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视频标签：中考专项复习,锐角三角函数应用
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视频课题：北师大版九年级下学期中考专项复习“锐角三角函数应用”辽宁省 - 锦州
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《三角函数的应用》
教学设计
一、内容和内容解析 1.内容
北师大版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级下学期中考专项复习—“锐角三角函数应用”.
2.内容解析
“锐角三角函数”是《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中“空间与图形”领域的重要内容，初中阶段主要研究锐角三角函数、解直角三角形及运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题，其知识结构如图1所示,它是高中数学三角学的基础,起着承上启下的作用，因此这部分也是中考必考内容，在中考复习中必须给予重视.这其中，锐角三角函数应用是中考命题的重点和热点，“不上高山，能测山高；不下湖泊，能量河宽”正是三角函数应用的独特魅力所在，通常以应用题的形式出现，命题背景与生活密切联系，主要涉及测量、航空、航海、工程等方面，是运用数学方法解决实际问题的一类典型问题.这类问题在考查三角函数基础知识的同时对学生构建数学模型有了更高的要求，解决问题的关键是要善于从复杂的图形中识别和构造出基本图形，把错综复杂的问题简化，抽象为合理的数学模型的过程.因此，本节课的教学重点为：从实际问题中抽象出基本图形，掌握并灵活应用各种数学关系解直角三角形. 通过学习，学生进一步把形和数结合起来，提高分析问题和解决问题的能力.另外，在建立数学模型过程中，会更有利于发挥学生的主动性和创造性，把学知识、用知识、探索发现有机地结合起来.
图1
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）掌握并灵活应用直角三角形边角关系和勾股定理解直角三角形. （2）经历从实际情境中抽象出数学基本图形和数学关系的过程，感受“模型、抽象”的基本思想在锐角三角函数中的应用，积累数学建模的经验.
（3）经历观察、讨论等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.
（4）在解决具体问题过程中，体会数与形之间的联系，感悟数学思想，积累解这类问题的经验，发展应用意识和解决问题的能力.
2.目标解析
目标（1）解决三角函数实际问题时要运用转化的思想方法，把实际问题转化为数学模型，进而找出要解的直角三角形（对于非直角三角形问题，需要添加适当的辅助线将其转化为直角三角形问题），然后根据锐角三角函数，选择合适的关系，解出所求的未知数的值，因此掌握并灵活应用各种关系解直角三角形是锐角三角函数实际应用的解题工具和基础，为本节课的目标．
目标（2）《课程标准》对学生数学学习的总体目标规定“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识”.本节通过对实际问题的讨论，培养学生的问题意识，让其经历从实际问题中抽象出两类基本图形和数学关系的过程，引导学生感受当两个目标直角三角形都不可解时，用方程思想来解决,会产生柳暗花明之效.体验运用数学知识解决实际问题的同时，渗透“数学建模”的思想.
目标（3）“动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式”.给学生自主探索的时间，让学生在观察、讨论等数学活动过程中，发展合情推理能力；给学生宽松和谐的氛围，让学生在探索知识的过程中，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，学得更主动、更轻松，这样不仅激发学生学习数学的积极性、主动性，还培养了其探索能力、创新精神、合作精神.
目标（4）数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓,是将知识转化为能力的桥梁.数学思想方法的渗透使学生的思维能力发展先于知识能力，从而促进学生分析问题、解决问题能力的提高，应用意识的发展. 锐角三角函数实际应用中蕴含了丰富的数学思想方法，如转化、方程、建模、数形结合等.在解决具体问题的过程中让学生去归纳总结数学方法，从而深化成数学思想，是一种有效的教学手段.因此以经典范例为载体，逐渐渗透数学思想方法为本节课教学目标.
三、教学预测诊断分析
在知识层面上，九年级学生已经牢固掌握了勾股定理，三角形相似，也已经学习过锐角三角函数、特殊角度的三角函数值，并且掌握了直角三角形中各边和各角的关系，在此基础上，解直角三角形难度并不大，但在深入研究几何图形的基础上，根据已知条件，灵活恰当地选择直角三角形边角之间的关系，要达到熟练运用的程度还有一定困难.
在心理层面上，九年级学生经过近三年的初中学习和生活，逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展，他们思维活跃，有较强的接受能力和推理能力，同时还具备一定的数学探究活动经验和应用数学的意识.但学生抽象概括能力有限，综合运用所学知识解决问题，同时把实际问题抽象为数学问题以及将实物图形抽象为几何图形的能力有待提高，因此需要通过观察、思考、交流，进一步体会“航海”、“物体测量”等实际问题与锐角三角函数之间的联系，感悟数学思想、积累解题经验，提高应用数学和合作交流的能力.
