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视频标签：图像和性质
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视频课题：高中数学新课程优质课比赛_4.3.2对数函数ylog2x的图像和性质教学设计
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安徽省高中数学新课程优质课比赛_4.3.2对数函数ylog2x的图像和性质教学设计
对数函数
的图像和性质
地位与作用：本节内容是在学习了对数函数概念的基础上，结合指数函数的图像与性质和指数函数与对数函数互为反函数的知识，研究一个具体的对数函数
的图像和性质，为进一步研究一般的对数函数
的图像和性质奠定基础，体现了由特殊到一般的思维方法，突出数形结合的数学思想.
本节主要内容：对数函数
的图像和性质.利用“描点法”和“由反函数观点”两种方法得到
的图像，通过对数函数
的图像和解析式归纳其性质.并进行简单的应用.
新课标要求：通过具体实例，了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性等性质.
本节内容涉及的数学核心素养有：数学抽象、数学运算、直观想象等.
1、知识方面：
学生经历了指数函数和对数函数概念的学习，对对数函数有初步的认识，并且可以借助指数函数的研究方法，来探究一个具体的对数函数
.也是让学生进一步体会研究函数的方法，即“概念—图像—性质—应用”的过程.从图像和解析式两方面理解指数函数和对数函数互为反函数的意义.
2、能力方面：
学生已经具备了一定的归纳、概括能力，但缺乏严谨的逻辑思维能力，解决问题时倾向于直观性的考虑，逻辑的严密性尚需进一步培养。
3、情感方面：
因为是高一新生，求知欲比较强，但参与意识，自主探索意识薄弱；对贴近生产生活的素材有浓厚的兴趣；在合作交流意识方面，发展不均衡，有待加强。
-
通过研究对数函数的图像，掌握对数函数的性质.并利用这些性质解决简单的应用问题.提升数学抽象核心素养.
-
通过对数函数的研究进一步掌握研究函数的一般方法，并根据反函数的特征完成由指数函数图象到对数图象的转化.提升直观想象核心素养.
重点：1.画对数函数
的图像，掌握它的性质.
2.体会指数函数与对数函数互为反函数，及其它们图像之间的关系.
难点：利用反函数观点画对数函数
的图像.
美国著名的数学家和教育家波利亚曾说：学习任何知识的最佳途径是由自己去发现，因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其中的发展规律、性质和联系。
学法指导
学生的学是中心，会学是目的。因此在教学中要不断指导学生学会学习。本节课主要是教给学生“动脑想、动口说、善提炼、勤钻研”的研讨式学习方法，创设问题情境，通过观察、类比、思考、探究、概括、归纳，引导学生自主探索与互相协作相结合的学习方式，体现学生的主体地位，培养学生由具体到抽象，由特殊到一般的数学思维能力。这样做增加了学生自主参与，合作交流的机会，教给了学生获取知识的途径、思考问题的方法，使学生真正成了教学的主体。
教法分析
本节课设计的指导思想是：建构主义学习理论。结合本小节实际内容，在画函数
图象，探究
与
，
图象之间关系时，我采用启发引导式，通过提出问题、小组交流、学生互评等方法，带领学生主动建构学习活动，可以使学生利用已有知识与经验引出当前要学习的新知识；在画出对数函数图像之后，引导学生观察对比、归纳对数函数
的性质，再通过具体问题的解决，激发学生的学习兴趣，调动学生的主体能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来.
多媒体、自制教具
-
情境导入：（对折报纸实验）
取一张报纸，对折一次，厚度是原来的2倍，再对折一次，厚度是原来的4倍，依次对折下去，我们一起探究对折次数和厚度是原来的倍数之间的关系.
请思考以下问题：
-
对折
次，厚度是原来的多少倍？
-
这里隐藏了一个怎样的函数？说说你对它的了解.
-
如果对折50次（假如能实现），请问厚度是原来的多少倍？
-
假如一张报纸的厚度为0.1毫米，请问折叠50次的厚度为多少？
-
如果已知对折次后，厚度是原来的1024倍，请问对折了多少次？怎么表示？
-
如果已知对折y次后，厚度是原来的x倍，请问y是x的什么函数？
对比指数函数的学习过程，我们今天就一起来探究函数
的图像与性质.
设计意图：通过对折报纸实验，引导学生回顾指数函数的性质，以及指数函数与对数函数之间的关系，为本节课探究对数函数
的图像与性质作铺垫.
-
探究函数图像和性质：
教师：怎样画对数函数
的图像？
学生：列表—描点—连线
教师：怎样列表，表格中的自变量怎样取值，既科学又方便？
学生：
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--- |
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1 |
2 |
4 |
8 |
--- |
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--- |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
--- |
教师：你能根据表中的数据画出函数
的图像吗？
学生：建立平面直角坐标系，画出函数图像.
教师：通过观察函数图像，你能归纳该函数的性质吗？
学生：1.定义域：
2.值域：
3.单调性：在
上单调递增
4.
