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视频课题：人教A版高中数学必修第一册3.4 函数的应用(一)合肥
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人教 A 版高中数学必修第一册3.4 函数的应用(一)合肥13.4函数的应用一教学设计合肥北城中学马赛
教材：人教A版高中数学必修第一册
课题：3.4函数的应用(一)
一、课时教学内容与内容解析
1.内容
函数的应用（一），体会利用函数模型解决实际问题的过程和方法.
2.内容解析
（1）内容的本质：在实际问题中抽象出函数模型，通过对函数模型的运算推理，解释说明实际问题.
（2）蕴含的思想方法： 实际问题中一般会涉及到多个变量，并且存在的形式是多样的，如文字语言的描述中、表格中、图形中等，准确发现变量及变量间的关系，蕴含着数形结合、转化与划归的思想方法.
（3）知识的上下位关系：基于函数的概念与表示、基本性质学习之后学习函数的应用，注重了先构建整体思路，再具体实施应用；学生已掌握了一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数图象与性质，已具备建立部分函数模型和分析运算部分函数模型的基本知识和能力；明确了指数函数、对数函数、三角函数、数列、导数等函数应用的分析过程和方法.
（4）育人价值：根据实际问题建立函数模型，并通过运算推理解释说明实际问题，本节是培养学生分析和解决问题，发展学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、数据分析和数学运算等核心素养很好的载体.
（5）教学的重点：将实际问题中的量抽象成数学中的变量，并找到变量之间的关系.
二、课时教学目标与目标解析
1.课时教学目标
（1）理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.
（2）体会学习过的一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数等一些基本初等函数模型的实际应用，在实际应用中进一步体会函数的三种表示方法（解析式法、列表法、图象法）.
（3）体会利用常见的函数模型解决一些简单实际问题的过程与方法，在分析、解决问题的过程中，感受知识产生的合理性与必要性，在知识的运用过程中体会数形结合、分类与整合的思想方法.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）学生从实际问题出发，能在实际问题中找到存在的变量，并发现变量之间的关系.
（2）学生能将实际问题准确的转化成对应的函数模型，能利用函数的解析式法、列表法、图象法分析和理解实际问题.
（3）学生能在实际问题抽象转化成函数模型的过程中，体会函数的应用，发展数学抽象素养、逻辑推理素养、数学建模素养、数据分析素养和数学运算素养.
三、课时教学问题诊断分析
学生对于实际问题并不陌生，在第二章中已有根据实际问题建立不等式以解决实际问题的学习，本节是根据实际问题建立函数模型以解决实际问题，其内在既有联系又有区别；本节例1是3.1.2节例8的延续和深化，学生对于例8的理解可能本来就不是十分清晰，以及两例的间隔内容和间隔时间较长，教学中应适当回顾分析3.1.2的例8，之后分析本节例1.
例1中运算量较大，分段函数的形式复杂且相关数量较大，学生面对较大的计算量会有内心的抗拒和实际计算的障碍，实际教学中，要积极引导学生积极思考、积极参与计算，要让每个学生在实际操作中提高运算的能力和发展数据分析、数学运算的素养.
例2需要利用图形中的信息和问题中的数据建立函数模型，学生要有从图形中提取信息的能力，基于例1的学习，教学中本例可适当让学生先独立思考建立相应的函数模型，之后小组合作交流，教师予以适当引导.
本节两个例题的函数解析式相对都较为复杂，学生独立作图是个很大的障碍，因此教师可借助信息技术作图，展示图像，让学生体会函数图像可以很直观的看到整体的变化规律.
教学难点：将实际问题中的量抽象成数学中的变量，并找到变量之间的关系；函数模型的运算求解.
本节课会涉及分段函数解析式的计算、图象的应用及分析，因此可以借助于信息技术或者几何画板解决以上问题，以让学生有更多的时间用于思考如何从实际问题中抽象转化出函数模型上.
问题引导教学法、启发式教学、小组合作学习.
六、教学过程设计
（一）.引入
引导语：本章章引言（节选）：函数是贯穿高中数学的一条主线，是解决问题的基本工具；函数概念及其反映的数学思想方法已渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础.同时，函数知识有广泛的实际应用，并且是学习其他学科的重要基础.
梳理：本章已学习的内容。
师生活动：学生积极参与思考，师生共同完善结构
.
