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视频标签：任意角
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视频课题：高中数学1.1.1《任意角的概念 角的概念的扩充》安徽
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《任意角的概念》教学设计
吾爱吾师，吾更爱真理。----亚里士多德
内容分析：任意角的概念既是初中角的概念推广,也是刻画现实世界中周期性现象的数学模型,它是学习任意角三角函数的基础，具有开启全章，承前启后作用。概念建立过程中隐含的抽象、归纳、概括、类比、数形结合、分类讨论等数学思想方法和思维方法有助于学生数学素养的提升。
二、学情分析
1.教学对象：高一学生
2.认知上：学生头脑中已经有角的概念，但局限在不超过360°的正角。
3.能力上：学生缺乏从现实背景中抽象、归纳出数学概念的能力，需要教师给予认知策略与方法的指导。
4.情感上：思维活跃，做事拖拉，较粗心，多数学生不大喜欢数学，甚至害怕数学，对学好数学缺乏足够的信心。
三、目标分析
1、知识与技能
（1）推广角的概念、引入大于360°角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；（4）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（5）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（6）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.
2、过程与方法
通过创设情境：“转体720°，逆（顺）时针旋转”，角有大于360°角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；；讲解例题，总结方法，巩固练习.
3、情态与价值
通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.
4.教学重难点：
（1）教学重点：角的概念的扩充过程，任意角的概念，象限角
（2）教学难点：角的概念的扩充过程，任意角的概念；
5．教学准备：
课前准备：钟表，三角板，多媒体课件等；
四、教学过程
一：复习回顾，概念导入
初中角的定义：
①从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形
②也可以说角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形
历史上的角：
一条直线，如果弯曲，但依然连续，它就产生一个角
-------亚里士多德
平面角，是在一个平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜率，当包含角的两条线都是直线时，这个角叫做直线角
---- 欧几里得
教师活动：提问
学生活动：学生思考回答
设计意图：通过复习，帮助学生回忆初中角的定义，通过数学史的渗透，让学生了解角的发展历史。
二、概念导入
问题1：
1、 时针拨快一小时，分针转多少度
2、时针拨快两小时，分钟转动多少度？
3、时针拨慢一小时，分针转动多少度？和时针拨快一小时，分针转的角度一样 吗？
问题2：你能举出生产生活中其它大于360°的角吗？
摩天轮旋转所形成的角、旋转木马旋转所成的角等。
设计意图：让学生通过大量的具体例子感觉到角可以任意大。
问题3：请你用扳手将螺母转动30°角，请问此时螺母转紧了还是转松了？
设计意图：让学生意识到，这里有两种情况，需要区分角的旋转方向。
问题4：你能举出生产生活中其它需要区分旋转方向的角吗？你能从数学角度刻画这些角吗？
教师活动：提出问题启发引导学生思考，开展小组讨论，在学生充分讨论。
学生活动：自主探究，小组讨论，观察，归纳，类比，分析。
设计意图：通过学生熟悉的例子，构建数学模型与现实模型之间转换,有助于概念建立。让学生认识到角不仅可以任意大，也可以任意小，并类比实数建立负角的概念。进而指出：数学上通常规定逆时针方向旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转所成的角为负角。
问题5：刚才这个角的概念还有值得完善的地方吗？
设计说明: 类比数有正数、负数、零，让学生认识到角也应该有正角、负角、零角。进而通过师生讨论明确：数学上规定当射线没有旋转时，也可以认为形成一个角，这个角就是零角。
设计意图：以生产生活问题入手并类比实数得出任意角概念的方式重在让学生感受角来自现实，高于现实。
三、概念形成：
1.角的定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
2,角的构成要素:
规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角
按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角
问题6：如何表示任意角？
教师活动:提出问题，启发引导学生回顾初中角的表示方法得出任意角的表示。
学生活动：思考，讨论，归纳，概括。
设计意图：让学生通过讨论明白：应用弧线表示角的大小,用箭头表示角的旋转方向，旨在更好的理解任意角的概念。
问题7：面对庞大的角的家族，我们又该如何更好地研究它？
设计意图：让学生认识到，为了研究方便，需要建立象限角、界限角的概念。
