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视频标签：事件的相互独立性
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视频课题：高中数学人教A版2019必修第二册《事件的相互独立性》青岛
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高中数学人教A版2019必修第二册《事件的相互独立性》青岛
10.2《事件的相互独立性》教学设计
| 教学设计 |
教学设计意图 核心素养目标 |
问题1:在前面的学习中，我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时发生.因此，积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关.那么，这种关系是怎样的呢？ 师:在上一节课中，我们通过研究A∩B＝Ø以及A∩B≠Ø，分别得到了P（AUB）的计算公式，你能说出在随机事件下它们的具体含义吗？ 生1:事件A，B满足A∩B＝Ø，说明事件A与事件B互斥，不能同时发生。A∩B≠Ø，说明事件A与事件B不互斥，能有同时发生的事件。 生2:AUB表示A与B至少一个发生。 二：创设情境，生成概念，课堂探究 问题2:当A∩B≠Ø时，如何得到P（A∩B）即P（AB）的计算公式呢？ 情境与活动一: 下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B 试验1:分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝“第 一枚硬币正面朝上”，B＝“第二枚硬币反面朝上”。 试验2:一个袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球，设A＝“第一次摸到的球的标号小于3”，B＝“第二次摸到球的标号小于3”。 师:你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗? 生3:试验1是不会的，因为两枚硬币之间是没有关联的。 生4：试验2是不会的，因为两次摸球，每一次在摸球前都是从4个球中依次摸两个球．因此A∩B＝Ø。 追问:分别计算P（A），P（B），P（AB），你有什么发现？ 生5：用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”， 则样本空间为Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},包含4个等可能的样本点。 而A={(1,1),(1,0)},B={(1,0),(0,0)},所以AB={(1,0)}。 由古典概型概率计算公式，得P(A)=P(B)=0.5, P(AB)=0.25. 于是P(AB)=P(A)P(B). 生6：样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}包含16个等可能的样本点. 而A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)}, B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}, AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},  于是也有P(AB)=P(A)P(B)。 师：和前面的学习内容一样，我们从特殊情况出发，得到了一般性的结论： 对任意两个事件A，B，如果P（AB）＝P（A）·P（B）成立，则称事件A和事件B相互独立。 师：谁能进一步说明必然事件和不可能事件与其他事件的独立性关系？ 生7：因为必然事件Ω总会发生、不可能事件总不会发生，都不受任何事件是否发生的影响，因此，他们都与任意事件相互独立.)必然事件W 及不可能事件Æ与任何事件A相互独立。 环节三：辨析概念，提高认识 师：互斥事件是交事件之间的一中特殊情况，互斥事件是否为独立事件呢？ 生8:既然互斥事件明确了两个事件不能同时发生，说明它们之间是有影响的，因此我认为，如果事件A和B互斥，则A和B一定不相互独立。 追问2:能否用数学语言说得更明白些呢? 生8:若事件A和B互斥，则AB＝Ø，所以P（AB）＝P（Ø）＝0，但P（A）＞0，P（B）＞0，P（A）·P（B）＞0，P（AB）≠P（A）P（B）.因此，A和B一定不相互独立。 追问3:很好，但是为什么P（A）＞0，P（B）＞0，有无等于0的可能？ 生8:应该加上A，B为非不可能事件。 追问4:相互独立的两个事件之间能否是互斥事件? 生9:若A和B相互独立，则A和B一定不互斥。 得到性质：P（A）＞0，P（B）＞0，若A与B互为相互独立事件，则A与B不互斥；若则A与B互斥，则A与B不为相互独立事件。 师：类比并事件的研究，独立性能否通过韦恩图解释呢？ 生10：不能，因为概率的乘法在韦恩图中的具体含义并不知道.韦恩图是反映事件的集合关系，而事件的独立性是从概率的角度定义的.而由概率得不出事件的结论，所以不能从韦恩图上看出独立性，即不能用Venn画出独立事件。 环节四：深化理解，触类旁通 问题4:互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件的关系，如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？ 情境与活动二:（探究） 以有放回摸球试验为例，分别验证A与`B，`A 与B，`A与`B是否独立，你有什么发现？（以试验2为例） 生11：学生举例验证A与`B相互独立 师：你能证明吗? 生12：    师：我们得到性质：若A和B相互独立，则A与`B，`A 与B，`A与`B都是相互独立的。 引入新知，判断两个事件相互独立的方法： 1.定义法：P(AB)=P(A)P(B) 2.直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响。 环节五：巩固新知，解决问题 例1.