基于以上分析，本节课的教学难点是：从实际问题中抽象出基本图形，掌握并灵活应用各种数学关系解直角三角形.
四、教学支持条件分析
B分校C家
A主校MN
（1）学习工具单的使用避免了“老师讲学生听”满堂灌的学习，使学生有了一个思维空间，学习效率更高，以问题形式呈现给学生，给了学生一个路标，让学生知道学习的方向在哪里，带着问题去学习，去思考，自己解决，品尝到了学习的快乐.
（2）在设计并应用PPT课件整合教学资源的同时，运用几何画板帮助学生直观理解三角函数应用的基本图形之间的关系.
（3）各小组用答题版展示学习成果，这样便于各小组之间的交流，也能直接观察到学生解决问题时出现的亮点和错误，有助于教师了解学生的学情；这种集体展示形式极大地调动了学生的学习积极性和主动性，增强了学生的集体荣誉感，同时还锻炼了学生的心理承受能力，提高了思维能力，起到了榜样示范的作用.
（4）本节课以典型范例为载体，按照启发、吸收、消化和发展的认识规律进行总体策划，分阶段、有步骤地渗透数学思想方法，在解题过程中，充分发挥数学思想方法对发现解题途径的定向、联想和转化功能，举一反三，触类旁通.
（5）为了充分发挥学生的主观能动性，让学生通过小组交流讨论，大胆地发表意见，提高了学生学习数学的兴趣.学生自己能构造实际问题中的直角三角形，并注重运用方程思想通过解直角三角形来解决实际问题，是一个质的飞跃.
五、教学过程设计 1．提出问题，引出课题
老师有一个问题想请同学们帮忙解决
引例：八中分校和老师家都位于东湖的堤坝线MN上，它们相距2000m，主校、分校及老师家构成了一个三角形ABC，测得∠ACB约为30°，∠ABM约为60°，我想知道主校到东湖堤坝线MN的距离是多少？
追问：你想用什么知识解决这一问题？ 师生活动：教师提出问题，引导学生抽象出数学图形，运用启发式追问让学生积极思考后引出课题.
【设计意图】注重学生的心理历程，利用与生活实际有关的具体情境，搭起数学与实际问题的桥梁，让学生体验由生活情境抽象出数学问题，感受数学建模思想的运用，提高应用数学的能力.
2.课前整理，复习回顾
问题1：三角函数有什么作用？（求线段长或求角度） 问题2：你还学过哪些求线段长的方法？ 追问：哪种方法更简便？
问题3：在解决问题的过程中，你发现三角函数的应用有哪些类型？ 师生活动：在教师的引导下学生积极思考回答.总结求线段长度常用的基本方法（勾股定理、相似、三角函数），发现三角函数应用的常见类型.
【设计意图】通过学习工具单上的课前练习和本环节层层递进的问题串，首
先使学生进一步感受到三角函数是求线段长度的有利工具，在原有求线段长度的经验的基础上，进一步深化理解三角函数方法的简便性，并从中总结出三角函数应用的类型（即①只在一个直角三角形模型中应用三角函数②两个及两个以上直角三角形模型中应用三角函数）.为下面归纳、抽象出两个基本图形做好铺垫.
问题4：在一个直角三角形中应用三角函数需要满足什么条件？其解题策略是什么？
问题5：通常在应用三角函数解决实际问题时已知条件常为斜三角形，我们应该如何应对？
问题6：如图所示的斜三角形如何作高转化为直角三角形？你有几种方法？ 问题7：这两个基本图形有什么联系？ 师生活动：通过学习工具单学生已经在课前进行了讨论复习，明确了确定直角三角形的条件和解题策略（有斜用弦、无斜用切、宁乘毋除、取原避中），对于斜三角形也有运用转化思想化斜为直的意识，教师运用几何画板通过让学生对斜三角形作高引出两个重要基本图形，并引导学生初步感知两者的联系.
【设计意图】再次通过问题串启迪学生思维，引导学生运用转化的数学思想发现三角函数应用中的两个重要基本图形并形成感性认识，为下面小组合作探究环节形成对两个基本图形的理性认识奠定基础.
3.合作交流，探求新知
活动一：小组合作、探究策略
探究分别在这几种情况下当a为已知量时，如何求x的值，从中你总结出了哪些解题策略?
