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视频标签：反证法
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视频课题：人教版初中数学九年级上册24.2.1《反证法》河北省 - 邯郸
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《反证法》教学设计
年级学科
九年级上数学
教材版本
人教版
教材分析
1、推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。反证法是一种间接证明问题的基本方法，它弥补了直接证明的不足，完善了证明方法，有利于培养学生的逆向思维能力。
2、反证法的应用需要逆向思维，是学习和掌握中的一个难点，所以本节课的重点是使学生在动脑思考，动手证明的过程中体会这种证明方法的内涵，建立应用反证法的感觉。
3、教材对反证法要求不高，注意例题及练习难度的把握，重点在思维锻炼。 教学目标 1、知识技能：了解反证法，掌握反证法证题的过程。 2、过程方法：通过学生装的独立思考、交流合作，让学生装经历问题解决的过程，体验解决问题策略的多样性。 3、情感态度：让学生感情感悟数学与日常生活的联系，激发学生学习数学的兴趣。 教学 重、难点
重点：反证法的证明过程。 难点：反证法的运用。
教学过程
教师活动
预设学生活动
设计意图
（一）导入新课 ，明确目标
问题：请同学们判断下列命题的真假，并说明理由
1、直角三角形中，两锐角互余 2、若x>y，z<0，则xz<yz
3、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
4、在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60°
师：根据大家刚才的推理，第三个命题是假命题，我们只需要举出反例说明它错误。第1、2、4三个命题是真命题，我们需要进行严格的证明。大家对这三个命题的证明方法有什么区别呢？
学生叙述完后教师总结：1、2两个命题是直接由已知推导出结论正确，命题4是从命题结论的反面出发间接证明，这种方法就是今天我们要学习的反证法。 板书写出课题
（二）探究问题，学习新知
师：根据刚才的推理过程，你能说出什么是反证法吗？ 学生叙述后教师给出定义。
定义：像这种先假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾判断所作假设不正确，从而得到原命题成立的方法，就叫反证法。
师：下面我们结合反证法的定义，用规范的数学语言给出命题4的证明过程。
例1、 求证：在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60°.
师：在对一个文字形式的命题进行证明时，首先将文字叙述转化为数学语言，写出已知求证，如果需要画图还要画出合适的图形。
学生回答命题真假，并说明理由。 1、2、4为真命题，3为假命题。命题3学生只需举出反例，命题1、2、4需证明。
学生叙述三个命题证明方法上的区别。
学生叙述自己对反证法的理解。
学生在说理过程中明确：1、假命题只需要举出反例，真命题必须严格证明；2、对比1、2、4三个命题的推理过程，体会直接证法和间接证法的区别，引入反证法。
让学生自己叙述，加强对定义的理解
已知：∠Ａ,∠Ｂ,∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角. 求证：∠Ａ,∠Ｂ,∠Ｃ中至少有一个角大于或等于60°. 证明：假设∠Ａ,∠Ｂ,∠Ｃ中没有一个角大于或等于60 即∠Ａ＜60°，∠Ｂ＜60°，∠Ｃ＜60° 则∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＜180 °. 这与三角形内角和等于180°矛盾， 所以假设不正确 ， 所以原命题成立 师：根据例1的证明过程，结合反证法的定义，请你来概括反证法的证明过程。 学生叙述后教师归纳总结。 反证法的证明过程 1、 反设：假设命题结论不成立，反面正确 2、 归谬：由命题的反面出发推理论证，得出矛盾（与已知、公理、定理等矛盾） 3、 结论：由矛盾判断得出假设不成立，原命题成立 （三）思考练习，巩固新知 师：我们已经了解了反证法的证明过程，大家一起来完成例2中命题的证明。 例2、用反证法证明：过同一直线上的三点不能作圆 处理本例题时教师引导学生写出已知求证，画出图形，证明过程要求学生填空补充完整。 已知：点A、 B、 C三点在直线l上 求证：过A、 B、 C三点不能作圆 证明：假设过A、 B、 C三点可以作一个圆。 设这个圆的圆心为P，那么PA=PB=PC ∵PA=PB ∴点P在线段AB的垂直平分线m上， ∵PA=PB ∴点P在线段BC的垂直平分线n上， ∴点P为m与n的交点， 而m⊥l，n ⊥l 这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾。 所以，过同一直线上的三点不能作圆。 教师在学生补充完整后再次总结强调反证法的证明过程。 归纳总结：反设是反证法的基础，反设的正确与否直接影响反证法的后续步骤；归谬是关键，是反证法的核心部分；结论是我们的最终目的。 练一练 1、思考：说出下列结论的反面： （1）. a⊥b a不垂直于b （2）. a ∥ b a 不平行于b （3）. a ≥0 a ＜0 （4）. d是正数 d不是正数,即d ≤0 （5）.至少有一个 一个也没有 （6）.至多有n个 至少有（n+1）个 教师引导学生类似（5）（6)这样的形式先将文字转化为数学符号表示，再找结论反面。 学生跟随教师一起口述完成证明过
