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视频标签：矩形中的折叠问题
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视频课题：北师大版数学九年级上册微专题复习《矩形中的折叠问题》福建省 - 三明
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北师大版数学九年级上册微专题复习
《矩形中的折叠问题》教学设计
一．教学分析 （一）学情分析
学生已经学习过全等三角形、相似三角形、轴对称以及矩形等有关知识，同时在探究角平分线等腰三角形等几何图形性质的过程中已经有了折纸的经验，积累了较为丰富的数学活动经验，空间观念逐步增强，直观与推理能力都得到了一定的培养，为本节课的学习打下了基础。在思维能力方面初步具备了思维的完备性、深刻性、批判性等思维品质，但尚待提高，其分析、抽象、概括、反思等能力比较薄弱。九年级学生在以前的数学学习中已经经历了很多合作学习过程，能够主动参与，勤于动手，乐于探究，学生间相互评价、相互提问的积极性高。因此，参与本节课矩形中的折叠问题的探究活动的热情应该是比较高的。
（二）教学任务分析
在初中数学中，矩形的折叠是我们常见的一种数学问题，在中考中会以选择、填空、解答题的形式出现.这类问题的解决是有规律可循的，由于矩形的折叠只改变图形的位置，不改变图形的形状及大小，因而在矩形的折叠变换中，保持了许多图形定量的不变性，如图形中线段的长短不变，图形中角的大小不变等，这些图形定量的不变性，在初中几何全等型问题的解决中，具有很重要的运用价值。 矩形折叠问题中蕴含着重要的轴对称知识，因此，解决这类问题的关键是弄清折痕(即对称轴)及其两侧的全等图形，抓住折叠中不变的量，然后利用勾股定理，相似三角形的有关知识，轴对称的性质等几何知识进行推理、计算。
根据学生现有的知识水平，依据课程标准的要求，我确定了以下的教学目标。 （三）教学目标：
知识与技能：灵活运用矩形的性质、轴对称性质、直角三角形、相似三角 形等知识解决矩形中的折叠问题。
过程与方法：经历对矩形折叠问题的探究过程，掌握探究问题的方法，体会 利用方程思想、转化思想解决折叠问题的一般方法。
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情感态度价值观：通过综合应用数学知识解决矩形折叠问题，体会知识间的 联系，感受数学学习的乐趣，获得解决问题的成功体验。
（四）教学重难点
教学重点：解决矩形中的折叠问题。
教学难点：综合运用知识挖掘矩形折叠问题中角度和线段的数量关系。 二．教学策略分析：
本节课教学采用探究式和启发式的教学法，遵循因材施教的原则，坚持以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性。通过折纸活动的设置，让学生经历观察、猜想、验证、归纳、拓展的认知过程，在动手操作、主动探索、合作交流中培养学生勇于探索、勤于思考的数学思维品质；通过例题的变式训练、拓展延伸，提高学生在复杂图形中分解基本图形的能力，培养学生的问题意识和反思归纳的习惯，感悟并体验方程思想、转化思想、数形结合思想等数学思想方法。 三．教学过程： （一）探究本质 动手操作：折一折
问题一：你能在图1的矩形纸片中折出一个正方形吗？说说你的理由 问题二：如图2，折叠矩形的一个角…… 你能想到什么？
图1 图2
问题三：如图3，将矩形纸片ABCD沿直线BE对折，点C的对应点C′落在
边AD上，如何用尺规确定C’点的位置？
问题四：如图4，点E为边BC上一动点，将矩形纸片ABCD沿直线AE对折， 点B的对应点为点B′，在折的过程中你能确定出B′点与C点距离最短时B′的位置吗？
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图3 图4 .
【设计意图】经历折叠——观察——验证——归纳的认知过程，让学生主动参与，乐于探究， 激发学习动机和好奇心。同时让学生在亲身动手体验中透过现象看本质：折叠的实质就是轴对称变换，学生通过动手实践自主去探索、认识和掌握图形的性质，不仅积累了数学活动的经验，而且还发展了他们的空间观念。
（二）应用举例
例1：如图5，将矩形ABCD沿AE折叠后，使点B恰好落在对角线AC上． (1) 若∠B′EC=60°,求∠BAE； (2)若AB=6，BC=8，求BE的长。
【设计意图】一题多解，调动了学生的积极性，拓展了学生的思维.通过题后的反思，再一次强调折叠得全等，全等得边等、角等，抓住不变量，弄清折叠的本质，折叠过程中的变量和不变量。
图5 图6 图7 变式一: 如图6，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，把矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B′处，B′C与AD相交于点F.
