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视频标签：正多边形的有关计算
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视频课题：人教版初中数学九年级上册《正多边形的有关计算》山西省 - 忻州
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《正多边形的有关计算》数学教案
教学目标：
1.会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角、周长、面积等有关的计算问题转化为解直角三角形的问题； 2.巩固学生解直角三角形的能力，培养学生正确迅速的运算能力；
3.通过正多边形有关计算公式的推导，激发学生探索和创新． 教学重点:
把正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题． 教学难点:
正确地将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题解决、综合运用几何知识准确计算． 教学活动设计: （一）复习引入 正多边形的有关概念 1. 中心 外接圆的圆心 2. 半径 外接圆的半径 3. 边心距 内切圆的半径 4.中心角 3600
/n
（二）创设情境、观察、分析、归纳结论 1、情境一：给出图形．
问题1：正n边形内角的规律、外角与中心角的关系？ 观察：在图形中，应用多边形内角和定理和正多边形的每个内角都相等得出新结论．
应用正多边形外角和等于3600
得出外角与中心角的关系 教师引导学生自主观察，学生回答．
归纳1：正n边形的每个内角都等于 （n-2）1800
/n 归纳2：正多边形的外角等于中心角 2、情境二：给出图形．
问题2：每个图形的半径，分别将它们分割成什么样的三角形？它们有什么规律？
教师引导学生观察，学生回答． 观察：三角形的形状，三角形的个数．
归纳：正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等腰三角形．
3、情境三：给出图形．
问题3：作每个正多边形的边心距，又有什么规律？ 观察:三角形的形状，三角形的个数
归纳：这些边心距又把这n个等腰三角形分成了2n个直角三角形，这些直角三角形也是全等的．
理解：实质是把正多边形的问题向直角三角形转化． 由于这些直角三角形的斜边都是正n边形的半径R，一条直角边是正n边形的边心距
rn，另一条直角边是正n边
形边长an的一半，一个锐角是正n边形中心角 的一半 归纳公式：(a
n/2)2
+r
n2=R
2
分析：只要给定两个条件，则正多边形就完全确定了 比如：1.圆的半径或边数；2.圆的半径和边心距；3.边长及边心距，就可以确定正多边形的其它元素
（三）实际应用
1.例1：正n边形中心角150
，求n的值以及正n边形内角度数
解：n=3600
/15=24 内角度数：1800
-150
=165
0
2.例2：已知正三角形ABC的半径为R，求这个正三角形的边长
a3
、边心距r3
、周长P3
和面积S3
．
教师引导学生分析解题思路： n=3 中心角 =3600
/3=120
0
教师板演解题过程，并关注学生解直角三角形的能力． 解：作半径OA、OB；作OH⊥AB，垂足为H，得Rt△OHB． ∵∠HOB=600
， ∴r3=Rcos60°=1/2R ∴a3 =2·Rsin60°=√3R， ∴P3=3·a3=3√3R
S3=3S AOB=3·1/2·a3·r3=1/2·3a3·r3=1/2P3r3 =1/2·3√3·1/2R=3√3/4·R2
归纳：正n边形的周长Pn=nan
归纳：正n边形的面积Sn=1/2 Pn· rn． 3.研究：（应用例1的方法进一步研究）
解决问题：已知圆的半径为R，用半径R和边数表示它的内接正方形、内接正六边形的边长、边心距、周长及面积．
（学生以小组进行研究，并初步归纳） 教师提示：中心角的一半：180°/n 边 数 内 角 外角/中心角 半 径
边心 距
边 长 周 长
面 积
3 60° 120° R 1/2·R √3R
3√3R 3√3/4·R2
4 90° 90° R √2/2·R √2R 4√2R 2R2
6 120° 60°
R √3/2·R R
6R
3√3/2·R2
n
180°（n-2）/2 3600
/n R cos180°/n·R
2sin180°/n·R
2n·sin180°/n·R
n·sin180°/n·cos180°/n·R2
归纳：正n边形的边数越大，其内角、边心距、周长、面积越大，其外角及边长越小
习题练习
1. 已知圆的边长是4，则该圆的内接正方形的半径是多少？ 2. 已知元的半径为6，则它的内接正三角形、正四边形、正六边形的边长分别是多少？边心距的比是多少？
（四）课堂小结
知识：正三角形、正方形、正六边形的元素的计算问题． 思想：转化思想．
能力：解直角三角形的能力、计算能力；观察、分析、研究、归纳能力． （五）作业
归纳并掌握正三角形、正方形、正六边形以及正n边形的有关计算公式．完成练习题1、2、3题。
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