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视频标签：剪纸中的数学问题,数与形
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视频课题：北京版小学数学五年级下册《剪纸中的数学问题-数与形》北京市东城区前门小学
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教学基本信息
课题
研“一尺之棰”，悟“数形之美”——剪纸中的数学问题 是否属于
地方课程或校本课程
否
是否属于
跨学科主题教学
否
学科 数学
学段： 高段
年级
五年级
指导思想与理论依据
1.《义务教育数学课程标准（2011年版）》由原来的“双基”拓展到“四基”，即增加了基本思想和基本活动经验。数学思考作为总目标四个方面之一，在新课标教材中同样扮演着“经历探究过程、建构数学模型、体验数学思想、掌握数学方法、提升数学素养”的重要角色。有助于发展学生形象思维与抽象思维，使学生学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。 因此本节课让学生经历“做数学”的过程，在提出问题后，学生在独立思考的基础上有效利用小组探究，在操作体验中发现、在观察想象中感悟，不仅让学生经历过程，拉长了学生的感悟过程，更在解决问题的过程中积累基本的活动经验，培养基本的数学思想。
2. 中国学生发展核心素养中指出要培养学生的“科学精神”， 科学精神具体包括理性思维、批判质疑、勇于探究等基本要点。史宁中校长指出在小学数学教学活动中数学核心素养可以从数学抽象、逻辑推理和数学模型三个维度体现。本节课以《庄子·天下庄》中的一句话开启学生思维，学生经历由抽象到具体，由具体到抽象的学习过程，借助推理和模型在解决问题的过程中使研究不断深入。 3.古代教育家孔子曰：“疑是思之始，学之端”。2011版课标较之以前也增加了“发现问题和提出问题”两条能力目标。由此可见“发现问题和提出问题的重要性”，只有具备了问题意识，才能真正成为学习的主人，成为一个善于思考、具有个性的学习者。因此在本节课的数学教学中不仅重视研究等过程，更要重视初始状态的描述、数学模型的建立，把数学“问题解决”的过程全部展示给学生。
教学背景分析
2
教学内容：本节课是要借助图形解决一些比较抽象的、复杂的、不好解释的问题。就本题而言，虽然用举例的方法能够求出等比数列的有限和，学生能够感受到结果越来越接近1，但不能证明无限多项相加的结果为1。如果用圆、正方形或线段等图形来表示“1”，使学生结合分数的意义，在图形上分别有规律地表示出这些加数，当这个过程无止境地持续下去时，学生能够感受到所有的扇形、正方形或线段就会把整个圆、正方形和整条线段占满，即这些数相加之和为1。因此教材充分利用分数意义的直观模型，使学生直观地理解“无限”的抽象概念，认识到通过画图的方式可以比较便捷地解决比较抽象的问题。
学生情况：五年级学生对具体的、数量有限的事物容易理解，因此学生通过数与形的对照，利用图形直观形象的特点，能够较顺畅的观察出规律，但对抽象的、数量无限的事物却难于把握。既然要尊重学生，顺应学生思路，那么教学一定要源于学生的认知基础与学习需求。为了更好的了解学生的情况，合理的安排教学，在实施本节课教学前，特为学生设计了前置性的学前调研。两份试卷随机发给班中的每位学生。
调研目的在于：一是借助分数意义的直观模型帮助学生理解算式的意义，二是了解学生对抽象概念“无限”的理解程度。正是带着前面的思考，在进行学前调研时，为了更好的了解学生是否有主动借助“形”理解 “数”的意识，设计了两种形式的调研试卷。试卷A中加入了图示，主要是想了解学生在有图的情况下是否能利用图示更快的得到结果。试卷B中没有图示，意在考查在没有图示时是否可以根据题目的需求画出解题所需图示。 调研结果分析：
参加课前调研的共31名学生，使用试卷A的学生有16名，其中能够用画图的方式进行分析的占93.75%：
使用试卷B的学生有15名，其中能够用画图的方式进行分析的占46.67%：
通过分析学生的作答情况，发现学生有用“形”解决问题的意识，但主动性并不是很强。两份试
3
卷的对比中也发现虽然使用试卷B的学生较之试卷A借助画图解决问题的比例较少，但画出的图形式更直观、形象、新颖。 具体题目分析： 第一题：
