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视频标签：牛顿法,导数的近似解
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视频课题：人教A版高二数学选修2-2第一章牛顿法—探究导数的近似解-海南
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人教A版高二数学选修2-2第一章牛顿法—探究导数的近似解-海南师范大学附属中学
牛顿法——探究导数的近似解教学设计
一、教育价值
牛顿法“以直代曲”，是导数应用价值的生动体现。著名建筑设计师高迪曾说: “直线属于人类，而曲线属于上帝。”牛顿法体现了对曲线的巧妙处理，与“二分法”相比，牛顿法具有近似指向鲜明、智能依赖更低的独特作用。
牛顿法的核心是以切线的零点近似代替曲线的零点，需借助图像直观体现，才能更好领悟其蕴涵的思想；另一方面，要领会牛顿法需理解其运算思路，掌握运算步骤，提炼算法。此课题充分渗透和发展高中生的两大数学学科核心素养：直观想象和数学运算。
通过剖析牛顿法的思维方式及其操作过程，进一步考察其数学本质，可发现牛顿法具有重要的教育价值。
二、基于教材与学情的思考
本节课是人教A版《数学( 选修 2-2) 》第一章第二节“导数的计算”中的“探究与发现”内容，属知识拓展类课程。课前学生已能理解函数的零点与方程的根的关系，会用二分法求方程的近似解，会利用导数求曲线的切线方程。高一学生已学习信息技术，理解计算机程序运行的一些基础原理，会读算法程序框图，选考技术的学生能编写简单的算法程序。教材介绍了导数的概念、计算、几何意义等，为牛顿法提供了理论和实践的基础。
本节课除详细介绍牛顿法的基本思想外，还要在对比基础上突出牛顿法的优点。
存在的困难：一是学生对近似解的接受态度，学生已习惯求精确解；二是运算，要理解牛顿法就要体验该法的运算过程，但牛顿法运算繁琐，易望而生畏，若运算全依托计算机解决，学习感受单薄，不容易留下深刻印象。
三、教学重点
1.借助图形，理解牛顿法运算思路，体会以直代曲、逼近的数学思想； 2.掌握牛顿法运算步骤，推导出公式并提炼算法。
四、教学难点
1.公式推导；2.在过程中培养直观想象核心素养。
五、教学过程
设计意图 教师活动
学生活动 1.课题引入
2.探究新知(1)回顾二分法
师：在之前的学习中，我们已掌握了导数概念，并能求出简单函数的导数。今天，我们要共同探究它在求方程解中的应用——牛顿法。
问1：昨天已发下学案，之前我们学习过什么求方程近似解的方法？它的理论依据是什么？
师：并且通过必修部分的学习，我们明确了二分法求近似解的基本步骤，并获得程序框图。
问2：昨天的小组探究题，哪个组可以说说探究结果？
课前探究：请用二分法求方程x3+2x2+10x-20=0在区间(1,2)上的近似根。（精确度为0。01）
师：近似计算可拓宽数学应用的广泛性，与智能化紧密相连。通过必修三的学习我们知道，判断一个
生1：二分法
生2（小组汇报）
(2)直观想象
(3)推导公式
3.课后探究任务
4.本课小结
5.作业布置 算法的优劣，标准之一在于迭代次数，如何减少迭代次数？牛顿从导数的几何意义出发提出了思路。通过导数几何意义的学习我们知道，在一个极小范围之内，曲线可以用某点处的切线近似替代。而方程的解可视为函数的零点，那我们便想，能否建立函数零点与切线与x轴交点之间的联系？尝试下。 （通过几何画板演示逼近过程）
问3：如何获得精确度更高的解？
师：通过多次迭代，我们便可获得一串逼近函数零点的xn
探究：请完成学案，考虑需要几步能获得精确度内的实数解？
问4：我们希望将结论一般化，对于任一函数f(x)，能否获得xn与xn-1的关系式？请尝试在草稿纸上完成推导。
（通过PPT展示推导过程，强调易错点）
师：牛顿法体现出对曲线的巧妙处理，以此方法为背景命制的试题综合性强，如2011年陕西卷，便以牛顿法为背景进行命制，有兴趣的同学可以探究。 此外，我们是以x =2为初始值进行求解，不同的初始值是否会对求解产生影响？由此，我们尝试输入几个初始值，可以发现，不同初始值影响迭代次数。
问5：通过本节课的学习，你有什么收获？
生3：利用x1，求f(x)在x= x1处的切线，与x轴交于x2
生4：（上台板演推导过程）
（课后可利用Excel表格进行探究）
完成两项探究任务
六、教学反思
章建跃老师告诉我们：教学要返璞归真，要让学生参与知识的生成和发展过程，在教学中培养学生的创新精神和实践能力。
1666 年初，牛顿创立了三大运动定律，并着重从运动学角度研究微积分，1671 年完成了与牛顿法相关的《流数法》。牛一律告诉我们：一个运动的物体，在某一时刻如果外力消失，物体将做匀速直线运动，这条直线就是原来曲线的一条切线。学习牛顿法，绝不是仅为了求近似解，此法“高端”，让学生感受到数学在科学工程上的应用，认识到数学的重要性。
牛顿法蕴涵着珍贵的数学思想，有利于锻炼学生理性的思维品格、创新能力，发展学生的数学核心素养
聚着我们对数学历史发展的思考，渗透了数学文化，让课堂变得生动有内涵，体现了自然哲学的数学原理。
迭代次数和精确度是本节课难以突破的地方，两者相辅相成，迭代是为了提高近似解的精确度，精确度是迭代的动力和休止符。在精确度的定义上，多种定义都很合理，学生的认知很难发现缺陷与不足，因此不必过多纠缠，说清楚就好。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