当
值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；
当
值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大；
教师：还有其他的方法画对数函数
的图像吗？你能根据指数函数与对数函数互为反函数这一特征，画对数函数
的图像吗？我们一起试试.
第一步先画指数函数
的图像，第二步自变量用
表示，函数值用
表示
第三步将
轴表示横轴，
轴表示纵轴，得到对数函数
的图像.
（借助自制坐标教具和ppt演示实现第三步的坐标系旋转和翻转）
教师：若在同一个坐标系中画出指数函数
与对数函数
的图像，你有什么发现？你能说说为什么吗？
教师：对比指数函数
与对数函数
的图像，再次体会前面大家归纳的对数函数的性质，并思考互为反函数的
和
的图像之间的关系能否推广到其他互为反函数的函数图像上？本问题作为课后思考题，下节课请大家相互交流思考成果.
-
例题解析：
例1.比较下列各题中两个数的大小.
分析：利用函数
在定义域
上的单调性进行比较.
解：（1）因为函数
在定义域
上是增函数，且0.25<0.3，所以
.
（2）因为函数
在定义域
上是增函数，且4.5>3.5>1,所以
因此
例2.（1）求使不等式
成立的实数
的集合.
（2）
分析：（1）把不等式右边的常数5用以2为底的对数表示，即
，然后利用函数的单调性进行求解.
-
两式的对数值相等转化为真数相等，构造方程求解.但要注意两个对数式有意义时，真数都要大于0.
解：（1）将不等式
变形为
，因为函数
在定义域
上是增函数，所以
故使不等式
成立的实数
的集合为
.
-
由已知等式，得
，解得
为使对数
和
均有意义，需要
和
.因此
不合题意，舍去.所以的值为5.
-
思考交流:
教师：你能用同样的方法画出
的图像吗？并说出它的性质.(小组交流)
学生：
性质：1.定义域：
2.值域：
3.单调性：在
上单调递减
4.
当
值趋近于正无穷大时，函数值趋近于负无穷大；
当
值趋近于0时，函数值趋近于正无穷大；
教师：若在同一坐标系中，画
与
的图像，你有什么发现？说说理由.
学生：图像关于x轴对称，因为 借助换底公式可将
所以
的图像还可以怎样画？
学生：将
的图像关于x轴对称翻折.
教师总结：
与
的图像关于
轴对称，
与
的图像关于
轴对称.所以
的图像关于
轴对称就是
的图像了.
-
巩固练习
-
下列式子中成立的是（ ）
-
若
，则的取值范围是（ ）
-
在同一坐标系中，函数
的图像为（ ）
-
课堂小结：
（1）知识：
-
思想与方法：类比，数形结合，转化等思想方法.
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课后作业：
必做题：课本P110.练习
选做题：
拓展探究：
（3）动手实践：探究一张报纸最多能对折多少次？
八、板书设计
§3.2对数函数 的图像和性质
-
对数函数图像的画法
-
描点法
-
由指数函数图像得到
-
对数函数的性质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）单调性：在上单调递增
（4）
当值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；
当值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大；
|
3.对数函数的图像与指数函数的图像之间的关系：
对数函数的图像与指数函数的图像关于直线 对称.
4.例题解析
例1.
例2.
-
课堂总结
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课后作业
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《对数函数
的图像与性质》课程学习任务单
1.通过研究对数函数
的图像，掌握对数函数
的性质.并利用这些性质解决简单的应用问题.提升数学抽象核心素养.
2.通过对数函数
的研究进一步掌握研究函数的一般方法，并根据反函数的特征完成由指数函数图像到对数函数图像的转化.提升直观想象核心素养.
重点：1.画对数函数
的图像，掌握它的性质.
2.体会指数函数与对数函数互为反函数，及其它们图像之间的关系.
难点：由指数函数图像得到对数函数的图像.
自主学习评价-----评价自学成果，做到有的放矢；
小组合作学习-----解决自学困惑，培养合作能力.
小组探究学习-----融合内化知识，提高应用能力；
学习心得体验-----知识方法获取，情感态度体验.
1.参与对折报纸活动，体会对折次数与厚度之间的关系，回顾指数函数的相关内容以及对数函数的概念.
2.探究绘制对数函数
的图像的两种方法，并根据图象归纳性质，理解由指数函数
图象变换对数函数图像的依据和步骤.
3.在同一坐标系内，绘制
的图像，并根据图象归纳二者之间的关系.
4.应用
的性质解决比较对数值大小，解方程和解不等式问题.
例1.比较下列各题中两个数的大小.
例2.（1）求使不等式
成立的实数
的集合.
（2）
-
下列式子中成立的是（ ）
-
若
，则的取值范围是（ ）
-
在同一坐标系中，函数
的图像为（ ）
动手画一画吧
坐标系1
坐标系2
坐标系3
坐标系4
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