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视频课题：北师大版数学九年级下册《圆的内接四边形》甘肃省 - 张掖
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《圆的内接四边形》教学设计
一、教学目标
1．理解圆内接四边形和四边形的外接圆的概念．
2．经历探索圆内接四边形性质定理的过程，发展合情推理和演绎推理的能力． 3．体验借助计算机技术用运动的观点来研究图形的动态方法．
4．积极参与数学学习的动手实践活动，感悟问题解决的数学方法，体验成功的乐趣．
二、学情分析
1．教材内容：《圆的内接四边形》在初中数学北师大2011课标版教材中没有安排单独的节次列出来进行教学，而是作为圆周角和圆心角的关系第二节教学内容．因此，在教学中应该突出圆周角和圆心角定理及推论的同时，加强定理及推论的应用教学，提高学生的分析问题和解决问题的综合能力．
2．学生情况：该班48名学生全部为住校生，课堂教学中分为8个小组开展教学．长期的课堂教学改革使学生在动手画一画、量一量，对直观图形的观察归纳和猜想，自己去发现结论，并用命题的形式表述结论等方面有一定的学习积极性和主动性．因此，在教学中应进一步提高学生合作学习和交流讨论意识，重视学生有效的问题解决和数学思考，加强数学思想和方法的教学．
3．教学方法：利用计算机技术的动态效果可以增强学生参与数学活动的意识，培养学生的动手实践能力、观察能力、归纳能力和自学能力．通过使用《几何画板》改变圆的半径，移动四边形的顶点等．让图形动起来说话，充分调动学生的直觉思维，激发了学生学习的兴趣，使学生深刻理解图形与几何的关系．因此，在教学中要加强创设问题情境让学生发现而获得，经历观察、度量、猜想、计算、证明的问题研究过程中，发展学生思维能力，重视学生的自主合作探究的学习过程．
三、教学重、难点
重点： 探索圆内接四边的性质定理．
图1
难点：感悟圆内接四边形性质定理的探索过程中问题解决的数学方法．
四、教学方式
本节课主要采用探究式教学法，在教师的启发引导下，学生分组自主探究．
五、教学过程
教学 环节
教师活动
学生活动
活动说明
课前复习 提出问题
练习：求图中∠1的度数：
定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半．
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等． 通过两个简单的练习，复习第一课时学习的圆周角和圆心角的关系．
讨论:：直径所对圆周角的度数等于多少？
两个题目比较简单，关键在于引导学生学会看图，从图中看出圆心角和圆周角的一些关系．
实验探究 推理论证
问题一：如图1，BC是圆⊙ O的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明你的结论吗？
在《几何画板》中，教师引导学生根据问题一的条件作出图形，度量∠A的度数，任意拖动点A，观察∠A度数；再绕点O，旋转直径，观察∠A度数．
猜想：这是圆周定理的一种特殊情况，即直径所对的圆周角是直角． 完成导学案:问题解决
如图中，直径所对的圆心角是∠BOC=180°，所以∠A=90°．
让会动的图形作为学生理解几何关系的基础，教师要在给出常规图形之后给出动态图形，利用《几何画板》的动态功能可以很好的表达变化规律，可
问题二：如图2，圆周角∠A=90°，弦BC是圆⊙ O的直径吗？你能证明你的结论吗？
在《几何画板》中，教师引导学生根据问题二的条件作出图形，OB，OC度量圆心角∠BOC的度数，通过改变圆的半径的大小，观察∠BOC度数；任意拖动点B，观察∠BOC度数；．
推论：直径所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径．
问题三：利用圆周角定理研究圆内接四边形的性质． 探究活动一：
如图3，在⊙ O 上，任取四个点 A 、 B 、 C、 D， 然后顺次连结各点，所得到的是什么图形？这个图形与⊙ O 有什么关系？
问题二与问题一是互逆的．
连接OB，OC 由圆周角∠A=90°，
则圆心角∠BOC=180°，即BOC是一条线段，也就是说BC是的一条直径．
阅读课本p82,议一议 完成导学案: 探究活动
四边形的四个顶点都在同一个圆上．
若一个四边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆．
以动态地保持图形与几何关系，因此在变化的图形中揭示恒定不变的几何规律．
增强学生提问的意识，关键的是让学生产生“疑问”．教学中，可以通过优化各种教学策略，让学生在有效的诱发疑问的因素中自然而然产生困惑，并积极主
图2
图3
图5
任意一个四边形都有外接圆吗? 在《几何画板》中，教师引导学生根据探究活动一的条件作出图形用用鼠标拖动随意拖动四顶点，随着点在平面内的任意移动，让学生理解圆内接四边形的概念以及任意一个四边形不一定有外接圆． 探究活动二：
