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视频课题：北师大版数学九年级下册以“三角板”为背景的计算问题-宁夏 - 银川
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课题：以“三角板”为背景的计算问题
一、 内容与内容解析 1.内容
以“三角板”为背景的角度、长度的计算问题。 2.内容解析
直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质之外，还有一些特殊的性质，比如直角三角形两个锐角互余、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等等。这些性质和定理涉及到角度和线段的计算，在初中数学中有着广泛的应用，是近年中考的考点、热点。
三角板是初中生最常使用的学习用具，它既平凡又特殊，它的基本构成是直角三角形，但是它又是特殊的直角三角形，有着与众不同的性质。一副三角板由两个直角三角形构成，一个是等腰直角三角形，它三个角度的比是1:1:2，三边之比为1:1：2；另一个是含30°角的特殊直角三角形，它三个角度的比是1:2:3，三边之比为1：3：2。将一副三角板进行拼接，可以变化出许许多多的数学题。 二、 目标与目标解析 1.目标：
（1）通过对直角三角形、特殊直角三角形知识的回顾，进一步理解直角三角形、特殊直角三角形的相关性质；
（2）通过对三角板拼接问题的解决，掌握解决三角板拼接问题的一
般策略和方法。 2.目标解析
达成目标（1）的标志是通过自主探究等基本的数学问题的解答，进一步回忆、归纳、理解直角三角形、特殊直角三角形的基本性质，并形成思维导图。
达成目标（2）的标志是学生看到以三角板为背景的计算问题能有效地分析题意，掌握解决这类问题的基本策略和方法。 三、 教学问题诊断分析
以两块三角板为载体，可以抽象出多种几何图形。相关的题目格调清新，立意新颖，充分体现了新课标提出的“培养学生动手动脑、探索实践的要求”。纵观这几年的中考题，全国各省市出现了很多与两块三角板拼接相关的题目，以此为背景，设计了本节课。
基于以上分析本节课的教学重点是利用直角三角形、特殊直角三角形的性质解决计算问题。教学难点是从题目中抽象出基本数学模型，掌握解决一类题型的方法。 课前准备：
1.每个同学准备一副学习用的三角板；
2.准备多套色卡纸做的三角板、吸铁石（或者双面胶）； 3.把可能涉及到的定理、知识点做成带吸铁石的条幅。 四、教学过程设计： 1.自主探究
问题一、今天和同学们一起来复习直角三角形，你能回忆起多少条跟
直角三角形有关的定理呢？
答案备选：（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）勾股定理；（3）射影定理；（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（5）三角形内角和等于180°外交和等于360°；（6）…… 【师生活动】学生在老师的引导下积极发言，回忆所学定理。 【设计意图】从简单的问题入手，引导学生动脑想、开口说，进入复习课的情境。
问题二、这是一块含45°角的直角三角板，它能让你回忆起哪条学习过的性质或定理呢？
答案备选：（1）等边对等角；（2）等角对等边；（3）等腰直角三角形的三边之比为1:1：2；（4）45°角的三角函数；（5）三线合一；（6）……
【师生活动】同学之间互相补充，回忆起更多的定理。
【设计意图】切入正题。从三角形到直角三角形，再到等腰直角三角形，引导学生体验从一般到特殊的过程。
问题三、这是另一块三角板，它是包含着30°、60°角的直角三角形，看到它，你又能联想到什么定理呢？ 答案备选：
（1）直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半；（2）这个三角形三边之比是1：3：2；（3）30°、60°角的三角函数；（4）…… 【师生活动】教师邀请两名同学作为小助手，把同学在回答问题的过程中复习到的定理逐步贴在黑板上，形成思维导图。（即本节课的板
书设计）
【设计意图】思维导图能够让学生清晰的理解知识之间的联系，另外学生在小组讨论或者做题过程中可以经常观看黑板上的定理，有据可依。
教学活动：如果用这两块不同的三角板来做拼图，你能编出一道跟角或边有关的计算题吗？ 跟你的小伙伴商量一下！
学生活动：四人小组，分组讨论。由小组代表上台用色卡纸把拼图贴在白板上，根据图形给全班同学出题。
师生互动：几名学生根据小组拼图编题，给全班同学回答，教师及时点评。
师：大家知道吗？有很多的中考题都是以这两块三角板的拼图为基本模型变化出来的。让我们一起来看看吧。 2.面向中考
第一部分：角度的计算
让我们从刚才的拼图中抽出一个模型（如图1），平移含45°角的三角板，我们得到了2015年四川的一道中考题（如图2）。
例1. 一副三角尺按如图的位置摆放， 则∠1= 。
把含30°角的三角板绕点C顺时针旋转，我们得到了2015年彭州的一道模拟题。
例2. 一副三角尺按如图的位置摆放，∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，把三角板DEC绕着点C顺时针旋转15°，得到11CED,则∠1AOD的度数为 。
变式1 （2017江苏泰州）将一副三角尺如图叠放，则图中∠的度数为 。
变式2 （2017湖南郴州）小明把一副含30°，45°的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠+∠等于（ ） A.180° B.210° C.360° D.270°
归纳小结： 1.解题思路
两块三角板拼接的角度计算问题通常从三角形内、外角和，或者外角与内角的关系两个方面寻找解题思路。 2. 计算结果
由于两块三角板的内角度数分别是30°、45°、60°和90°，它们都是15°的倍数。所以只要题目没有给出其他的角度，得出的结果都是15°角的整数倍。 第二部分：线段长度的计算
回到刚才的例2，我们给题目增加条件。
例2（变式）一副三角尺按如图的位置摆放，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，AB=6，CD=7，把三角板DEC绕着点C顺时针旋转15°，得到11CED，连接1AD，则线段1AD的长度为 。
回到基本模型，向右平移含45°角的三角板， 我们得到了另外一道中考题：
例3.（2016浙江丽水）数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°角的三角板的斜边和含30°角的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板的直角顶点重合拼放在一起，点B、C、E在同一直线上，若BC=2，求AF的长。
让我们换一块三角板。
变式 （2018福建）把两个同样大小的含45°角的三角板按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B、C、D在同一直线上，若AB=2，则CD= 。
归纳小结：解决两块三角板拼接中的线段计算问题，最常使用的工具是勾股定理和特殊角的三角函数，灵活使用这两个定理就能快速作答。 课堂小结：
1. 这节课你和同学们复习了哪些知识点？ 2. 你学习了解决哪一类问题？
通过这节课的学习，我们不难发现，很多几何题都是由一些简单的数学模型变化出来的。在平时的学习中，只要我们善于观察，多动脑想想，多动手画画，就会发现许多问题之间都存在着一定的联系。需要我们通过认真读题、观察探索、归纳类比等手段，从题目提供的材料中发现规律，获取相关的解题信息，从而解决问题。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