统计结果为：
第二题：
通过对学生访谈了解到，学生选择A的主要原因是:1.“不管怎么截，它截的总是在第一次的二分之一里面截，所以永远超不出去二分之一。”2.认为后面的分数特别小，所以可以忽略了。选择D的主要原因是觉得“剩下的部分越来越小，总会有剩余，一直在变化，不知道是多少。” 第三题：
结果分析如下： 学生 作品
所占百分比 6.45% 12.90% 12.90% 67.75%
简要 分析
根据发现的规律写
出已知的加数，用“…”表示无限的结
果，并用“1-”表示被截去木棒的长
度之和。
根据发现的规律写出已知的加数，用“…”表示无限的结
果。
能写出有限的加数，但不知道应该用“…”表示无限的结果。
不知道用什么样的算式表示，写出的算式不正确或没有作答。
完全填正确 至少一题出现错误
百分比
51.6%
48.4%
n
4
教学方式：学生独立思考、自主操作、合作交流。
教学手段：做中学、学中思
技术准备：多媒体课件、正方形、圆、三角形学具和学习单
教学目标(内容框架)
教学目标：
1.学生通过自主探究找到图形与算式之间的联系，利用图形解决有关数的问题。
2.使学生在解决问题的过程中，体会和感悟极限思想、数形结合思想、归纳推理等数学思想。 3.在解决问题的过程中使学生体会到数形结合的魅力，感受数学的神奇，增强对数学的热爱之情。 教学重点：利用“形”解决稍复杂的有关“数”的问题。 教学难点：体会极限思想。
教学流程示意(可选项)
教学过程(文字描述)
一、品数学文化，启数学思维 （一）再现文化，用形解读
课件出示：
知识拓展：
这是《庄子天下篇》中的一句话。你们知道“一尺”表示多长吗？
我们生活中三尺为一米，“一尺”即为33.3…（3的循环）厘米，在庄子生活的时代“一尺”表示31.68厘米。
数
与形（二）
回顾学习历程，畅谈学习感受
品数学文化，启数学思维
再现文化，用形解读 依托图形，呈现算式
回顾调研，引发思考
迁移知识经验，探索新的问题 借数形关系，研数学问题
感受数中有形，形中有数
体会数能助形，形能辅数 回顾研究历程，升华认识
明确任务，提出问题
5
提出问题：能借助这条绳子（31.68厘米）来解释一下这句话的意思吗？ 请两名学生到前面讲解，一边操作，一边记录，教师协助，并进行板书。 板书：
提出问题：还能继续截取吗？
学生在讨论中明确这样的过程没有结束，但因为截取的部分越来越小，也越来越不好表示，可以用省略号来表示。 板书：像这样分下去…… （二）依托图形，呈现算式
提出问题：能用一个算式表示出木棒被截去部分的长度之和吗？ 预设1：+++++…… 追问：你是怎么想到这个算式的？
这里的“……”表示什么意思？（板书：像这样加下去） 这个算式与我们以前学习过的算式有什么不同？
讨论中明确：1.这个算式从开始加起，后面一个分数是前面一个分数的。 2. 这个算式中加数的个数是无限的。 预设2: 1－
追问：这里的n代表什么意思？为什么要用1去减？ 提出问题：这个算式与第一个算式有什么不同？
交流中明确：第一个算式借助每天截取的部分，将所有部分相加求出截取部分的总和，这个算式利用剩余的部分，从“1尺”中减去每次截取后剩下的部分就是截取部分的总和。
【设计意图：借助数学文化自然的引出线段模型，从而得出本节课要研究的算式，同时在分析数学文化的同时，理解了算式中每一个加数的含义，为解决问题做好铺垫。】 （三）回顾调研，引发思考
提出问题：如果我们这样不断的截取下去，木棒被截去部分的长度之 和将会无限趋近于多少呢？ 课件呈现学生的作答情况：
n ……
6
引发思考：你们谁的想法正确呢？
下面我们就以小组为单位进行验证。
【设计意图：有效利用课前调研，发现学生的真问题，激发学生的研究欲望，引发学生的真思考。】 （四）明确任务，提出问题 1.明确要求，制定计划
课件出示研究记录单和活动建议。 2.确定问题，选择学具
学生小组讨论确定研究问题，同组商讨研究的方法，自主选取合适的研究工具。 教师为学生提供研究工具：
二、借数形关系，研数学问题 （一） 感受数中有形，形中有数 1.计算体验，感受“无限接近”。
引发学生思考：可以用化繁为简的方法，即先算简单的，再由简单的推算出复杂的。 预设： 与1相差
+++++……的结果将越来越接近于1。
提出问题：通过计算你发现了什么？如果继续加下去，结果会怎么样？
评价：这组同学特别具有想法，他们勇敢的用“数”进行研究，验证自己的想法，而且思考的非常深入。 板书：数
