家考虑一下如何证明四面体的余弦定理？ （学生回答，最后老师给出证明过程）
1231322314coscoscosSSSS， ① 1241422413coscoscosSSSS， ②
从具体问 题出发 观察、分析、 比较、联想
归纳 类比
提出 猜想
1341433412coscoscosSSSS， ③ 2342433421coscoscosSSSS， ④ 由①4S，②3S，③2S，④1S得
1243134223412
4coscoscosSSSSSSS, ⑤
1243143224312
3coscoscosSSSSSSS, ⑥ 13421432342122coscoscosSSSSSSS, ⑦ 23412431342121coscoscosSSSSSSS, ⑧ 把②③④代入⑤,得：
1432243134212
322212
4cos2cos2cos2SSSSSSSSSS； 同理得：1342234143212
4222123cos2cos2cos2SSSSSSSSSS； 1243234124312
42
32
12
2cos2cos2cos2SSSSSSSSSS； 1243134214322
42
32
22
1cos2cos2cos2SSSSSSSSSS. 类比推理的含义和特点：
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理. 问4：平面余弦定理还有其它的证明方法吗？ 学生：有（让学生自己写出来展示）
师：能否用类似的方法来类比证明出“空间中余弦定理”
（学生在下面摇头，说不能。于是很自然的引出怎样的两个事物才能进行类比，必须是具有某种相似性的两个事物才能进行类比。通过该问题，强调类比的对象） （三）感受类比
问1：若将平面三角形类比到其它空间几何体中，你是否能猜想的到其他形式的“余弦定理”（学生先思考后交流，最后以组为单位回答）
师：好问题同种蘑菇有些相像，他们都是成堆地生长的，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个。——美国数学教育家G.波利亚 （四）课堂小结
本节课你有什么感受？（学生答） 1.类比推理的含义、特点、步骤和作用
2.体会到类比方法的重要作用，类比不仅被用来发现问题，而且还要能提供解决问题的
思想和方法。将类比形象化。
（五）课后作业
课后探究 ：数学中还有哪些可类比的对象？
本教学设计的特点
1．引入生活化，关注学生的“经验”。学习要建立在学生已有经验的基础上，若缺乏旧知识和生活经验的停靠点，则无法形成新的认知结构。数学来源于生活，在教学中，创设贴近学生生活的、贴近学生经验的情境，不但可以激发学生学习数学的兴趣，更让他们体会到数学就在他们身边，感受到数学的作用，体会到数学的魅力，并且容易创造出和谐积极的学习气氛。
2．问题贯穿本节课的始终。由老师提出问题，给学生创建一个开放的、有活力、有个性的数学学习环境。激发学生积极思考，充分发挥学生的主观能动性，参与到学习活动中来。
3．重视学生，力争每个学生都能得到发展．教学中所选择的内容都是学生比较熟悉的。
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