如图4， A 、 B 、 C、 D是⊙ O 上四点， AC为⊙ O 的直径，∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？
在《几何画板》中，教师引导学生根
据探究活动二的条件作出图形，度量出
∠BAD与∠BCD的度数．引导学生计算并总结：∠BAD+∠BCD=180°．再用鼠标随意拖动顶点A与C，随着点在圆上任意移动，屏幕上∠BAD与∠BCD的度数的度量值随着角的大小变化而变化，教师指导学生猜测变化中的不变关系，问学生发现了什么关系?怎样叙述这种关系? 探究活动三：
如图5，点C的
思考：任意一个四边形不一定有外接圆．
用度量和计算的方法验证结论，并进行交流．交流讨论后，学生代表说出本小组的猜想．
∠BAD与∠BCD的和等于180°
写出证明过程： ∵AC为直径
∴∠ABC=90°，
∠ABC=90°
∵∠ABC+∠BCD+
∠ABC+∠BAD=360°
∴∠BAD+∠BCD=180° ∴∠BAD与∠BCD互补．
猜想：圆内接四边形
动地提出疑问．
师生合作猜想．
探究活动
二是一种特殊
情况．
探究活动三把问题从特殊推广到一般．
图4
位置发生了变化， ∠BAD与∠BCD之间的关系还成立吗？为什么？
在《几何画板》中，教师引导学生根据探究活动三的条件作出图形，度量出∠A、∠B、∠C、∠D的度数．引导学生计算并总结： ∠A+∠C=180°，
∠B+∠D=180°．再用鼠标拖动随意拖动四个顶点，随着顶点在圆上任意移动，屏幕上∠A、∠B、∠C、∠D的度数的度量值随着角的大小变化而变化，教师指导学生猜测变化中的不变关系．
探究活动四：
如图6，∠BAE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠C与∠BAE的大小有什么关系？
的对角互补
观察、计算并总结：圆内接四边形的对角互补．
写出证明过程 已知：如图 5，四边形 ABCD 内接于⊙ O．
求证：
∠BAD +∠BCD = 180° ， ∠ ABC + ∠ADC=180°
证明：连接OB，OD
2∠21∠ ∵=BAD，
1∠2
1
∠=BCD
∵∠1+∠2=360°
∴∠BAD+∠BCD=180° ∴∠BAD与∠BCD互补
猜想：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角．
完成导学案:运用知识
写出证明过程 ∵四边形ABCD是圆内接四边形
∴∠C+∠BAD=180°
∵∠BAE+∠BAD=180° ∴∠C=∠BAE ．
并通过测量加以验证，可以很形象地揭示了圆内接四边形的对角互补．
图6
图7
运用知识 尝试解疑
例 1 ：已知：如图7 ， AD 是△ ABC 的外角 ∠EAC 的平分线，与△ ABC 的外接圆交于点 D ．
求证： DB=DC ．
例 2 ：如图 8 ，⊙1O 和⊙2O都经过 A，B 两点，经过点 A 的直线 CE 与⊙1O，交于点 C，与⊙2O交于点E，经过点 B 的直线DF 和⊙1O 交于点D，与⊙2O交于
点 F ． 求证： CD ∥ EF
证明：连接 AB
∵四边形ABDC是⊙1O圆内接四边形
∴∠ACD=∠ABF
∵四边形ABFE是⊙2O圆内接四边形 ∵∠ABF+∠AEF=180° ∴∠ACD+∠AEF=180°
∴CD ∥ EF．
讨论后回答． 证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形
∴∠BCD=∠DAE
∵∠CBD=∠CAD
∠DAE=∠CAD
∴∠BCD=∠CBD
∴DB=DC
方法：(学生分组讨论下列问题)
①要证明两条直线平行可以用那些定理?
②本题中我们要让 CE ∥ DF 需要什么?
③在无法证明时，你能在图形中找到圆内接四边形吗?怎样找?(连接 AB )
在学生独立思考的基础上，教师鼓励学生交流讨论，认真观察图形，找出两个图形之间的联系．
拓展延伸 开阔视野
托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接
四边形两对对边乘积的和等于两条对角线
的乘积．
已知：如图，A、B、C和D分别是⊙
完成导学案:开阔视野
学生猜测并分析变化中的不变关系．
鼓励学生总结研究图形使用的方法，如度量与计
图8
O上的点．
求证：AB·CD+AD·CB=AC·BD
用鼠标拖动A、B、C、D四个点中任意一个，线段AB、AC、AD、BC、BD和CD的长度随之发生变化，通过动态图形的数学实验数据，利用计算功能得出AD·BC、 AB·CD、AC·BD的值，指导学生猜测并分析变化中的不变关系，并加
以验证从而得出托勒密定理的结论：
AD·BC+ AB·CD=AC·BD
解决问题应该经历“观察猜想——实验验证——推理证明”三个基本环节．
证明过程课后探索完成
算，猜想与证明等．
测评练习 查缺补漏
观察学生完成练习情况，进行个别指导．
完成导学案:测评练习
感悟问题
解决的数学方
法，体验成功的乐趣．
梳理知识 总结方法
本节课学习了哪些知识?