（1）求证：△FAC是等腰三角形； （2）求△FAC的面积。
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拓展延伸：过点B′做B′P平行于AB,连接BP,题目其他条件不变，你观察到了哪些新生成的图形？请你提出一个数学问题并与同伴交流。 【设计意图】培养学生在复杂图形中分解基本图形的能力，经历直观判断和推理论证的过程，培养学生的几何直观和严谨的逻辑推理能力；在拓展探究中引导学生自己去发现问题，提出问题，培养学生的问题意识和提出问题的能力。
变式二：如图7，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC边上的中点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，求B′C的长。
【设计意图】此题需通过添加辅助线构造基本图形从而使问题得以解决，让学生通过对此题的探究实现思维的拓展和提升。在展示环节中鼓励学生勇于展示，善于展示，让学生体验成功，激发学生的探究精神和几何学习的兴趣，可以发现折叠问题的解决，大都是以轴对称图形的性质作为切入点，而数形变化，是解决这类问题的突破口。有了“折”就有了“形”----轴对称图形、全等形、新生成的几何基本图形；有了“折”就有了“数”----线段之间、角与角之间的数量关系。“折”就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁，进一步揭示了知识与图形的内在联系。
（三）总结提升
通过本节课的学习，你有哪些收获？与同伴交流
【设计意图】以独立梳理和分享交流的形式进行，理清知识脉络，让学生明确本次探究获得的思路，同时让学生体会本次探究中获得的经验和方法，从而体会探究中所蕴含的数学思想，培养学生语言表达及概括能力。 （四）、布置作业
1、一课一得：绘制思维导图（梳理本节课的所感所悟所思）
2、如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P， 连接EP．
(1)如图②，若M为AD边的中点， ①,△AEM的周长=_____cm； ②求证：EP=AE+DP；
(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合)，△PDM的周
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长是否发生变化?请说明理由．
【设计意图】作业1的设置，培养学生及时反思归纳的习惯，做到一课一得；作业2的题目设置了三个小问题，题目的难度由易到难，循序渐进，让不同层次的学生都能够对本节课的知识进行理解巩固。 四．教学反思
在矩形中的折叠问题这一小专题复习的教学中，通过设计一系列问题，学生对折叠的认识由感性上升到理性，并抓住了折叠的本质特征，在应用举例环节中以变化的题目让学生感悟折叠中不变的量，学生在合作探究中用类比迁移的方法，感悟折叠的本质这个不变的因素，通过解决一个问题来融会贯通一类问题，以“不变”应“万变”，深刻领悟解题的方法，达到了举一反三的效果。现对这节课具体反思如下：
1.让反思在课堂教学中充满活力
在本节课的例题教学中，本人引导学生作了如下的探索：此题主要考查了哪些知识点？解题过程是否规范？有无其他解法（一题多解）？如此种种。许多学生由于学习态度和心理状态的不同，或者缺少教师必要的指导和训练，导致缺少这一重要环节，未能形成良好的解题习惯。本节课学生通过对上面一系列问题的反思，从失误中吸取经验，在回顾中积累经验提炼方法，于感悟中进一步体验数学思想，从而达到了“做一题，通一类，会一片”的教学效果，解题能力和思维品质在更深和更高的层次得到有效提高和升华。
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2.把变式训练贯穿课堂始终
在本节课教学中，在折纸活动“点E为边BC上一动点，将矩形纸片ABCD沿直线AE对折”，因点E在边BC上的不同位置生成了不同的图形从而设置了系列问题。通过对这一系列变式问题的探究，不仅激活了学生的思维，有效地培养学生思维的深刻性、广阔性、独创性和灵活性，而且能迅速提高学生分析问题、解决问题的能力；其次，在对例题的教学中，也对例题拓展和图形的变式，可以让学生根据不同的条件用类似的方法解决问题，不仅能使学生掌握基础知识和基本的解题方法，而且激发了学生的探索兴趣，从而深入数学本质，学会数学思考。
3.注重学生课堂问题意识的培养
美国著名数学家哈尔莫斯曾说：问题是数学的心脏。学生自己发现问题和提出问题是创新的基础，敏锐的问题意识和善于提问对于一个人创造和发展有着非常重要的作用。可见，培养学生的“问题意识”是我们每个教师要解决的首要问题。在本节课的教学中，本人在课堂上努力营造了一个敢想敢问的学习氛围，创设了合适的提问题时机，提高了学生思维的深刻性。在例题的拓展教学环节中，在本人精心的引导和鼓励下，提问题的学生越来越多，提的问题也越来越有价值，将例题进行了深入的剖析，把学生的思考引向深度。
4. 运用思维导图促数学知识建构
思维导图是一种利用图像表达思维的工具，以直观形象的表达知识的内容结构，有效呈现思考的过程及知识的关联，它引导学生进行意义建构，是认知与学习、反思与创新的工具。在本节课的教学中，随着课的进程，边教边板书，最终绘制成一幅思维导图，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性，借助思维导图，让知识点串成线、成面、成体，形成一个完整的知识脉络。在作业的设置中布置了学生自主绘制思维导图，让学生及时把对本节课所学内容的感悟与收获以思维导图的形式呈现出来，可以帮助学生理清知识的来龙去脉及内在联系，把零散的知识有层次、有条理地联结在一起，有效呈现学生的思考过程，让数学思维实现可视化。
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