设计意图：基于函数的概念、表示、性质以及幂函数的学习，学生已对函数的内容、研究函数的基本思路和方法有了整体的认知，所以通过回顾完善本章内容，一是明确本节课的学习内容，二是让学生深刻的体会到本章内容中知识的整体性、关联性和内在的逻辑性.
（二）.例题
例1 设小王的专项扣除比例、专项附加扣除金额、依法确定的其他扣除金额与3.1.2例8相同，全年综合所得收入额为
（单位：元），应缴纳综合所得个税税额为
（单位：元）
（1）求
关于
的函数解析式
（2）如果小王全年的综合所得由189600元增加到249600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？
教师补充：同学们先自行回顾分析3.1.2节例8.
师生活动;学生认真回顾分析3.1.2例8后，教师再引导学生思考
教材第70页，例8：
依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为
应纳税所得额的计算公式：应纳税所得额=综合所得收入额—基本减除费用—专项扣除—专项附加扣除—依法确定的其他扣除
其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元，税率与速算扣除数见下表
（1）设全年应纳税所得额为
，应缴纳个税税额为
，求
-
若小王叔叔全年综合所得收入额为189 600元，缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52 800元，依法确定的其他扣除是4 560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？
“综合所得”：包括工资、薪金、劳务报酬、稿酬、特许权使用费；
“专项扣除”：包括居民个人按照国家规定的范围和标准基本养老保险、
基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金等；
“专项附加扣除”：包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息
或者住房租金、赡养老人等支出；
“其他扣除”：指除上述基本减除费用、专项扣除、专项附加扣除之外，
由国务院决定以扣除方式减少纳税的优惠政策规定的费用.
设计意图：以上为3.1.2节例8的内容，本节例1与3.1.2节例8息息相关，是例8的延续和深化，学生对于例8的理解可能本来就不是十分清晰，以及两例的间隔内容和间隔时间较长，所以学生先认真回顾例8对分析本节例1至关重要.
问题1：本题中涉及了几个变量？
预设答案：全年综合所得收入额
、全年应纳税所得额
和个税税额
、
师生活动：学生思考，展示，师生共同分析，明确欲探究分析
与
的关系，需要根据
与
的关系和
与
的关系.
问题2：全年应纳税所得额
和全年综合所得收入额
之间的关系是什么？请写出
与
的关系式.
预设答案：
追问1：实际问题中
与
的范围是什么？
预设答案:
追问2：实际问题中
与
的函数关系式是什么？
预设答案：
师生活动：学生独立思考，然后展示，师生共同完善.
问题3：根据全年应纳税所得额
和全年综合所得收入额
之间的关系，探究个税税额
与综合所得收入额
之间的函数关系式.
师生活动：学生先独立思考，合作交流，师生共同完善.
追问：当
在什么范围内时可以使
落到相应的区间？
设计意图：适当的引导学生思考.
预设答案：
师生活动：教师先展示前两段关系式的分析过程，之后学生独立思考，合作交流，请每组代表予以展示，之后师生共同完善.
设计意图：本例阅读量大，信息的发现和提取对于部分学生会比较困难，如果直接让学生思考
与
的关系，会有很大障碍，因此设计了几个问题，循序渐进，符合学生认知规律；同时，本例计算量很大，学生需要参与计算，以提高数据分析和数学运算素养，但是如果让每个学生参与计算每一段的关系式，会十分繁琐，课堂上会花费很多时间，不利于课堂上学生其他知识、能力、素养的培养，所以设计了分组计算，每组计算一种情况.
例1 设小王的专项扣除比例、专项附加扣除金额、依法确定的其他扣除金额与3.1.2例8相同，全年综合所得收入额为
（单位：元），应缴纳综合所得个税税额为
（单位：元）
（2）如果小王全年的综合所得由189600元增加到249600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？
师生活动：根据（1）的分析与所得结果，学生独立完成第（2）问.
设计意图：巩固学生对于分段函数的理解，训练学生的计算能力.
预设答案：
（三）.归纳
问题4：你能说说用函数解决实际问题的一般过程吗？
化归
运算推理
解释说明
师生活动：学生由例1的解析过程，独立思考，之后展示，之后师生共同完善.
追问：具体如何找函数模型？
预设答案：确定问题中的变量，找变量之间的关系.