程。 练习用规范的数学
语言完成文字形式的命题的证明。
学生尝试总结反证法证明过程。
学生在练习本上填
空将证明过程补充完整，选取学生公布答案。 在推出矛盾时学生可能会有不同意见，如：学生可能会推出m与n平行，与m、n交于点P矛盾。
前三个问题较简单，学生齐答，4、5、6提问，并由学生叙述原因。
让学生重视对数学证明的规范性与严谨性，同时体会反证法的证明过程。
进一步明确反证法的证明过程。
这个例题的证明比较困难，因此采取“挖空”的形式让学生补充完整，降低证明难度。
加深学生对反证法证明过程的理解记忆。
强调反设的重要性
（5）、（6）是难点， 教给学生如何正确找出命题结论的反面
师：大家已经熟悉了反证法的证明过程，下面独立完成练习2。 2、求证：若a+b+c>0，则a、b、c中至少有一个为正数。
教师在学生完成后通过板演学生的证明过程，讲解纠正学生出现的问题。
师：反证法不仅可以解决数学问题，一些实际问题的解决过程中也有反证法的影子，请看第3个练习。
3、你来做侦探：A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？
学生讨论结束后教师组织学生分享讨论结果
师：虽然我们今天刚刚学习了反证法的定义，但是通过学习你有没有觉得它并不陌生？在你过去解决的一些问题中有没有用到过反证法的思维方法？ 试一试
你能想一个用反证法解决问题的例子吗？ 请与你的同桌交流，互答互评
在活动过程中教师可适当给予学生指点，可以参与到学生活动中，帮助活动组织困难的小组举几个例子。 活动结束后教师选择部分同学分享自己小组的问题和解决办法。
（四）课堂总结，升华认识 师：今天学习的反证法和我们过去所用的证明方法有什么不同？ 总结： 综合法 直接证法 证明方法 分析法
间接证法 ---- 反证法 （反设、归谬、
结论）
数学是思维的体操，反证法更体现了一种思维的艺术，我们要能够从不同的角度去思考问题，正向思维和逆向思维都是我们解决问题不可缺少的思维方式。
英国近代数学家哈代曾经这样称赞它：“反证法是数学家最有利的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，它还要高明。象棋对弈者，不外牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让予对方。”
数学上有许多经典证明，比如，质数有无限多个的证明，就采用了反证法，生活中也还有很多可以用反证法的思维模式解决的问题。 （五）推荐作业
1、课后实践:收集一两个反证法在生活中应用的例子，并相互交流 .
2、阅读拓展:查找资料，阅读更多反证法解决问题的经典实例.
学生在练习本上独立完成，并找两名学生在黑板上演示
学生分组讨论后展示讨论结果
学生以互问互答的形式结组参与活动。
学生思考寻找过去所学数学知识中可通过反证法证明的知识点，或者在生活中用反证法的思想解决的实际问题，互相交流解决办法。
学生自由阐述本节课学习后对反证法的认识。
学生熟练反证法的过程，体会规范的数学证明过程。
通过讨论让学生体会反证法的思维过程。
学生可以找数学知识中的例子，也可以找生活中的实例，将反证法转化为一种思维方式，开拓学生思维，提高解决问题的能力，实现学以致用的目的。
总结学生学过的证明方法，通过对比强调反证法的证明过程，以及反证法代表的思维方式，提升学生能力。
将学习延伸至课下，激发学生兴趣。 但本节课在课本中要求不高，没有作业及练习，因此以推荐作业的方式试图达到两个目的：1、培养学生的数学阅读习惯；2、开拓思维，提高能力。
板书设计
反证法
反证法的证明过程 举反例 1、 反设 直接证明 2、 归谬 间接证明 3、 结论
教学反思
1、对反证法地位的认识：反证法不仅能提高学生的演绎推理能力，而且在后继的学习中有着不可忽视的作用，虽然在初中教材中所占篇幅很少，但本人认为不应轻视，应让学生掌握其精髓，合理的去运用。
2、教学目标和教学内容设计：在设计教学目标时，我从三个方面即知识技能目标、过程性目标和情感态度目标进行了详细准确的定位，体现了“立足双基，着眼发展”的教育理念。本节课的教学内容以课本的基本内容为蓝本，结合学生的认知规律和生活经验，改造和充实所教的内容，体现了学数学、用数学的思想，努力使课堂教学充满趣味性、挑战性，让学生感知数学来源于生活，同时又服务于生活，让他们感受到反证法思想离自己很近，反证法很有用。
3、课堂活动组织：课堂上教师把学习的主动权交给学生，让学生学会参与、学会发现、学会应用、学会创新。在组织讨论时应把足够的时间给学生，不仅仅是为了讨论而讨论，学生应在讨论中体会问题的实质，并最终形成自己的认识。练习时要求学生书写规范，培养良好的做题习惯。
4、抓住重点，突破难点：反证法的重点是能写出结论的反面，同时也是难点。在用反证法证明的命题时经常会出现文字命题，一定要先用数学语言写出“已知”和“求证”， 然后再按一般步骤证明。让学生学会用规范的数学语言对命题进行证明也是本节课教学的一项重要内容。
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