联系本站客服加+微信号15139388181 或QQ：983228566 |
视频标签：向量概念,推广与应用
所属栏目：高中数学优质课视频
视频课题：人教A版高中数学选修2-1阅读与思考《向量概念的推广与应用》山西省 - 阳泉
本视频配套资料的教学设计、课件 /课堂实录及教案下载可联本站系客服
课题：人教A版选修2-1第99页阅读与思考《向量概念的推广与应用》
一、教学内容解析
本节课的教学内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2-1）》（人教A版）第3章《空间向量与立体几何》章后阅读与思考《向量概念的推广与应用》。
向量是既有大小又有方向的量，既能像数一样进行运算本身又是一个“图形”所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁，它是一种重要的数学工具，不仅在解决数学问题的有着广泛的应用，而且在物理学，工程科学等方面有着广泛的应用。通过学习平面向量，我们知道，平面上的点，直线可以通过向量及其运算表示出来，它们之间的关系，如平行，垂直，夹角，距离等可以通过向量运算而得到，从而有关平面图形的问题可以利用平面向量解决。本课在学生学习了平面向量之后展开，通过合情推理，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，既复习巩固了平面向量的有关内容，又为后面用向量解决立体几何问题做好铺垫，起到承前启后的作用。充分让学生类比猜想、自主探索，得出相应的法则和性质，引导学生主动学习类比、归纳、推广、化归等思想方法，提高数学素养。
我们经常说数学来源于生活，同时又要能服务于生活，将生活中的问题进行数学化，转化成具体数学问题来解决。向量相关知识在生活中的实践与应用也比较广泛，运用联系的观点、审美的观点、进行纵横联系和广泛的联想，不仅能很好体现其工具性，更充分体现向量在提高学生的数学能力方面的教学价值。 二、学情分析
1.学生已经学习过平面向量的概念及其相关运算，为本节空间向量相关知识的学习打下了坚实的知识基础。
2.本节是高二选修2-1的内容，并且是学生学习了空间向量之后的拓展，学生具备了必修2立体几何的知识储备；而本班学生是高一的学生，立体几何，空间向量等知识都还没有学习，或许空间想象能力不够，从平面向空间过渡有些困难。
3.学生在探究问题以及合作交流的意识等方面，发展不够均衡，尚有待加强，必须在教师一定的指导下才能进行。 三、教学目标
1.知识与技能：理解空间向量的概念，并掌握一些空间向量中的运算；
了解向量概念在生活中的应用。
2.过程与方法：经历向量由平面向空间的推广过程,让学生感受一个数学概念的推广可能
带来很多更好的性质及可能存在的问题；
运用合情推理进行类比和猜想，增强学生数学应用意识与创新意识。
3.情感态度价值观：经历向量由平面向空间推广的过程,体验数学在结构上的和谐性,激
发学生的学习热情,培养学生勇于探索、创新的个性品质。
四、教学策略分析
1.教学重点：空间向量的一些结论及向量在生活中的应用。
2.教学难点：从平面向空间过渡时，一整章的内容在没有书的情况下让学生自己猜，有
些涉及到共面和空间直角坐标系的内容，学生可能类比不过来，或者即使结构形式猜对了，各中原理还是比较模糊。
3.难点突破策略分析：难点（1）不可能一节课把空间向量所有知识都讲透。（2）本节
课的主题有两个关键词：推广，应用。所以学生还必须要经历推广和应用的过程。（3）合情推理是根据已有的数学事实和正确的数学结论，或以个人数学经验和数学直观进行推测，而思维的非常规性，结论的或然性是其特色。（4）科学思维具有两重性：逻
辑思维是“抓到真理”后进行完善和“补行证明”的思维，而合情推理则是“发现真理”的思维。量子力学方程是猜出来的，现代仿生学是类比推理在科技中应用的杰出成果，加强合情推理教育是开发学生创造素质的需要。 难点突破策略：（1）学生课前进行填表类比，只猜结论，可以思考一下“为什么”，但是想不通不需要深究，记下自己困惑的地方，等高二讲的时候寻找答案；（2）通过微课，把学生可能遇到的问题和需要铺垫的知识进行简单讲解，比如共面定理，空间向量基本定理，空间直角坐标系，使类比过程更顺畅一些；（3）课上展示，重在结论的比对；（4）推广部分需要独立思考所以课下做，应用部分需要合作探究所以课上做。
五、教学过程
1.类比猜想，展示学案
问题一：基本概念的类比
平面向量
空间向量
定义 既有大小又有方向的量 平移 自由向量，平移后不发生改变 表示法
几何表示： 字母表示：a，AB
向量的模 向量的大小：，aAB 相等向量 方向相同且长度相等 相反向量 方向相反且长度相等 单位向量 长度为1的向量 零向量 长度为0的向量 夹角
0≤<a,b>≤π
设计意图：学生对平面向量的知识结构已经比较了解，空间向量的知识结构和它有很多的
相似性，与其再次由教师喋喋不休地重复，不如让学生自己去阅读、比较、辨别、思悟。 问题二：线性运算法则及运算律的类比
平面向量
空间向量
加法运算 三角形法则或平行四边形法则 减法运算 三角形法则
数乘运算 ka（k为正数，负数，零）
加法交换律 abba
加法结合律
abcabc
设计意图：结合律在空间中是否仍然成立？如果学生有疑问，可以进行图形验证。 问题三：一些定理与数量积
数乘分配律和结合律
abab
aa
共线向量定
理
对任意两个向量a、b(0b)，a∥
b的充要条件是存在实数使
ba.
共面向量定
理
不填
如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量
a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使byaxp.
向量基本定
理
如果1e、2e
是同一平面内的两上不
共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、
2，使2211eea.
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组
zyx,,，使czbyaxp.
基 底 上表中，不共线的向量1e、2e叫做
表示这一平面内所有向量的一组基
底.
如果三个向量a、b、c不共面，我们把
c
ba,,叫做空间的一个基底，a、b、c都叫做基向量.
两个向量的数量积
若
0
a，
0
b，则
cos||||baba，其中为两个向
量的夹角
若0a，0b，则bababa,cos||||，其中abba,,表示两个向量的夹角.
向量数量积
的运算律 （1）)()(baba；
（2）
abba（交换律）（3）cabacba)(（分配律）
设计意图：共面定理和空间向量基本定理是难点 ，所以这部分知识在微课中给学生简单
讲解了一下，不影响猜其他结论。 问题四：向量的坐标运算
设计意图：重在一些结构形式的类比。 2.阅读材料，解决问题
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
