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视频课题：人教A版高二数学选修2-2第一章导数的计算（二）四川省 - 攀枝花
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教学设计——导数的计算（二）
一、教材分析
１．教材背景
导数的计算是在学习了导数的定义及其几何意义，掌握了研究导数的一般思路之后，学习的一个重要的基本计算规则，它是《导数及其应用》一章的重要内容．本节内容分三课时完成，第一课时学习几个常用函数的导数；第二、三课时为基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，本课为第二课时．
２．本课的地位和作用
本节内容既是导数定义的深化，又是今后学习利用导数求函数单调性、极值、最值的基础，具有非常高的实用价值，在教材中起到了承上启下的关键作用。在导数计算的研究过程中重新温习了高一所学的基本初等函数知识，通过学习可以帮助学生进一步理解函数，达到知识的螺旋式上升的目的，培养学生的函数应用意识，增强学生对数学的兴趣． 二、重难点分析
根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下： 重点： 1、基本初等函数的导数公式和导数的运算法则及其应用;
2、复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数
对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．
难点： 1、正确运用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则；
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2、正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练．
三、目标分析
１．知识技能目标
熟记基本初等函数的导数公式和导数的运算法则；理解并掌握复合函数的求导法则．
２．过程性目标
通过自主探索，增加实用性，降低理论性，注意概念、性质的实际引入，注重知识的发生、发展过程，弱化甚至删除严格的公式推导过程．
３．情感、价值观目标
让学生感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦，体会数学的理性、严谨，展现数学实用价值及其在社会进步、人类文明发展中的重要作用． 四、学情分析
１．有利因素
学生刚刚学习了导数的定义、导数的几何意义，已经掌握了研究导数的一般思路，对于本节课的学习会有很大帮助．
２．不利因素
本节内容公式、法则较多，对公式、法则的记忆和对复合函数的理解有一定困难，学生学习起来有一定难度． 五、教法学法
根据对教材、重难点、目标及学生情况的分析，本着教法为学法服务的宗旨，确定以下教法、学法：
探究发现式教学法、自主学习法、小组合作，并利用多媒体辅助教学。遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现
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代教育原则。依据本节为公式应用的特点，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程． 六、教学过程设计
复习旧知→新课引入→探索新知→知识扩展→课堂练习→课堂小结→课后作业
七、教学过程
１．复习旧知
几种常用导数的公式是什么？ 〈一〉基本初等函数的导数公式表
函数
导数
yc（c是常数）
'0y ()()nyfxxnR
'1nynx
sinyx 'cosyx cosyx
'sinyx ()xyfxa 'ln(01)xyaaaa且
()xyfxe 'xye
()logafxx
'1
()(01)lnfxaaxa
且 ()lnfxx
'1()fxx
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〈二〉导数的运算法则（1）
导数运算法则
1．'
''()()()()fxgxfxgx 2．'''()()()()()()fxgxfxgxfxgx
3．
'
''2
()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx
（2）推论：'
'()()cfxcfx
（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）
２．新课引入
观看公益广告视频解答下面两个问题：
问题1：假如y是奶奶，ｕ是妈妈，ｘ是你，那么y与x的函数关系式为 问题2： 函数1sinxyex的导数怎样求？(温馨提醒如果用导数的定义求此函数的导数，其过程十分复杂，这就有必要探讨更便捷的求函数导数的途径，通过本节的学习，我们就能找到这种便捷的途径，求解本题的关键在于对复合函数导数公式和导数的四则运算法则的正确运用。)
提问：y=eu与u=x-1两个函数的解析式有何关系？
答：函数解析式是由y对u外层函数y=eu与u对x内层函数u=x-1复合而成。
３．探索新知 〈一〉复合函数的概念
一般地，对于两个函数()yfu和()ugx，如果通过变量u，y可以表
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示成x的函数，那么称这个函数为函数()yfu和()ugx的复合函数，记作
()yfgx。
复合函数的导数： 复合函数()yfgx的导数和函数()yfu和
()ugx的导数间的关系为xuxyyu，即y对x的导数等于y对u的导数与u对
x的导数的乘积．
若()yfgx，则()()()yfgxfgxgx
教师组织学生分组讨论4-5分钟，随后各小组推荐成员展示与分组点评，教师作指导 〈二〉典例探究
知识点1：利用基本初等函数的导数公式求导数
例1 若2,0
(),cos,0
xxfxxx则(1)f= ，(2)f=
思路分析：()fx是分段函数，可分0x和0x两种情况分别对()fx进行求导，然后将1x和2x代入相应的()fx的表达式，即可得(1)f和(2)f的值。 解：当x0时，2(),()2fxxfxx；当0x时，()cos,fxx()sinfxx，故
(1)2,(2)sin(2)sin2ff。
诊断分析：解答本题的关键是将()fx进行分段求导，理解和掌握基本初等函数的导数公式是求解本题的前提条件。
变式1 若3()fxx，则(1)f等于 知识点2：导数运算法则的应用 例2 求下列函数的导数： （1）sincos22
xxyx； （2）1
(1)(
1)yxx
；
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（3）1