一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异，采用不放回方式从中任意摸球两次，设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？ 生13：解：因为样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4},且m≠n},共有12个样本点 A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}, B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}, AB={(1,2),(2,1)} 所以此时P(AB)≠P(A)P(B),因此，事件A与事件B不独立.  例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8, 乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率： (1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶； (3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶. 生14：解：设  “甲中靶”,  “乙中靶”,则 “甲脱靶”, “乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A与B相互独立,A与 , 与B,与都相互独立由已知可得,  .（1）  “两人都中靶”,由事件独立性的定义得  （2）“恰好有一人中靶”  ,且 与 互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义,得    （3）事件“两人都脱靶”  ,所以   （4）方法1：事件“至少有一人中靶”  ,且AB,与 两两互斥,所以     方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶” 根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为  环节六：当堂检测 （2021高考真题） 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 2、天气预报元旦假期甲地降雨概率为0.2，乙地降雨概率为0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算这段时间内： (1)甲乙两地都降雨的概率； (2)甲乙两地都不降雨的概率； (3)至少一个地方降雨的概率； 环节七：课堂小结 教师引导学生回顾本节课学习的内容，并回答下列的问题： 问题5:通过本节课的学习，你能说一说，事件A和事件B相互独立的含义吗？ 如何判断事件A与B是相互独立的?如何判断事件A与B是互斥的? 你能说一说二者的区别吗? 师生活动:在学生独立思考的基础上，教师根据学生的回答，进一步引导学生体会事件相互独立的含义.引导学生把握概念的本质，区分“两个事件相互独立”与“两个事件互斥”。 教师小结：事件的相互独立是事件之间的一种重要的关系，但是它不同于事件的包含、相等、互斥和互相对立关系——事件的独立性需要用概率来定义。而互斥的两个事件A和B是指事件A与B不能同时发生，其实质为A∩B＝Ø。 环节八：课后作业 1．设样本空间 Ω={a，b，c，d}含有等可能的样本点，且A={a,b)，B={a,c}，C={a,d}.请验证A，B，C三个事件两两独立，但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C)． 2．甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能破译出密码的概率分别为  和  ，求:（1）两个人都译出密码的概率；（2）两个人都译不出密码的概率；（3）恰有1个人都译出密码的概率；（4）至多1个人都译出密码的概率； （5）至少1个人都译出密码的概率； 3. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为  ，乙每轮猜对的概率为 ，在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响。求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率。 |
由知识回顾，提出问题，类比思考。发展学生数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养。 在整章通过集合的观点定义了随机事件后，在上一节课的和事件（集合中的并集运算）研究之后，自然地想到了本节课要研究的积事件（集合中的交集运算），起到了承上启下的作用。 层层设问，挖掘概念内涵 通过具体问题的事件分析，归纳出相互独立事件的概念。发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。 通过探究，可以得到P（AB）与P（A）， P（B）的关系，体现了由特殊到一般的原则. 层层设问，挖掘概念内涵，弄清互斥与相互独立事件的区别。 通过具体问题的事件分析，归纳出相互独立事件的性质。发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。 多方法解决问题，培养发散思维 通过实例分析，让学生掌握相互独立事件的判定及概率计算，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。 通过例题，让学生体会综合利用事件的互斥关系的性质与事件的独立性计算两个事件 积的概率，同时培养学生良好的思考习惯。 多方法解决问题，培养发散思维 当堂检测 感受高考真题，树立信心 一方面引导学生反思本节课的重点——概括判断事件A与B相互独立的方法，另一方面 为了促进学生对容易混淆的事件的互斥与独立性概念进行比较、澄清。 课后及时巩固 |
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