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视频标签：事件的相互独立性
所属栏目：高中数学优质课视频
视频课题：高中数学人教B版2019必修第二册《10.2 事件的相互独立性》山东省沂南
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高中数学人教B版2019必修第二册《10.2 事件的相互独立性》山东省沂南第一中学
10.2《事件的相互独立性》教学设计
| 教学设计 |
教学设计意图 核心素养目标 |
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一、回顾旧知，展示学习目标，引出新课 复习概念：事件的关系和运算、概率的基本性质 问题1:在前面的学习中，我们知道，积事件 AB就是事件 A 与事件 B同时发生.因此，积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关.那么，这种关系是怎样的呢？ 师:在上一节课中，我们通过研究A∩B＝Ø 以及A∩B≠Ø，分别得到了P（AUB）的计算公式，你能说出在随机事件下它们的具体含义吗？ 生1:事件 A，B满足 A∩B＝Ø，说明事件 A与事件B 互斥，不能同时发生。A∩B≠Ø，说明事件 A与事件B不互斥，能有同时发生的事件。 生2:AUB表示A与 B至少一个发生。 二：创设情境，生成概念，课堂探究 问题 2:当A∩B≠Ø时，如何得到P（A∩B）即P（AB）的计算公式呢？ 情境与活动一: 下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B 试验1:分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝“第一枚硬币正面朝上”，B＝“第二枚硬币反面朝上”。 试验2:一个袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球，设A＝“第一次摸到的球的标号小于3”，B＝“第二次摸到球的标号小于3” 师:你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗? 生3:试验1是不会的，因为两枚硬币之间是没有关联的。 生4：试验 2是不会的，因为两次摸球，每一次在摸球前都是从4个球中依次摸两个球．因此A∩B＝Ø。 追问:分别计算P（A），P（B），P（AB），你有什么发现？ 生 5：用1表示硬币“正面朝上”，用0示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},包含4个等可能的样本点。而A={(1,1),(1,0)},B={(1,0),(0,0)},所以AB={(1,0)}。 |
由知识回顾，提出问题，类比思考。发展学生数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养。 在整章通过集合的观点定义了随机事件后，在上一节课的和事件（集合中的并集运算）研究之后，自然地想到了本节课要研究的积事件（集合中的交集运 算），起到了承上启下的作用。 层层设问，挖掘概念内涵 |
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由古典概型概率计算公式，得P(A)=P(B)=0.5, P(AB)=0.25.于是P(AB)=P(A)P(B). 生6：样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}包含 16个等可能的样本点.而 A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)}, B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}, AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}, 于是也有 P(AB)=P(A)P(B)。 师：和前面的学习内容一样，我们从特殊情况出发，得到了一般性的结论： 对任意两个事件A，B，如果 P（AB）＝ P（A）·P（B）成立，则称事件A和事件 B相互独立。 师：谁能进一步说明必然事件和不可能事件与其他事件的独立性关系？ 生7：因为必然事件Ω总会发生、不可能事件总不会发生，都不受任何事件是否发生的影响，因此，他们都与任意事件相互独立.必然事件 及不可能事件与任何事件A相互独立。 环节三：辨析概念，提高认识 例1.一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4 个球，除标号外没有其他差异，采用不放回方式从中任意摸球两次，设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？ 生13：解：因为样本空间Ω={(m,n)|m,n ∈{1,2,3,4},且m≠n},共有12个样本点 A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}, B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}, AB={(1,2),(2,1)} 所以此时P(AB)≠P(A)P(B),因此，事件A与事件B不独立.  引入新知，判断两个事件相互独立的方法： 1.定义法：P(AB)=P(A)P(B) 2.直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响。 小结：事件的相互独立是事件之间的一种重要的关系，但是它不同于事件的包含、相等、互斥和互相对立关系——事件的独立性需要用概率来定义。而互斥的两个事件A和B是指事件A与B不能同时发生，其实质为A∩B＝Ø。 环节四：深化理解，触类旁通 问题4:互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件的关系，如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？ 情境与活动二:（探究） 以有放回摸球试验为例，分别验证A与B，A 与B，A与B是否独立，你有什么发现？（以试验2为例） 生11：学生举例验证A与B相互独立 师：你能证明吗? 生12：     师：我们得到性质：若A和B相互独立，则A与B，A 与B，A与B都是相互独立的。 环节五：巩固新知，解决问题 例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9, 求下列事件的概率： (1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶； (3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶. 生14：解：设A= “甲中靶”, B=“乙中靶”, 则  =“甲脱靶”, =“乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A与B相互独立,A与B,与B,与都相互独立由已知可得,   .（1）AB=“两人都中靶”,由事件独立性的定义得P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72 （2）“恰好有一人中靶”=  ,且且  与 互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义,得   （3）事件“两人都脱靶”=  ,所以 （4）方法1：事件“至少有一人中靶”=  , 两两互斥，所以  方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”根据对立事件的性质 ,得事件“至少有一人中靶”的概率为  .环节六：当堂检测 （2021高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件 “第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件 “第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 环节七：课堂小结 教师引导学生回顾本节课学习的内容，并回答下列的问题： 问题5: 通过本节课的学习，你能说一说，事件A和事件B相互独立的含义吗？ 如何判断事件A与B是相互独立的?如何判断事件A与B是互斥的? 你能说一说二者的区别吗? 师生活动:在学生独立思考的基础上，教师根据学生的回答，进一步引导学生体会事件相互独立的含义.引导学生把握概念的本质，区分“两个事件相互独立”与“两个事件互斥”。 教师小结：事件的相互独立是事件之间的一种重要的关系，但是它不同于 事件的包含、相等、互斥和互相对立关系 ——事件的独立性需要用概率来定义。而互斥的两个事件A和B是指事件A与B不能同时发生，其实质为A∩B＝Ø。 环节八：课后作业 1．课本练习1.2.3.4 2. 创新设计相应练习 |
通过具体问题的事件分析，归纳出相互独立事件的概念。发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。通过探究，可以得到P（AB）与P（A），P（B）的关系，体现了由特殊到一般的原则 层层设问，挖掘概念 内涵，弄清互斥与相 互独立事件的区别。 通过具体问题的事件分析，归纳出相互独立事件的性质。发展学生数学抽 象、逻辑推理的核心素养。 多方法解决问题，培养发散思维 通过实例分析，让学生掌握相互独立事件的判定及概率计算，提升推理论证 能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。 通过例题，让学生体会综合利用事件的互斥关系的性质与事件的独立性计算 两个事件积的概率，同时培养学生良好的思考习惯 多方法解决问题，培 养发散思维 当堂检测 感受高考真题，树立 信心 一方面引导学生反 思 本 节 课 的 重 点 ——概括判断事件A与B 相互独立的方法，另一方面 为了促进学生对容易混淆的事件的互斥与独立性概念进 行比较、澄清。 课后及时巩固 |
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