1
xyx
思路分析：仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本初等函数导数公式，不具备条件的可进行适当的恒等变形。 解：（1）1sincossin,222
x
xyxxx
11sin1cos22yxxx
（2） 先化简，11
2211
1yxxxxxx，
13
2
21111(1)222yxxxx
（3） 因为1122
1111
xxyxxx
， 所以
22
222(1)2(1)2111(1)1xxyxxxx
。 诊断分析：①求导之前，应利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；
②有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代
数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，可以避免使用商的求导法则，减少运算量。
变式2 求下列函数的导数：
（1）3(34)(21)yxxx； （2）2
1x
yxx
知识点3：复合函数求导法则的应用 例3 求下面函数的导数：
（1）cosxye； （2）ln(23)yx； （3）3(sin)yaxbx
思路分析：求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量，同时，正确运用复合函数求导法则，即复合函数对自变量的导数，等于
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已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。 解：（1）设,cos,uyeux则cos()(cos)sinsinuuxyexxexe
（2）函数ln(23)yx可以看作函数ln23yuux和的复合函数，根据复合函数的求导法则有：1
2
(ln)(23)223
xuxyyuuxu
x
（3）3(sin)yaxbx是由函数3,sinyuuaxbx复合而成的，
3
2
2
(sin)3(cos)3(sin)(cos)yuaxbxuabxaxbxabx
诊断分析：对于解析式较复杂的复合函数求导，若先化简然后再对其求导则过程会更简洁，复合函数求导的一般步骤为：分析-------求导-------回代 变式3 求下列函数的导数：
（1）sin3yx； （2）3yx； （3）44sincosyxx ４、知识扩展
牛顿法——用导数方法求方程的近似解
人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题。 牛顿（IssacNewton,1842-1727）在《流树法》一书 中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法。
这种求方程根的方法，
在科学界已被广泛采用。
32()21020fxxxx
O
y
r
x
0x 1x2x
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下面，我们看看如何求方程x3+2x2+10x-20=0的根。从函数的观点看，方程x3+2x2+10x-20=0的根就是函数f(x)=x3+2x2+10x-20=0的零点，从图形上看，一个函数的零点ｒ就是函数f(x)的图像与x轴交点的横坐标．
如何求r的值呢？
如果可以找到一步一步逼近r的点x0,x1,x2,…，xn.使得|xn-r|很小很小，那么，我们就可以把xn的值作为r的近似值，即把xn作为f(x)=0方程的近似解。
牛顿用“作切线”的方法找到了这一串x0,x1,x2,…，xn，当然，要有一个起始点，比如，我们从x0=4开始.
在x0=4处作f(x)的切线，切线与轴的交点就是x1；用x1代替x0重复上面的过程得到x2；一直继续下去，得到x0,x1,x2,…，xn，从图形上我们可以看到，x1较x0接近r，较x1接近r，等等。它们越来越逼近。接下来的任务是计算xn。我们知道，在点处切线的斜率是f′(x0)，因此切线方程是
000()yfxfxxx 如果00fx，那么，切线与x轴的交点是
0100fxxxfx
继续这个过程，就可以推导出如下求方程根的牛顿法公式：如果
10nfx，
那么
111nnnnfxxxfx
请同学们自己推导。
对于一个给定的精确度，我们可以根据上述公式，求出方程
32210200xxx
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的近似解。下面，我们给出牛顿法的算法框图，同学们可以根据它编一个程序，让计算机帮你完成计算任务。
思考:
1、 不同的初始值对求方程的近似解有影响吗？如果有，影响在什么地方？
2、 你还知道其他求方程近解的方法吗？你认为牛顿法的优点和缺点是什么？
注意：知识扩展内容不作为课堂讲解内容，只是供学有余力的同学进行探究
No
Yes
给定精度0Z和初始值0x
根据牛顿法公式计算当前值：
32000102
0021020
3410
xxxxxxx计算当前精度：
10
0
xxZx 令01xx
0ZZ
1x为方程的近似解
求解结束
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与发现。
5．课堂小结
设问：本课我们主要学习了哪些内容？应当注意些什么？ 1、理论知识点
（1）基本初等函数的导数公式； （2）导数的四则运算法则； （3）复合函数求导法则。 2、方法与技巧
（1）熟练掌握导数基本公式，仔细观察和分析各函数的结构规律，选择合适基本初等函数求导公式进行求导；
（2）不具备求导法则条件的，一般要遵循先化简，再求导的原则，适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成。
（3）求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为基本初等函数的导数来解决，其主要步骤为：
①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本初等函数复合而成的，选定适当中间变量；
②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的关系；
③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数，坚持由外向内，逐层求导，并保持各层之间不重复不遗漏。复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程。
6．课后作业
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
