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视频课题：人教A版必修第一册第三章3.1.1函数的概念_合肥市一中第1课时教学设计
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人教A版必修第一册第三章3.1.1函数的概念_合肥市一中13.1.1函数的概念第1课时教学设计合肥一中陈
教材：人教A版高中数学必修第一册
课题：3.1.1函数的概念(第一课时)
授课教师：安徽省合肥市第一中学 陈
一、课时教学内容与内容解析
1.内容
函数的三要素；“对应关系说”下的函数概念.
2.内容解析
内容的本质：在两个数集之间建立对应关系（单射）是函数概念的本质,用集合语言和对应关系刻画函数概念是数学抽象素养得到提升的重要标志.
蕴含的思想方法：学生在初中学习过函数概念,函数定义采用“变量说”.高中阶段要建立函数的“对应关系说”,它比“变量说”更具一般性.函数所蕴含的集合间的“对应”是一种重要的数学思想与方法,通过具体情境抽象出数学模型,渗透着数学抽象,直观想象的思想.与初中的“变量说”相比,高中用集合语言与对应关系表述函数概念；明确了定义域、值域、引入抽象符
,蕴含着等价迁移的思想.
知识的上下位关系：函数是现代数学中最基本的概念,是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具. 在高中阶段,函数不仅贯穿数学课程的始终. 而且是学习方程、不等式、数列、导数等内容的工具和基础,在物理、化学、生物等其他学科中也有广泛应用；在高等数学中,函数是基本数学对象；在实际应用中,函数是数学建模的重要基础.
育人价值：函数所蕴含的集合间的“对应”是一种重要的数学思想与方法帮助人们在不同事物之间建立联系,并运用这种联系去研究、发现事物变化的规律,掌握事物本身的性质,这对于提高人们的思想认识,指导日常行为有着重要的意义与价值.
教学的重点：用集合语言与对应关系建立函数概念.
二、课时教学目标与目标解析
1.课时教学目标
（1）经历“对应关系说”观点下用集合语言表述函数概念的过程,发展学生数学建模、数学抽象的能力.
（2）经历理解
的含义,能用函数的定义刻画简单具体的函数的过程,发展学生的逻辑推理、数学抽象的能力.
（3）经历由具体函数实例到一般函数概念的归纳过程,发展学生数学抽象的能力.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）学生从具体实例出发,能在初中“变量说”的基础上,进一步抽象对应关系、定义域与值域等三个要素,构建函数的一般概念.
（2）学生能在确定变量变化范围的基础上,通过解析式、图象、表格等形式表示对应关系,理解函数对应关系的本质. 体会引入符号
表示对应关系的必要性.
（3）学生能在不同实例的比较、分析基础上,归纳共性进而抽象出函数概念,体验用数学的眼光看待事物,发展数学抽象素养.
三、课时教学问题诊断分析
学生在初中学习函数概念时,没有涉及自变量与函数值的取值范围,也不知道为何要研究变量的取值范围,这是教学中首先遇到的问题,教学中应结合教科书实例1与实例2的分析、比较让学生认识到研究自变量、函数值取值范围的必要性.
如何认识函数的对应关系,就成为了第二个教学问题. 教学中,要让学生通过四个实例建立解析式、图象、表格与函数对应关系的联系,通过具体的解析式、图象与表格去体会变量之间如何对应,由此抽象出函数的对应关系的本质.
在对四个实例分析的基础上,学生认识到了函数自变量的取值范围,函数值的取值范围及对应关系对于函数的重要性. 但是如何在此基础上让学生进行归纳、抽象出函数概念,并以此培养学生的数学抽象素养,成为第三个教学问题,这也是本节课的教学难点. 教学中可以将四个实例各自得到的三个要素表格化,让学生从表格中抽象出函数要素及其表示,并在此基础上给出一般的函数概念.
在得出函数概念后,如何用新的函数概念重新认识已经学习过的函数,建立知识之间的联系,是第四个教学问题. 教学中,除让学生按函数定义,仿照四个实例的分析去具体表述一次函数、二次函数、反比例函数外,还必须重视让学生采用教科书中的练习题与习题进行练习,也可以根据学生的学习状态适当增加一些题目供练习.
教学难点：如何在实例分析的基础上让学生通过比较、归纳、概括不同案例中的共同特征,并由此建立函数概念.
四、教学支持条件分析
本节课的教学重点是认识函数要素并建立函数概念,会涉及函数值的计算、图象的应用及分析所得信息,因此可以借助于信息技术或者几何画板解决以上问题,以让学生有更多的时间用于观察与思考函数的基本要素和抽象概念上.
五、教学方法与教学手段
问题引导教学法、启发式教学、小组合作学习.
六、教学过程设计
引导语：同学们好！第一章我们学习了集合和常用逻辑用语,第二章学习了一元二次函数、方程、不等式,本章是前面内容的延续----函数.本章的知识框图如下：
这节课我们将学习第一单元中第一课时：函数的概念.
我们知道,客观世界中有各种各样的运动变化现象.例如,“神舟十二号载人飞船“在发射过程中,离发射点的距离随时间的变化而变化;一个装满水的蓄水池,在使用过程中,水面的高度随时间的增大而不断减小;我国高速铁路运营里程在逐年增加,已突破 2 万公里……所有这些现象,常常用函数模型来描述,并且通过研究函数模型就可以把握相应的运动变化规律.在初中我们已经接触过函数的概念,知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具.
（一）知识回顾,提出对象
回顾：初中已经接触过函数的概念,我们是如何定义函数的？
初中函数的定义：
如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,我们就说x是自变量,y是x的函数.
设计意图：通过回顾初中函数的内容,为后面问题的提出提供基础,为本节课继续学习函数概念提供了契机,让学生了解到需要用更精确的语言描述函数的必要性.
