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视频标签：函数的零点和方程的解
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视频课题：高中数学部编版新教材课堂教学优质课比赛人教版必修第一册4.5.1函数的零点和方程的解
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高中数学部编版新教材课堂教学优质课比赛人教版必修第一册4.5.1函数的零点和方程的解
4.5.1 函数的零点与方程的解
一、教材分析
本课选自人教A版高中数学必修一第四章第5节第一课时，本节课是在已经学习了幂、指、对函数的基础上进行学习的，是对已学知识的应用升华和拓展。本节课安排在幂，指对函数之后，符合学生的认知需要，是很自然而然的事情，同时又为接下来方程的近似解的求解打下了坚实的理论基础，同时函数也是整个高中数学学习的一条主线，因此在知识结构上起着承上启下的作用。良好的教学最终要落实到学生身上，因此我们要对学生有基本的了解。
二、学情分析
1、心理特征：高一的学生思维活跃，好奇心重，喜欢将所学知识综合应用以达到产生反应形成新的知识架构。
2、认知困难：但是高一的学生的思维具有单一性，很容易接受具体直观现象，对抽象的概念接受能力较弱。
3、知识基础：本节课重点取材于一次、二次函数、幂函数、指对函数的图像和相关性质，采用从特殊到一般的方式帮助学生从函数的观点认识方程。
三、核心素养目标
1数学运算素养
①以指对数运算性质为基础，完成函数的零点和探究零点存在性定理的过程中的运算要求。意识到函数零点与方程的解的有机联系，通过函数的应用发展运算能力。
②能有效的借助运算方法解决相应的实际问题，通过运算促进数学思维的发展，形成一丝不苟，严谨求实的科学精神。
2 数学抽象素养
①从一次二次函数的零点推广到一般性函数，抽象出零点的一般性定义，探究零点存在的问题过程中，从特殊到一般概括形成零点存在性定理。
②概念、定理形成的过程促使学生通过抽象、概括去认识，理解，把握事物的数学本质，能逐渐养成一般性思考问题的习惯，能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题。
3逻辑推理素养
①类比一次二次函数的零点给出一般性函数的零点概念；学生通过探究特殊函数零点存在的情形归纳出一般函数的零点存在性的条件。
②探究零点存在的过程中理解数学知识之间有着内在的联系，并同时建构知识框架，形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，增强数学的交流能力。
4直观想象素养
①感知函数图像的直观性下隐藏的数学本质，建立起形与数的联系，提炼出一般性结论。
②通过自主探究增强运用图形和想象思考问题的意识，提升数形结合的能力，感悟事物的本质，培养创新思维。
5 数据分析素养
①通过分析表格中函数值的变化情况，利用零点存在定理来判断函数的零点存在情况。
②提升数据分析能力，增强基于数据表达现实问题的意识，养成通过数据思考问题的习惯，积累依托数据探索事物本质，关联和规律的活动经验。
四、教学重难点
1.重点：函数零点与方程的解的关系，函数零点存在定理的应用
2.难点：函数存在定理的导出。
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教法：多媒体教学法、情境教学法、启发式教学法、分组交流讨论法。
六、教学过程
复习引入：第二章中我们已经知道了二次函数的零点的概念，即一元二次方程的实数根为相应的二次函数的零点，那么这个零点的概念能不能类比到其他一般的函数上呢？
思考：其它一般的函数和对应的方程也有同样的关系吗？
通过观察图象可得方程的根就是对应函数图象与x轴交点的横坐标。
函数零点定义：对于一般的函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
注意：（1）零点不是点，是一个实数。
（2）零点的定义里包含的等价关系
1.求函数零点的常用方法：方程法和图像法。
例1 求下列函数的零点
思考：是不是所有的函数都有零点？什么样的函数才会有零点？
2.探究（一）零点的存在性
分组探究：
活动1：请各位同学根据要求完成《函数的零点与方程的解》活动记录卡
假设函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，请画出下列两种情况下经过A、B两点的可能的函数图象，并分析是否一定存在零点？
情境一： 情境二：
结论：连续不断的函数在区间[a,b]端点处函数值异号即f(a)·f(b) ＜ 0时，函数存在零点。
活动2：如果f(a)·f(b) ＜ 0，但图象不是连续不断的,是否一定有零点?
（作图说明）
结论：
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零点存在性定理：如果函数y =f(x)在区间[a,b]上的图象是
连续不断的一条曲线，并且
f(a)·f(b)<0,则函数在(a,b)内有零点。即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程的根。
思考：定理确定了存在零点，那么零点是多少个呢？能确定吗？
-
探究（二）函数零点的个数
总结：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是
连续不断的一条曲线， 并且
f(a)·f(b) ＜ 0,且是
单调函数,那么这个函数在(a,b)内必有唯一的一个零点。
6.零点存在性定理的应用
解：由于方程无法求解，可利用等价关系转换成求相应函数零点的个数，再借助Geogebra画出函数
图像
思考：还有没有其他方法？
解法2：估算 f(x) 在各整数处的取值的正负，同时结合函数的单调递增的性质即可判断零点的个数。
解法3：将 f(x)=lnx+2x－6的零点的个数转化
为y=lnx与y=－2x+6的图象交点的个数。
七、作业布置：1，复习巩固已学知识方法
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课后练习P144
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了解相关的数学史：阅读与思考P147
八、课堂小结：①函数零点的概念
②函数的零点与方程的解之间的等价关系
③函数零点存在性定理
④函数零点的判断方法
九、板书设计：
十、课后反思：
《函数的零点与方程的解》学生活动记录卡
【核心素养目标】
1、了解函数的零点与方程解的关系；培养学生直观想象的核心素养。
2、研究从函数特征判定方程实数解的存在性，理解函数零点存在定理；培养学生数学抽象，逻辑推理的核心素养。
【重点难点】
1、函数零点与方程解的关系；
2、函数零点存在定理的导出；
3、函数零点存在定理的应用。
【自主探究】
一、探究：函数零点存在性
活动1：假设函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，请画出下列两种情况下经过A、B两点的可能的函数图象，并分析是否一定存在零点？
情境一：
情境二：
思考：在怎样的条件下可以确定函数有零点？
归纳总结：
活动2：如果f(a)·f(b) ＜ 0，但图象不是连续不断的,是否一定有零点?
（请试着作图说明）
结论：
二：探究：函数零点的个数
如果函数y =f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a) ·f(b)<0,则函数在(a,b)内有零点．
问题一：作图观察函数在区间(a,b)内可能有几个零点？
问题二：如果函数是单调函数，端点值异号，有几个零点？
思考：在什么样的条件下可以确定函数零点的个数？
总结：
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