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视频标签：几何画板,点的轨迹椭圆
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视频课题：人教A版高中数学选修1-1第二章用《几何画板》探究点的轨迹椭圆-四川省 - 成都
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用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆
教学设计
一、教学内容分析
本节课是人教A版普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1第二章2.1椭圆中的信息技术应用。教材内容是让学生通过《几何画板》演示，感受其变化，获得点与直线的相对位置的变化并不影响动点的轨迹仍是一个椭圆，其实质就是椭圆的第二定义。当然，此内容可以和前面椭圆的第一定义完美的结合一起。现行教材中增加一些探究性问题的目的，就是要促使学生亲自动手去发现、提出、解决一些数学问题，有利于增强学生的综合素质。个人认为，开展探究性问题的教学目的并不在于获得一个具体的数学结论或答案，而在于整个学习过程给学生所带来的积极影响，也是研究数学的一种思路和方法。没有固定的模式，没有可以借鉴的经验，要开展这样的探究性问题的教学，一切都是“摸着石头过河”。本节课就利用《几何画板》软件对椭圆的四种生成方式进行发散思维的一个教学设计，也是对开展数学探究性问题作一些思考和探索。 二、学情分析
1．该班学生是高二文科生，数学基础整体一般。 2．学生已学完椭圆的定义及其基本性质，但是对涉及动态的轨迹问题没有立体画面感，急需本节几何画板动态演示来充实、答疑和解惑！ 三、教学目标分析
（1）知识与技能：使学生了解《几何画板》的作用，理解并掌握应用《几何画板》探究点的轨迹的方法。
（2）过程与方法：先利用《几何画板》可以动态追踪的优势，直观的去感受所形成的点的轨迹（椭圆），再用代数的方法进行求解或证明。应用化归与转化的思想，体验数形结合的学习方法。
（3）情感态度与价值观：了解数学文化，激发学生对宇宙科学的兴趣，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，坚定学生学好数学的信心。 四、教学重点和难点
教学重点：用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆。 教学难点：椭圆的四种生成方式。 五、教学过程与教学资源设计
教学环节
教学内容 师生互动 设计意图 导
入
新
课
观看一段关于开普勒发现行星的轨道是椭圆形的视频，指出本节课将追随他的足迹，应用先进的教学软件《几何画板》从不同的角度去探究点的轨迹：椭圆
观看视频，回顾椭圆的画法和第一定义 体验数学文化，聚焦核心素养，激发学生的学习兴趣
深入理解 【探究1】课本第42页习题2.1A组第7题 如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？
由一位学生运用《几何画板》动态演示，观察点Q的轨迹，并进行严格证明。
引导学生直观感知，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹，体验《几何画板》的作用，加深对椭圆第一定义的理解。
拓展研究
【探究2】课本第34页例2改编
如图，PDx轴，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？
追问：若圆的半径为2，能否写出点M的轨迹方程？
首先猜想，再用
《几何画板》动态
演示，最后给出理
论证明。
挖掘本质：圆上点的横坐标不变，纵坐标按固定比例缩放，从而得到椭圆，与纯理论相比较，《几何画板》的动态演示更加直观明了。
类
比
探
究
【探究3】课本第43页习题2.1B组第1题改编
如图，DPx轴，点M在DP的延长线上，且
3
2
DMDP
，当点P在圆上运动时，点M的轨迹是什么？ 追问：若圆的半径为2，能否写出点M的轨迹方程？
教师演示，学生类比探究，归纳总结：将圆按照某个方向均匀地压缩或拉伸，可以得到椭圆.
比较不同的伸缩方式，产生了焦点分别在x轴和y轴上的椭圆
MQR
Ox
y
P合作探究 【探究4】如图是两个半径分别为a,b
的同心圆，半径为a的大圆上任取一点P，PQx轴连接OP交小圆于点R，过R作PQ的垂线，垂足为M，当点P在大圆上运动时，点M的轨迹是什么？
追问：能否写出点M所成轨迹的参数方程与直角坐标方程？ 由学生利用《几何画
板》动态演示点M的
轨迹，并完成追问，
写出点M所成轨迹
的参数方程与直角坐标方程。
其实质为椭
圆参数方程
的形成过
程，进一步
巩固椭圆的参数方程与直角坐标方程的表达形式。 探
究发现
【探究5】课本第41页例6
已知点(,)Mxy与定点(4,0)F的距离和它到直线25:4lx
当的距离的比是常数4
5
，求点M的轨迹方程。
教师利用《几何画
板》动态演示点M的轨迹，学生根据条件求出点M的轨迹方程
为椭圆的第二定义做好铺垫。 抽象概括 若点(,)Mxy与定点(,0)Fc的距离和它到
定直线2
:alxc
的距离的比是常数(0)caca，求点M的轨迹方程。
教师利用《几何画板》动态演示一般
情况下点M的轨
迹，类比探究5的
方法求出点M的
轨迹方程。
由特殊到一般，让学生
归纳总结出
椭圆的第二
定义。
M
QROx
y
P
总结提高
学生总结，教师补充，牢记数学历史，感受数学文化，学会应用《几何画板》探究数学问题。
让学生学会归纳整理，形成知识体系。
课后作业 1.你可以独立完成下列任务吗？
用类似的方法探究点的轨迹--双曲线、抛物线！ 2.继续坚持：在学习数学的过程中，学会欣赏数学，应用数学，体验魅力无
穷的数学之美！
学生独立完成，学
会坚持，培养良好
的学习习惯。
提高学生的数学学科核
心素养，培
养分析问
题，解决问题的能力。
课
后
反
思
本节课通过观看开普勒发现行星的运行轨道是椭圆这一视频入手，引出探究点的轨迹：椭圆这一主题，激发了学生的学习兴趣，提高了学生的数学学科核心素养。整节课通过五个探究和相应追问构成：首先给出问题，进行猜想，然后利用《几何画板》给予直观的动态演示，对猜想进行佐证，最后再从坐标系的角度，用代数的方法进一步去表示几何关系。
借助《几何画板》，紧紧围绕教学目标，以椭圆的四种生成方式为主线展开本节课，基本上达到了预设，而且学生对这样的上课方式也感到新鲜，《几何画板》为数学课注入了生命力. 关注学生核心素养的提升，以问题驱动方式促进学生思考、探究、解决问题。一方面，通过《几何画板》不断地向学生渗透数形结合的思想，另一方面发挥《几何画板》的实验功能，鼓励学生提出问题、大胆猜想、探究问题、解决问题，最终得到椭圆的四种生成方式.
本节课的不足，在设计上应该更为恰当合理地分配时间，给学生更多的自主时间，另外，由于《几何画板》安装在教师设备上，所以只有极少的学生能够亲自操作演示，设备的选择有待改善.
通过教学反思，提升教学技能，提高教学质量。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