（二）创设情境、构建概念
问题1：请同学们根据如下情境回答问题：
某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时.
（1）这段时间内,列车行进的路程
（单位：km）与运行时间
（单位：h）的关系如何表示？这是一个函数吗？为什么？
师生互动：学生先独立思考,再和小组同学交流确认.对应关系是S=350t,并且对于任意的时刻t,都有唯一确定的路程S 与它对应.因此,这是一个函数.
（2）如果有人说：“根据对应关系
,这趟列车加速到350km/h后,运行1h就前进了350km. ”你认为这个说法正确吗？
师生活动：小组同学交流,教师请学生回答补充.由于无法确认在0.5h之后列车速度,因此这种说法不正确.
设计意图：通过具体的情景,以及问题的设置,使学生认知上产生冲突,发现原有初中的函数概念不严谨,为本节内容的学习提供了必要性.
（3）你认为如何表述S与t的对应关系才能更精确？
学生活动：学生在小组中展开讨论,教师对小组的讨论做出提示与纠正.
设计意图：为了让学生关注到的变化范围,并尝试用精确的语言表述. 从初中的”变量说”自然过渡到现在的”集合说”.教师可以在学生回答的基础上给出精确表述的示范.
问题2：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天,至多不超过6天,如果公司确定的工资标准是每人每天350元,而且每周付一次工资,那么：
（1）你认为该怎样确定一个工人的每周所得？
（2）一个工人的工资
是他工作天数
的函数吗？
设计意图：通过前面两个问题让学生继续通过初中对函数概念的认知,判断是否为函数.
（3）你能仿照问题1中对与的对应关系的精确表示,给出这个问题中与对应关系的精确表示吗？
师生活动：学生回忆刚才老师的示范,独立思考,初步形成函数概念的精确表示,并试着通过集合语言来精确表示具体的函数.
问题3：图1是北京市2016年11月23日的空气质量指数（Air Quality Index,简称AQI）变化图.
（1）你认为这里的
是的函数吗？
师生互动：学生小组交流,教师引导学生可以举例说明,比如：你能找到中午12时的I值吗？学生的答案不一,是否说明对于任一时刻t,无法找到唯一确定的I值与它对应呢？由于误差,导致答案不一,但对应的I值确实是唯一存在的.
（2）你能仿照前面的方法描述与的对应关系吗？
学生活动：学生小组交流,按照前面的精确描述,学生已经形成了“集合对应说”下的函数概念模式,但是对应关系是图象,学生不能确定.教师按照定义解释图象对应关系存在的合理性.对于函数值的集合本题中无法精确的表示,教师引导学生可以通过函数值所在的集合来代替函数值的集合,体现了函数概念中,对于集合B的容纳性.
设计意图：学生根据图像描述对应关系有困难,特别是在值域不能完全确定时,通过引入一个较大范围的集合,使函数值“落入其中”. 这是学生经验中不具备的. 实际上,如果用映射观点看,这时的映射就是非满射. 为此,在问题（1）之后,先让学生认可图象表示一个函数.然后再通过教师讲解,给出对应关系的描述方法,从而化解难点. 这里,学生只要理解是的函数,并能够接受这种描述方式就可以了.
问题4：国际上常用恩格尔系数
（
）反映一个地区人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高. 表1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况,从中可以看出,该省城镇居民的生活质量越来越高.
表1 我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况
年份 |
2006 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 |
|
恩格尔系数（%） |
36.69 | 36.81 | 38.17 | 35.69 | 35.15 | 33.53 | 33.87 | 29.89 | 29.35 | 28.57 |
是年份的函数吗？为什么？
,将对应关系表述为“对于任何一个年份都有,都有
中唯一确定的
与之对应”,你认为有道理吗？| 问题情境 | 自变量的集合 | 对应关系 | 函数值所在集合 | 函数值的集合 |
| 问题1 |
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| 问题2 |
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| 问题3 |
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图1 |
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| 问题4 |
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表1 |
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,按照对应关系,在数集B中都有唯一确定的数
与它对应. 事实上,除解析式、图象、表格外,还有venn图、文字等其他表示对应关系的方法,为了表示方便,我们引进符号
统一表示对应关系
是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系
,使对于集合
中的任意一个数,在集合
中都有唯一确定的数和它对应,那么就称
为从集合
到集合
的一个函数,记作
叫做自变量,的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值,函数值的集合
叫做函数的值域.
,
. 而在函数的定义中强调：（1）值域
（2）函数的三要素：定义域、对于关系、值域.| 函数 | 一次函数 | 二次函数 | 反比例函数 | |
| 对应关系 |
 |
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| 定义域 | R | R |
 |
|
| 值域 | R |
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 |
吗？
的特征,特别是对于“A中任意一个数”“B中都有唯一确定的数”等关键词的含义要认真体会;的表示形式可以是解析式、图象、表格等多种形式,但它们的实质相同. 在后续的学习中要注意积累用适当的方式表示函数的经验.
来描述.| 一、函数的定义 | 例1： | |
|
定义域、对应关系f、值域 任意一个数x,都有唯一确定的数y |
（1）设边长x 面积y=x(10-x) |
(2) 设一个数x y=x(10-x) |
落到地面击中目标.炮弹的射高为845
,且炮弹距地面的高度
（单位：m）与时间
（单位：s）的关系为
.①
来描述.
,高是
.现在以
的速度向容器内注入某种溶液.求容器内溶液的高度
（单位：cm）关于注入溶液的时间（单位：s）的函数解析式,并写出函数的定义域和值域.
,方程
①
,对应关系
使方程①的解
和
对应,判断
是否为函数;
,对应关系
使方程①的解和对应,判断
是否为函数.视频来源：优质课网 www.youzhik.com