探讨圆内接四边形的性质，一般要从
完成导学案:学习总结
认识了圆内接四边形．
四边形的外接圆
探索圆内接四边形定理．
探索托勒密(Ptolemy)定
理．
从角、边、对角线入手 学生梳理
本节所学的知
识，建立知识
体系；增进他
们对数学思想
方法的理解．
AC∙BD = 100.12 厘米2
BC∙DA = 73.26 厘米2
AB∙CD = 26.86 厘米2
BD = 9.92厘米AC = 10.09厘米
DA = 8.89厘米BC = 8.24厘米
CD = 4.16厘米
AB = 6.46厘米O
A
D
B
C
哪几个方面入手?
本课学习了哪些思想方法? 这些数学思想方法体现在什么地方? 以前的学习中有没有使用过类似的思想方法．
教师对学生的举例予以追问，寻求学生对所举例与数学思想之间的深入认识．对部分不合适的例子加以分析．
学生总结： 方法1：解决问题应该经历“观察猜想——实验验证——推理证明”三个基本环节．
方法2：从特殊到一般的研究方法，对特殊图形进行研究，而后改变特殊性，得出一般图形，总结一般规律．
课后作业 动手实践
习题P83，习题3．5
查阅并收集托勒密(Ptolemy)定理的有关资料
在布置作
业时，应尊重
的个体差异．
课后反馈 总结提升
1．用动态图形创设富有启发性的教学情境，问题呈现的形式符合学生的认知方式和思维习惯。用动画效果在调动学生的学习兴趣上有了积极的作用。学生在问题情境中的和谐交互活动，增强了学习几何图形的好奇心，引起对问题的学习讨论与思考。
2．在经历了度量、计算、观察、分析、猜想、证明、应用的过程中，使学生思维能力得到了发展。
3.个别学生在自主合作探究的学习过程中，参与积极性和探索问题的意识有待提高，在学生体验成功的喜悦，并获得战胜困难积极向上的心理体验方面还要加强。
六、教学设计说明
本节课利用《几何画板》采取了度量、计算的方式，使学生通过对动态图形的观察归纳和猜想，进一步发现结论，并用进行推理论证。这种用动态图形创设富有启发性的教学情境，问题呈现的形式更符合学生的认知方式和思维习惯。比单纯用语言描述设计更能引起学生的数学思考，特别是动画效果在调动学生的学习兴趣上有积极的作用。学生在问题情境中的和谐交互活动，增强了学习几何图形的好奇心，引起对问题的学习讨论与思考。
几何需要图形动起来说话，让会动的图形作为学生理解几何关系的基础，在给出常规图形之后给出动态图形，利用几何画板等动态软件的功能可以很好的表达变化规律，可以动态地保持图形与几何关系，因此在变化的图形中揭示恒定不变的几何规律。
在教学中对学生发现和创新意识的培养，增强学生的自信心，要给他们一个促进发现的机会与环境。在这方面计算机与黑板相比，突出优势是计算机的交互功能和智能性为学生提供了利于发现的理想环境。通过鼠标控制图形的变化，及时动态地对线段、角、弧等几何量进行测量和计算，从而发现规律，这是刻度尺、量角器等教学工具很难做到的。
本节课在增大数学课堂教学的探索性，计算机技术进入数学课堂的同时，探索了托勒密(Ptolemy)定理的发现过程，使学生感受了数学的价值，增强了学习数学的信心。在学生作业中增加了开放题(作业 2 )，为学生创造了更为广阔的思维空间。
教师在指导学生学习概念和原理时，只给他们一些事实和问题，让学生积极思考，独立探索，自己发现并掌握相应的原理和规则，对此本教学案例中圆的内接四边形的概念、性质等均没有直接给学生，而是在教师创设的问题情境中让学生发现而获得。在经历了度量、计算、观察、分析、猜想、证明、应用的过程中，使学生思维能力得到了发展，在自主合作探究的学习过程中，尝到了探索的乐趣，体验了成功的喜悦，并获得了战胜困难积极向上的心理体验。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