设计意图：强化利用函数模型解决实际问题的过程与方法，通过归纳分析过程，利于提高学生实际问题的分析能力。
（四）.例题
例2 一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率
（单位：km/h）与时间
（单位：h）的关系如图所示
（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义
（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数
（单位:）与时间
的函数解析式，并画出相应的图象.
教师补充：同学们，例1的学习已经初步让我们感受到了如何分析实际问题，请同学们先独立认真审题，充分利用图形中的信息和问题中的数据，认真思考，先尝试独立解决.
设计意图：基于例1的分析、实际问题抽象出函数模型的归纳过程和常用函数模型的归纳，学生有了一定的知识基础和方法基础，所以先让学生尝试独立分析，以提高学生的数据分析、数学运算、数学抽象的素养；当然，可能会有同学依然不能正确的解决本例，所以学生独立分析之后，教师继续予以适当引导.
解：（1）阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.阴影部分的面积表示
汽车在这5h内行驶的路程为360km.
引导学生分析第（2）问时设置一下追问：
追问1：本问题中有哪几个变量？
预设答案：本问题中有平均速率
、时间
、汽车里程表读数
这三个变量，
追问2：本问题中是什么函数模型？为什么？
预设答案：不同时间段内平均速率不同，所以不同时间段内汽车行驶路程与时间的关系式不同，但是都是一次函数模型，因此，不同时间段内汽车里程表读数
与时间
之间的关系式也不一样，整体是一个分段函数，每一段都是一次函数的模型.
追问3：请求出汽车里程表读数
与时间
的函数解析式，并画出相应的图象.
预设答案：
设计意图：循序渐进的引导部分理解困难的学生思考，强化实际问题的分析过程和方法，同时让学生感受函数不同的表示法有不同的特点，如解析式是精确的、图象是直观的、表格是直接的.
问题5：你能画出汽车行驶路程关于时间变化的图象吗？
预设答案：学生先分析得出汽车行驶路程关于时间的函数解析式，根据函数解析式画出图象.
师生活动：学生先独立思考，之后合作交流，请学生展示所作图象并予以适当解释，之后教师生共同完善.
设计意图：一方面让感受学生欲画出函数图象可以先分析函数的解析式，提高学生对解析式、图象表达函数时内在关系的认识；另一方面，问题6中的函数图象与例2（2）的图象有关系，将例2（2）的函数图象向下平移2004个单位即为问题6的函数图象，因此也考查学生根据函数解析式的关系分析图象关系的能力，得到图象后可以让学生感受通过函数图象可以加强函数的直观性.当然问题6中函数形式依然相对复杂，学生知道如何作图，作出草图即可.
（五）.练习
练习：某广告公司要为客户设计一副周长为
（单位：m）的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？
师生活动：学生独立思考，然后展示，教师评析.
设计意图：巩固本节课所学，实际问题如何抽象成函数问题.
（六）.小结
设计意图：回顾本节知识、思想和方法，进一步梳理函数的知识结构，预示下一章学习的内容，让学生感受函数的应用之广泛，地位之重要.
（七）.作业
基本作业：课本95页，练习第1、3题
选做作业：课本95页，习题第1、2题
（八）.板书
|
函数解决实际问题一般过程 |
例题 |
  实际问题 函数模型
 函数模型的解 实际问题的解 |
例1 |
例2 |
七、目标检测设计
A组：基础达标
1．某厂日产手套总成本
y(元)与手套日产量
x(副)的函数解析式为
y＝5
x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )
A．200副 B．400副 C．600副 D．800副
2.用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______ m.
3.某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李．若超过规定的质量，则需购买行李票，行李费用
y(元)是行李质量
x(kg)的一次函数，其图象如图所示．
(1)根据图象数据，求
y与
x之间的函数关系式．
(2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少？
B组：能力提升
4.某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司有电脑6台，乙分公司现有同一型号的电脑12台．现
A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，
B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台．已知从甲地运往
A，
B两地每台电脑的运费分别是40元和30元，从乙地运往
A，
B两地每台电脑的运费分别是80元和50元．
(1)设甲地调运
x台至
B地，该公司运往
A，
B两地的总运费为
y元，求
y关于
x的函数解析式；
(2)若总运费不超过1 000元，问能有几种调运方案？
5.国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，飞机票价格就减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
设计意图：检测学生对基本知识和技能的掌握情况.
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