2.数形结合，体会极限思想。 （1）借助圆，建立数与形的联系 学生以小组为单位进行汇报
提出问题：你们为什么不继续折了？得出了什么结论？ 课件演示，建立算式与图形之间的联系
第一小组作品：
7
（2）借助正方形，感悟极限思想 ①学生以小组为单位进行汇报
提出问题：为什么分母比分子少1？少的1在哪儿？
②教师板贴学具：分到
提出问题：看到这里你们有什么感受？
引发思考：原来那么一大张纸，当我们分到第八次时，就只剩指甲盖那么大了。想象一下，如果继续下去会怎样？
学生想象，尝试用语言描述剩下图形的大小。 ③课件演示，帮助学生理解极限思想 课件演示：加到加数为“
”
提出问题：和你们想象的一样吗？
有什么感受？ 这时分了第多少次？
课件演示：在放大镜下继续分，
加到加数为“
”
提出问题：现在我们分到了第17次，这件事还没有结束，后面还有很多加数呢！像这样加下去会怎样？如果此时把放大镜拿走，你看到的画面会是什么样的？
【设计意图：通过化繁为简的计算方法和用圆或正方形图操作两种方式的交流，勾连算式与图形之间的联系。在计算的过程中学生感受随着加数的增加得到的结果越来越接近1，用图形验证的过程
第二小组作品
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鼓励学生进行想象并通过语言描述以及和身边事物的对比，使学生体会“形”的直观，进一步体会极限思想。】
3．回归线段，审视“结论”
提出问题：同学们借助一尺长的绳子，理解了庄子的话，还列出了这样一个加数个数是无限的算式，又凭自己的经验对算式+++++……的结果进行了验证。这个算式和“1”中间应该用什么符号来连接呢？ 预设：＜、≈
提出问题：刚才我们验证了半天，是无限趋近于1，很多同学都认为用“≈”连接？为什么书上要
用等号来连接呢？
【设计意图：经历了亲身验证后，首先带着学生会回到课前的线段模型，在一维空间印证二维的发现。当学生怀着“自信”的心情打开书进行验证，此时却产生了矛盾冲突，发现书中居然是用“=”来连接的。这又一次激发了学生的思考，努力挖掘背后的原因，找到了起到关键作用的“…”，这时孩子们对极限的思想认识的就更为深入了。】 （二）体会数能助形，形能辅数
提出问题：能不能再用“数”来验证“形”得出的结论呢？ 课件出示
方法一： 方法二：
【设计意图：由形抽象出算式后，学生不仅用形验证了数，此时又由形回归到数，感受到数能助形，形能辅数，对数的精准与形的直观有了较为深刻的体会，更感受到数与形结合的妙处。】 （三）回顾研究历程，升华认识 1．分享交流，总结价值
通过刚才的研究你有什么收获？有什么想跟身边同学分享的？ 提出问题：既然能算出来，为什么还要用图形？ 2. 文化印证，感悟魅力
出示著名数学家华罗庚先生说的话：数形本是两依倚，焉能分作两边飞。
数缺形时少直觉，形少数时难入微。 数形结合百般好，隔离分家万事休。
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【设计意图：此时华罗庚先生的话不是生硬的告知学生，而是建立在学生感悟的基础上，是对发现学生的验证与提升，学生的成就感油然悄然而生。】 三、迁移知识经验，探索新的问题 你能用所学知识解决下面的问题吗？
提出：你准备用什么方法来解决这道题？“数”还是“形”？ 预设1：用“数”来解决，通过+++++……=1进行推理 提出问题：与刚才的算式比，有什么异同？ 学生发表自己的观点后教师课件提示：
预设2：用“形”来解决
提出问题：1.你准备用什么图形来帮助你解决问题？
2.如果这个图形表示“1”，算式的结果会是多少？
课件出示：
学生分析后教师课件提示：
【设计意图：本题提供了比较开放的空间，学生可以用数借助例题的研究成果发现加数之间的关系得到结论，也可以根据加数的特点借助形在探索，即可以根据题目的特点选择合适的方法解答。从而进一步体会数与形各自的特点和它们之间密不可分的关系。在应用本节课的知识解决问题，巩固所学知识的同时，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。】 四、回顾学习历程，畅谈学习感受
通过今天的学习你有什么新的收获或认识？
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