教师引导学生思考：我们曾借助数轴研究数，借助直角坐标系研究点和曲线,那我们又该借助什么工具研究角呢？
教师活动:提出问题,要求学生思考,讨论,交流,发表见解；借助多媒体展示角在象限中如何放置。
学生活动：思考,观察,类比,分析。
象限角的概念：为了研究方便，经常在平面直角坐标系中研究角。将角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合。终边在哪个象限就是第几象限的角。
教师活动:给出概念,并且追问那90度呢？完善概念。
学生活动：思考,讨论,交流，归纳。
设计意图：让学生通过讨论认识到：如果把角放在直角坐标系中，并使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么我们研究角时就有了统一标准。
四：概念深化
练习1：
判断下列说法是否正确,如果错，请举例说明理由：
①第一象限的角一定是锐角；②锐角一定是第一象限角；
③小于
的角一定是锐角；④第一象限角一定是正角；
⑤一条射线没有作任何旋转时,则没有形成角；
⑥第二象限角比第一象限角大。
教师活动：要求学生先独立思考，再组内合作讨论，
学生活动：独立思考，讨论交流，踊跃发言，生生之间相互提问答辩，知识内化。
设计意图：这种师生互动，生生互动方式能够帮助学生厘清概念的内涵和外延，完善认知图式。
练习2：
在直角坐标系中分别画出下列各角，并指出它们是第几象限角
390°；30°；270°；－330°； －45°；－300°;
教师活动：要求学生独立在图纸上规范画图，后部分学生作品汇报，教师对学生作品进行点评，然后对学生在象限中画角步骤进行归纳点评。
学生活动：动手画图。
设计意图：独立画图，组内自评，借助信息技术进行校对，提高课堂有效性。
练习3：你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你将如何将它校准？当时间校准后分针旋转了多少度？
练习4：将射线OA先逆时针旋转30°
-
再逆时针时针旋转80°，形成的角是多少度？
-
如果在第一问的基础上，再顺时针旋转120°，则形成的角是多少度？
教师活动：要求学生独立思考，合作交流，汇报反馈，教师加以归纳点评。
学生活动：思考，交流，展示。
设计意图：以贴近生活走进专业方式感受数学服务于现实，数学知识的价值魅力。
五：回顾反思 拓展概念
知识：
方法：抽象、归纳、概括、类比、分类讨论等；
学生活动：独立思考，分组讨论,交流发表。
设计意图:由学生自己总结,调动学生积极性,再次加深对任意角的概念理解,同时也培养了归纳概括能力,养成反思的习惯。
作业：
1、预习终边相同角的概念
2、拓展作业： 查找资料，了解角的扩充过程。
3.板书设计：
投影
屏幕 |
1.1.1任意角的概念
1.任意角
2.象限角
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板演区 |
设计意图：板书简单明了，体现教学意图,突出教学重点。留下足够空间有助于学生发挥和创造力培养。
六、教学反思
（ 一） 设置情境， 注重适切性
郑毓信教授认为： 一个好的问题情境除了能够激发学生的学习兴趣外， 应在课程的进一步展开中对学生的数学认知起到导向作用， 而不仅仅是“敲门砖” 而已.即应当成为相关学习活动的“认知基础” .本节课中， 笔者设置了两个不同形式的情境：一是多媒体的展示， 强调规觉形象； 二是时钟的调整实验， 强调动手操作.这为学生提供了丰富的“角” 的生活场景， 在轻松愉悦的气氛中引发学生抽象出数学概念， 发现数学问题同时， 分针拨快拨慢的两次不同旋转、 跳水运动员翻转，给学生留下“所形成的角也不同”的深刻印象.这样的情境设置不仅起到课题引入的作用， 也为定义任意角、 刻画任意角做了厚重的铺垫.
（ 二） 设计问题， 注重思维性
数学是思维的科学， 发展学生思维和智慧是数学教育的重要任务， 关注学生的发展是课堂的首要目标.问题是数学的心脏， 思维从问题开始， 思维活动又形成新的问题， 这种递进式的设问过程为学生的主动学习搭起了支架.本节课从实际生活情境出发， 让学生自主发现其中的数学元素、 提出数学问题； 并类比数的发展过程，探究对角的范围进行扩充； 得到任意角的概念后， 自然涉及任意角的表示方法， 而在表示过程中又出现了新的问题……问题的设计环环相扣， 不断促进思维的深入.整个过程中教师始终处亍引导地位， 合理放手， 让学生自主探究、 合作认论， 展示交流， 亲身体验知识的生成过程， 领悟数学发现的魅力， 既有学生的独立思考， 又有相互协作， 既有合情的方法， 又有合理的质疑， 概念在对话中清晰而深入， 思维在思辨中锤炼而升华.
（ 三） 制订活动， 注重过程性
数学学习应该是一个慢中求悟、 自然生成、 探究推理的过程.所以，本节课我把内容设定在任意角概念的扩充和象限角，而舍弃了终边相同角的内容，目的就是能让学生亲历知识的发生发展感受角的概念的扩充过程， 教学力求朴实无华.课题的引入要以学生已有的知识为起点， 朴素地追问现实中的数学问题.探究过程要自然地逼近数学本质， 为了达到有效， 需要把复杂的问题分解成几个简单的、 易于处理的问题， 使活动始终贴近学生的数学现实， 处亍他们的最近发展区， 让学生在自我发现、 自主探究、动手实践、 合作交流中的过程中感受知识和方法， 通过探究知识的发生发展过程， 增强学生的认知力， 从获得知识到拥有智慧.学生只有经历了质疑、 判断、 比较、 选择，以及相应的分析、 综合、 概括等认知活动， 感受多种观点的碰撞、 论争和比较， 才能真正理解和巩固所学知识， 从而使创新精神和创新思维的培养落到实处.
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