师生活动：学生先独立思考然后分组进行交流、归纳，达成共识后，各组将自己的主答题写在本组答题板上，所有学习小组完成后，每组选一名代表展示主讲，其他组对比、评价后，教师引导学生归纳出两类基本图形的三种题型：
① 两个直角三角形均（直接）可解
② 一个直角三角形（直接）可解从而另一个可解 ③ 两个直角三角形均不（直接）可解 【设计意图】课前给学生自主探索的时间，课上通过小组合作交流给学生宽松和谐的氛围，不仅培养了学生对数学语言的表达能力和概括能力，同时也充分挖掘了学生的潜能，发展了合作探究能力.此环节突出了本节课的重点，学生在深入研究几何图形的基础上，进一步提高了根据已知条件，灵活恰当地选择直角三角形边角之间的关系解决问题的能力，在比较和体会各图形求解方法之间的差
异与共性的同时，也感受到方程思想在解决三角函数实际问题中的作用，这个环节为突破本节课的难点作好了铺垫.
活动二：例题板演、规范书写
帮助老师解决课前提出的实际问题. 师生活动：师生共同分析，教师板演.
【设计意图】培养学生分析问题、解决问题的能力，同时渗透数形结合的思想，让学生明确三角函数实际应用的步骤及解题过程.
本环节设定在上一环节之后，旨在对基本图形深入分析的基础上，让学生对数学建模思想从表象认识逐步上升为本质认识，有了再认识，学生在解决后面实际问题时，就会潜移默化应用建模和数形结合思想以及归纳的解题策略去解决问题，这样学生就能用积累建立图形与解直角三角形的经验去深入研究后续的问题，学会抓住事物的本质属性，逐步形成能力.
活动三：图形变换、化斜为直
典例1：如图，三沙市一艘海监船某天在黄岩岛P附近海域由南向北巡航，某一时刻航行到A处，测得该岛在北偏东30°方向，海监船以20海里/时的速度继续航行，2小时后到达B处，测得该岛在北偏东75°方向，求此时海监船与黄岩岛P的距离BP的长．（参考数据：≈1.414，结果精确到0.1）.(2015锦
州)
师生活动：学生独立思考后，交流解题方法，教师引导辨析总结.
【设计意图】初看此题，从图形、条件到问题给人的感觉和上一道例题属于一个类型，仔细思考发现，由于特殊条件的限制，过点P作垂线段的方法不可行，但本质上有相通之处，稍加点拨，学生找到了解题方法.此环节意在让学生学会多方法、多角度分析解决问题，突破教学难点，体会基本图形之间的变化联系和数学知识的辩证统一.
活动四：图形变换、活学活用
典例2：某大桥采用低塔斜拉桥桥型（图甲）， 图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，
两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，求 立柱BH的高度.(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732) (2017锦州一模)第21题
师生活动：此题由于是同年模考题，且得分率较低，学生印象深刻，因此师生共同分析完成.
共同归纳出结论：解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构造直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角关系.
常见的解直角三角形的典型变式图形有以下几种：
【设计意图】精选习题，让学生再次体会方程的思想在解三角函数实际问题中的巧妙应用，培养举一反三能力，引导学生进行分类归纳的同时，不断提高其分析问题、解决问题的能力，通过解决同类题中的本质问题，总结出这类题的解题方法和规律，从而达到触类旁通的目的,进一步突破了难点.
4.发展思维，应用拓展
典例3：如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°，此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：3（即tan∠DEM=1：3 ），且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，E、C、N在同一条直线上，求条幅的长度（结果精确到1米）（参考数据：3≈1.73， 2 ≈1.41）(2015铁岭)
师生活动：本题为上一题的变式，学生独立思考，在图中添加适当的辅助线，将非直角问题转化为三个直角三角形中元素之间的关系.
【设计意图】检验学生对本节知识的掌握情况以及对教学难点的理解程度. 学生自己能够根据题意构造实际问题中的直角三角形，并选择适当的直角三角形来解决实际问题，这是思维的一个质的飞跃.
5.归纳小结,内化升华
通过本节课的学习你能从知识内容、解题策略、思想方法等方面谈谈收获吗？
师生总结：了解几何模型之间图形变换关系，有助于更有效的理解题意从而建立模型.
（教师结束语） 【设计意图】引导学生梳理本节课在知识和数学思想方法等方面的收获，形成知识网络，提升对数学思想方法的理性认识.在培养学生及时总结，将知识内化、升华的同时，也让学生体验收获知识的快乐和敢于展示自我自信的学习品质.
6板书设计
【设计意图】思维导图式板书是课堂教学引人入胜的“导游图”，首先可以直观形象地展示思维过程、凸显重点和难点、体现教学意图，提高课堂教学效率，增强教学效果，能更有效的实现课堂教学目标；其次，思维导图的呈现方式可以刺激学生的多种感官，激发学习兴趣点，即调动了左脑的逻辑思维，又能激发右脑的丰富想象力和创造力，有利于启发学生独立思考，培养学生发散思维和创新思维；此外，这样的板书有助于学生建构知识网络，把握知识之间的内容联系和数学的本质.
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
